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1、专题五专题五 转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法第一部分数学思想方法第一部分数学思想方法2021/8/8 星期日1知识概要1.解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日22.化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是
2、从未知向已知转化的过程.化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现.知识概要专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日33.转化有等价转化和非等价转化.等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证.知识概要专题五
3、 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日44.化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题,通 过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目 的，或获得某种解题的启示和依据.（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律.（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可 考虑问题的反面，设法从问题的反面
4、去探求，使 问题获解.专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日55.利用转化与化归的思想解决问题的模式可图示如下：知识概要专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日6考题剖析1.（2007烟台模拟题）若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2(a1+a3)2的值为（）A.0B.1C.1D.21.C解析解析令f(x)=(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，(a0+a2+a4)2(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0a1+a2 a3+a4)=f(1)f(1)=(2+)4(2+)4=1,所以选C.专
5、题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日7 点评点评本题巧妙地将二项式项的系数问题转化为函数问题，关键是要看清(a0+a2+a4)2(a1+a3)2的结构特点，可以分解因式，而分解因式后与前面式子联系起来看，就不难转化为一个函数问题了.考题剖析专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日82.C解析解析由原式可以变形为 ，即可以看作是动点（x,y)到点（3,1）的距离与到定直线xy+3=0的距离之比为,故点M(x,y)的轨迹是双曲线.考题剖析专题五 转化与归纳的思想方法2.（2007云南昆明市质检题）若则点M(x,y)的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线2021/8
6、/8 星期日9点评点评本题如果直接对原式进行变形，是有一定的运算量，效率也不高，但将式子转化为这种公式之后，它的几何意义就凸现出来了，解题时要有一定的转化能力与数形结合的能力.考题剖析专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日103.在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为（）A.160B.240C.360D.8003.B分析分析本题要求(x2+3x+2)5展开式中x的系数，而我们只 学习过多项式乘法法则及二项展开式定理，因此，就要 把对x系数的计算用下面两种思路进行转化：考题剖析专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日11思路1：直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求
7、解，则(x2+3x+2)5展开式是一个关于x的10次多项式，(x2+3x+2)5=(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+3x+2)，它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x并在其余四个括号中均选择常数项2相乘得到，故为(3x)24=5316x=240 x，所以应选B.考题剖析专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日12思路2：利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进 行计算.x2+3x+2=x2+(3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，这条思路下又有四种不同的
8、化归与转化方法.如利用x2+3x+2=x2+(3x+2)转化，可以发现只有 (3x+2)5中 会有x项，即 (3x)24=240 x，故选B；如利用x2+3x+2=(x2+2)+3x进行转化，则只有 (x2+2)43x中含有x一次项，即 3x24=240 x；考题剖析专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日13如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2进行转化,就只有(x2+3x)24中会有x项，即240 x；如选择x2+3x+2=(1+x)(2+x)进行转化，(x2+3x+2)5=(1+x)5(2+x)5展开式中的一次项x只能由(1+x)5中的一次项乘以(2+x)5展开式中的常数项
9、加上(2+x)5展开式中的一次项乘以(1+x)5展开式中的常数项后得到，即为x25+24x15=160 x+80 x=240 x，故选B.点评点评化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知.考题剖析专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日144.（2007北京宣武区模拟题）某厂2006年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（）A.mNB.mN C.m=N D.无法确定考题剖析专题
10、五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日154.A解析解析每月的利润组成一个等差数列an，且公差d0，每月的投资额组成一个等比数列bn，且公比q1.a1=b1，且a12=b12，比较S12与T12的大小.若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式an=a1+（n1）d是关于n的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列.等比数列的通项公式bn=a1qn1是关于n的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列.在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出aibi则S12T12，即mN.考题剖析专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日16点点评评把一个原本是求和的问题，退化到各项
11、的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的.在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新.考题剖析专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日175.若关于x的方程cos2x+4asinx+a2=0在区间0,上有两个不同的解，则实数a的取值范围是_.解析解析cos2x+4asinx+a212sin2x+4asinx+a2=2sin2x+4asinx+a1令t=sinx，t 0,1，则原题转化为方程2t2+4at+a10在0,1上有两个根.令f(x)=2t2+4at+a1，由二次函数图象可知：考题剖析专题五 转
12、化与归纳的思想方法a2021/8/8 星期日18解得：点评点评本题涉及到多种转化，一是三角函数的异名化同名，三角函数转化为代数问题，二是方程的问题转化为函数的问题.考题剖析专题五 转化与归纳的思想方法a2021/8/8 星期日19解析解析x2+px4x+p3(x1)p+x24x+30令g(p)=(x1)p+x24x+3，则要使它对0p4均有 g(p)0，只要有 x3或x1.考题剖析专题五 转化与归纳的思想方法6.若不等式x2+px4x+p3对一切0p4均成立，试求实数x的取值范围.2021/8/8 星期日20点点评评在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势
13、的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行.考题剖析专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日217.（2007湘潭市调研题）已知二次函数f（x）=ax2+2x2a 1，其中x=2sin（0）.若二次方程f(x)=0恰有两个不相等的实根x1和x2，求实数a的取值范围.考题剖析专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日2
14、2 分析分析注意0，则12sin2，即1x2,问题转化为二次方程根的分布问题，根据图象得出等价的不等式组.解析解析由以上分析，问题转化为二次方程ax2+2x2a 1=0.在区间1,2上恰有两个不相等的实根，由 y=f（x）的图象（如图所示），得等价不等式组：解得实数a的取值范围为3，.点评点评本题体现了函数与方程的转化、数与形的转化，直观明了.考题剖析专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日238.如下图所示，图（a）为大小可变化的三棱锥PABC.（1）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定展开图刚好是一个直角梯形P1P2P3A，如图（b）所示.求证：侧棱PBAC；（2）由（1）的条件和结
15、论，若三棱锥中PA=AC，PB=2，求侧面PAC与底面ABC所成角；考题剖析专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日24（3）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定其展开图刚好是一个三角形P1P2P3，如图（c）所示.已知P1P3=P2P3，P1P2=2a，若三棱锥相对棱PB与AC间的距离为d，求此三棱锥的体积.考题剖析专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日25 解析解析（1）在平面图中P1BP1A，P2BP2C.故三棱锥中，PBPA，PBPC，PB平面PAC，PBAC.（2）由（1）在三棱锥中作PDAC于D，连结BD.由三垂线定理得BDAC，PDB是所求二面角的平面角，在展
16、开图中，连结BP3得BP3AC，作AECP3于E,得AE=P1P2=4.考题剖析专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日26设PA=AC=x，则P1A=AC=P3A=x，由P2C=CP3，CE=EP3=，EP3=.故CP3=2，P2P3=4，由ACDP3=CP3AE DP3=，又BP3=BD=.在PDB中，cosPDB=，侧面PAC与底面ABC所成的角的大小为arccos.考题剖析专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日27（3）在平面图中，由剪法知，A、B、C分别是三角形三边的中点.由此得：AB=BC，AC=a.在三棱锥中，取AC 中点D.连结PD、BD ACPD，A
17、CBD，故AC平面PDB，且D到PB的距离为异面直线PB与AC之间的距离d，SPDB=ad，V=a2d.点评点评立体几何中有关位置关系的论证实际上是位置关 系的相互转化，有关空间角的计算总是转化为平 面内的角来求解.考题剖析专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日28规律总结1.逐步逐步树立立转化与化化与化归意意识，遇到，遇到难题试着着转换.2.转化与化化与化归应遵循五条原遵循五条原则：3.化化归的基本方法与途径：的基本方法与途径：专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日29转化与化归应遵循五条原则：(1)熟悉化原则：将陌生的问题化为熟悉的问题来解决；(2)简单化原则：
18、将复杂问题化为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的；(3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形的内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推理有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律；(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.规律总结专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日30化归的基本方法与途径：(1)等价转化将原题转化为与之等价的命题；(2)数形结合将问题中的数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系互相转化，获得化归途径；(3)降维(幂)与升维转化；(4)构造法“构造”一个合适的数学模型，使问题易于解决.(另外另外)还有特殊化方法、一般化方法、换元法、补集法等还有特殊化方法、一般化方法、换元法、补集法等.规律总结专题五 转化与归纳的思想方法2021/8/8 星期日312021/8/8 星期日32