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1、函数的单调性设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为 I:一、函数的单调性一、函数的单调性注注:函函数数是是增增函函数数还还是是减减函函数数是是对对定定义义域域内内某某个个区区间间而而言言的的.有有的的函函数数在在一一些些区区间间上上是是增增函函数数,而而在在另另一一些些区区间间上上可可能能是减函数是减函数.如如果果对对于于属属于于定定义义域域 I 内内某某个个区区间间上上的的任任意意两两个个自自变变量量的的值值 x1,x2,当当 x1x2 时时,都都有有 f(x1)f(x2),那那么么就就说说 f(x)在在这这个个区间上是增函数区间上是增函数;如如果果对对于于属属于于定定义义域域 I 内内
2、某某个个区区间间上上的的任任意意两两个个自自变变量量的的值值 x1,x2,当当 x1f(x2),那那么么就就说说 f(x)在在这这个个区间上是减函数区间上是减函数.如如果果函函数数y=f(x)在在某某个个区区间间是是增增函函数数或或减减函函数数,那那么么就就说说函函数数 y=f(x)在在这这一一区区间间上上具具有有(严严格格的的)单单调调性性,这这一一区区间间叫叫做做函数函数 y=f(x)的的单调单调区区间间.二、单调区间二、单调区间1.取取值值:对对任意任意 x1,x2M,且且 x10(0,b0)的单调区间的单调区间.xb解解:函数函数 f(x)的的定定义义域域为为(-,0)(0,+),典型
3、例题典型例题函数函数 f(x)的导函数的导函数 f (x)=a-=,bx2ax2-b x2函数函数 f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(-,-)与与(,+),abab函数函数 f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(-,0)与与(0,).abab令令 f (x)0 得得:x2 -x0 或或 0 x0 得得:x2 x ;ababab 求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题,但必须注意但必须注意,如果函数的解析式含有如果函数的解析式含有参数参数,而且参数的取值而且参数的取值影响函数的单调区间影响函数的单调区间,这时必须对参数的取值进行这时必
4、须对参数的取值进行分类讨论分类讨论.注注:这这个函数的个函数的单调单调性十分重要性十分重要,应应用非常广泛用非常广泛,它的它的图图象象如如图图所示所示:oyx2 ab-2 ab baba-2.试讨论函数试讨论函数 y=2log2 x-2log x+1 的单调性的单调性.1212解解:令令 t=log x,则则 t 关于关于 x 在在(0,+)上单调递减上单调递减.12而而 y=2t2-2t+1 在在(-,上单减上单减,在在 ,+)上单上单增增,1212又由又由 t得得 x ,1222由由 t 得得 0 x ,1222故函数故函数 y=2log2 x-2log x+1 在在 ,+)上单调递增上单
5、调递增,在在(0,上单调递减上单调递减.12122222 3.设函数设函数 f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1.(1)当当 k 为何值时为何值时,函数函数 f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(0,4);(2)当当 k 为何值时为何值时,函数函数 f(x)在在(0,4)内单调递减内单调递减.不等式不等式 f (x)0 的解集的解集为为(0,4),0 与与 4 是方程是方程 kx2+2(k-1)x=0 的两根的两根,即即 kx2+2(k-1)x0 的解集的解集为为(0,4),故由根与系数的关系可求得故由根与系数的关系可求得 k 值为值为 .13(2)命命题题等价于等价于 kx2+2
6、(k-1)x0 对对 x(0,4)恒成立恒成立,设设g(x)=kx+2(k-1),等价于等价于 kx+2(k-1)0 对对 x(0,4)恒成立恒成立,由于由于 g(x)为单调为单调函数函数,g(0)0 g(4)0 k .13则则(或分离或分离变变量量 k0 得得:x-1 或或 0 x1;由由g(x)0 得得:-1x1.故故 g(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(-,-1)与与 (0,1);单调递减区间是单调递减区间是(-1,0)与与 (1,+).4.已知已知 f(x)=8+2x-x2,若若 g(x)=f(2-x2),试确定试确定 g(x)的单调区的单调区间间.5.已知已知f(x)是定义在是
7、定义在R上的增函数上的增函数,对对xR有有f(x)0,且且f(5)=1,设设F(x)=f(x)+,讨论讨论 F(x)的单调性的单调性,并证明你的结论并证明你的结论.f(x)1 分析分析:这这是抽象函数的是抽象函数的单调单调性性问题问题,应该应该用用单调单调性定性定义义解决解决.解解:在在 R 上任取上任取 x1,x2,设设 x1f(x1)且且:F(x2)-F(x1)=f(x2)+-f(x1)+f(x1)1f(x2)1=f(x2)-f(x1)1-.f(x1)f(x2)1f(x)是是 R 上的增函数上的增函数,且且 f(5)=1,当当 x5 时时 0f(x)5 时时 f(x)1.若若 x1x25,
8、则则 0f(x1)f(x2)1,0f(x1)f(x2)0,F(x2)F(x1);1-x15,则则 f(x2)f(x1)1,f(x1)f(x2)1,综上综上,F(x)在在(-,5)上上为减函数为减函数,在在(5,+)上上为增函数为增函数.f(x2)-f(x1)0,F(x2)F(x1).1-0,f(x1)f(x2)1 6.已知函数已知函数 f(x)的定义域为的定义域为(-,0)(0,+),且满足条件且满足条件:f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,当当 x1 时时,f(x)0.(1)求证求证:f(x)为偶函数；为偶函数；(2)讨论函数的单调性；讨论函数的单调性；(3)求不等式求不等式 f(
9、x)+f(x-3)2的解集的解集.(1)证证:在在中令中令 x=y=1,得得 f(1)=f(1)+f(1)f(1)=0.令令 x=y=-1,得得 f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0.再令再令 y=-1,得得 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x).f(x)为偶函数为偶函数.先讨论先讨论 f(x)在在(0,+)上的单调性上的单调性,任取任取x1,x2,设设x2x10,f(x2)f(x1).f(x)在在(0,+)上是增函数上是增函数,由由(1)知知,f(x)在在(-,0)上是减函数上是减函数.偶函数偶函数图图象关于象关于 y 轴对轴对称称,(2)解解:在在中令中令 y=,得得:x1
10、由由知知 f()0.x2 x1 1,x2 x1 f(1)=f(x)+f()f()=-f(x),x 1 x 1 则则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f()=f().x2 x1 x1 1(3)解解:fx(x-3)=f(x)+f(x-3)2,由由、得得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4),1)若若 x(x-3)0,f(x)在在(0,+)上为增函数上为增函数,由由 fx(x-3)f(4)得得:2)若若 x(x-3)0 x(x-3)4 x3-1x4 -1x0 或或 3x4;x(x-3)0 x(x-3)-4 0 x3.0 x3 x R 原不等式的解集为原不等式的解集为-1,0)(0
11、,3)(3,4.注注 抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题,其基其基本方法是变量代换、换元等本方法是变量代换、换元等,应熟练掌握它们的这些特点应熟练掌握它们的这些特点.法二法二 原不等式等价于原不等式等价于 f|x(x-3)|f(4)(x 0,x-3 0),由由 f(x)在在(0,+)上为增函数得上为增函数得:|x(x-3)|4.再进一步求得解集再进一步求得解集.(1)证证:由已知由已知,对任意的对任意的 x1,x2(-,+)且且 x10,f(x2-x1)1.f(x2-x1)-10.f(x2)-f(x1)0 即即 f(x2)f(x1).f(x)是
12、是 R 上上 的增函数的增函数.(2)解解:f(4)=5,令令 a=b=2 得得:f(4)=f(2)+f(2)-1,从而从而 f(2)=3.原原不等式等价于不等式等价于 f(3m2-m-2)f(2).f(x)是是 R 上上 的增函数的增函数,3m2-m-22,即即 3m2-m-40.解得解得:-1m .4343故不等式故不等式 f(3m2-m-2)0 时时,有有 f(x)1.(1)求证求证:f(x)是是 R 上上 的增函数的增函数;(2)若若 f(4)=5,解不等式解不等式 f(3m2-m-2)0.解得解得:-1x0.1x2 1-x1 1+x1 1-x2 1+x2 又对任意的又对任意的 x1,x2(0,1)且且 x10,且有且有:1x1 1x2 1+x21+x10;1-x11-x20,1-x1 1+x1 1-x2 1+x2 -0.log2 -log2 0.1-x1 1+x1 1-x2 1+x2 即即 f(x1)f(x2).函数函数 f(x)在在(0,1)内单调递减内单调递减.由于由于 f(x)是奇函数是奇函数,故故函数函数 f(x)在在(-1,0)内也单调递减内也单调递减.