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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布习题课二（下）习题课二（下）上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回习题课二分为上、下两部分习题课二分为上、下两部分.在在下部分下部分中中,在在“例题分类解析例题分类解析”部分，部分，讲解了：讲解了：3.连续型随机变量概率密度及其分连续型随机变量概率密度及其分布问题；布问题；4.关于正态分布的应用问题；关于正态分布的应用问题；5.随随机变量的分布函数问题；机变量的分布函数问题；6.随机变量函数的随机变量函数的概率分布问题概率分布问题.三、学习与研究方法三、学习与研究方法.在在上部分上部分中中,我们归纳了第二章的概念、我们归纳了第二章的概念、
2、理论与方法等内容，并对关键而又容易出错理论与方法等内容，并对关键而又容易出错的地方作了讲评的地方作了讲评.在在“例题分类解析例题分类解析”部分，部分，讲解了：讲解了：1.离散型随机变量的分布律的计算离散型随机变量的分布律的计算问题；问题；2.根据概率分布求解概率的问题根据概率分布求解概率的问题.习题课二（下）内容简介：习题课二（下）内容简介：上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回3.连续型随机变量概率密度及其分布问题连续型随机变量概率密度及其分布问题例例8确定常数确定常数c,使如下函数使如下函数成为某个随机变量的概率密度成为某个随机变量的概率密度.上页上页下页下页返回返回上页上页下页
3、下页返回返回本题涉及到连续型随机变量的概本题涉及到连续型随机变量的概率密度的性质率密度的性质非负性和归一性非负性和归一性.逻辑上是应用定理逻辑上是应用定理:如果某函数满足非负性和如果某函数满足非负性和归一性归一性,那么它可以作为某个随机变量的概率那么它可以作为某个随机变量的概率密度密度.分析分析解解令得到得到c=1.显然显然,非负性非负性g(x)0(x(-,+)满足满足.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回所以所以,函数函数g(x)在在c=1条件下可以作为某条件下可以作为某个随机变量的概率密度个随机变量的概率密度.讲解讲解度度,用性质用性质f(x)0(x(-,+)和和若若f(x)为
4、连续型随机变量为连续型随机变量X的概率密的概率密可确定连续型随机变量可确定连续型随机变量X的概率密度的概率密度f(x)中的中的待定参数待定参数.这是求连续型随机变量这是求连续型随机变量X的概率密的概率密度度f(x)中未知参数的基本方法中未知参数的基本方法.需要注意本题需要注意本题的要求和逻辑关系的要求和逻辑关系.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回利用概率密度的性质求连续型利用概率密度的性质求连续型随机变量随机变量X的概率密度的概率密度f(x)中的未知参数中的未知参数是连续型随机变量是连续型随机变量X的概率计算中的重要问题的概率计算中的重要问题,也是我们经常考查的重点之一也是我们经
5、常考查的重点之一.这是因为这是因为,在实在实际问题中际问题中,我们往往是先知道随机变量的分布我们往往是先知道随机变量的分布类型类型,而分布类型中的参数需要我们利用概率而分布类型中的参数需要我们利用概率密度的性质来确定密度的性质来确定.扩展扩展上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回确定了参数确定了参数,我们就完全掌握了这个概我们就完全掌握了这个概率分布率分布;进而我们可以利用这个概率进而我们可以利用这个概率分布计算概率、分析性质、预测与控制未来分布计算概率、分析性质、预测与控制未来发展趋势等因此，在概率统计应用分析中，发展趋势等因此，在概率统计应用分析中，经常要求我们求解未知参数，其原
6、因就在于经常要求我们求解未知参数，其原因就在于此此.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回本题涉及到利用判别式本题涉及到利用判别式=b2-4ac,求求含含Y的不等式；涉及已知分布求概率的问题的不等式；涉及已知分布求概率的问题.利利用均匀分布的概率密度即可解决用均匀分布的概率密度即可解决.例例9设随机变量设随机变量Y服从均匀分布服从均匀分布U(-5,5),求关于求关于x的方程的方程的概率的概率.有实根有实根分析分析上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解Y的概率密度的概率密度方程有实根的充要条件是方程有实根的充要条件是Y4或或Y-1.解得解得上页上页下页下页返回返回上页上页
7、下页下页返回返回于是有于是有方程有实根方程有实根=Y4Y-1,故方程有故方程有实根的概率为实根的概率为PY4+PY-1求连续型随机变量的有关概率问题求连续型随机变量的有关概率问题经常用到下列公式经常用到下列公式:讲评讲评上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(1)(注意注意:“540=1-=0.9775.得到得到PX540=又由于又由于 PX360=于是于是上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回反查正态分布表反查正态分布表,得得解上述方程组解上述方程组,得得 421,58,所以所以N(421.).已知录取率已知录取率.设录取最低分为设录取最低分为a,则则0.6=PXa=1-
8、PXa=1上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回本题用正态分布估计高考录取最低本题用正态分布估计高考录取最低分是正态分布的实际应用问题之一分是正态分布的实际应用问题之一.讲评讲评所以该次高考最低录取分为所以该次高考最低录取分为406分分.反查正态分布表反查正态分布表,得到得到=0.253,得得a406.由于由于,两步两步:未知未知,故解决问题可分如下故解决问题可分如下(1)由题给的高考结果的两个信息由题给的高考结果的两个信息,建立建立关于关于未知参数未知参数,的两个方程的两个方程,并解之并解之;上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(2)通过已公布的录取率通过已公布的录取率
9、,求得最低分值求得最低分值.关于关于，2的数学意义和实际意义的数学意义和实际意义在以后第四章讲述在以后第四章讲述.扩展扩展上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回本题涉及到已知概率密度求分布函本题涉及到已知概率密度求分布函数的问题数的问题,用公式用公式F(x)=去解决去解决.例例11设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求:(1)X的分布函数的分布函数;(2)分析分析5.随机变量的分布函数计算问题随机变量的分布函数计算问题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解(1)由分布函数的定义知由分布函数的定义知当当x0时时,当当0 x1时时,当当1x2时时,当当x2时时,
10、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回所以所以,X的分布函数为的分布函数为(2)由分布函数性质可知由分布函数性质可知上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回讲评讲评容易出错的是：容易出错的是：当当1x2时时,当当x2时时,连续型随机变量连续型随机变量X的概率计算方法的概率计算方法有两种有两种:一是可以通过一是可以通过X的分布函数来计算的分布函数来计算,如如本题本题;二是也可以利用概率密度来计算积分二是也可以利用概率密度来计算积分:扩展扩展=0.935.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回由概率密度由概率密度f(x)求分布函数求分布函数F(x)是概率是概率论中最基本
11、的要求论中最基本的要求,应熟练掌握应熟练掌握.6.随机变量函数的分布问题随机变量函数的分布问题X-3-1013P0.050.200.150.350.25例例12设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为求求:(1)Y=5-2X的分布律的分布律;的分布律的分布律.(2)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回本题是离散型随机变量函数的本题是离散型随机变量函数的分布律问题分布律问题,可用下面公式可用下面公式分析分析其中其中解解(1)X为五点分布为五点分布,y=5-2x为单调函数为单调函数.故故不等时不等时yi也不等也不等,从而从而Y 的分布律为的分布律为Y-115711P 0.250.35
12、0.150.200.05上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回Z1210P0.150.550.30以以Z=10为例为例,计算如下：计算如下：PZ=10=PX2+1=10=P(X=-3X=3)=PX=-3+PX=3=0.05+0.25=0.30.(2)由于由于z=x2+1为偶函数而非单调为偶函数而非单调,通过通过点分布点分布,而是如下的三点分布而是如下的三点分布:,Z的可能取值为的可能取值为1,2,10.关系关系 故故Z不再是五不再是五上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回由上题可看出由上题可看出,离散型随机变量离散型随机变量函数函数Y=g(X)的概率分布分为两种情形的概率分
13、布分为两种情形:(1)函数函数g(x)是单调函数时是单调函数时,g(xi)(i=1,2,)的值的值全不相等全不相等,将函数值将函数值g(xi)与与X=xi时的概率时的概率pi对对应即可应即可,如本例如本例(1);(2)函数函数g(x)不是单调函不是单调函数时数时,g(xi)(i=1,2,)的值有相等的的值有相等的,需要把那需要把那些相等的函数值对应的概率些相等的函数值对应的概率pi加在一起加在一起,如本如本例例(2).讲评讲评上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布律为的分布律为扩展扩展Xx1x2xkPp1p2pk则随机变量函数则随
14、机变量函数Y=g(X)的分布律为的分布律为Yg(x1)g(x2)g(xk)Pp1p2pk上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回如果如果g(xk),k=1,2,中有相同的值中有相同的值,则把对应则把对应的概率相加的概率相加.本题涉及到连续型随机变量函数本题涉及到连续型随机变量函数的概率密度的问题的概率密度的问题,有两种方法有两种方法:分布函数法分布函数法和公式法和公式法.分析分析例例13设随机变量设随机变量概率密度概率密度fY(y).求求Y的的上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解 方法方法1(分布函数法分布函数法)由题设得到由题设得到X的分布函数的分布函数故故Y的分布函
15、数为的分布函数为y=FY(y)=PYy=P上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回所以所以FY(y)=对对y求导求导,Y的概率密度为的概率密度为fY(y)=上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回方法方法2(公式法公式法)X的概率密度为的概率密度为时,当当,反函数反函数严格单调且有连续导数严格单调且有连续导数由定理得由定理得Y的概率密度的概率密度上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回fY(y)=即即fY(y)=已知连续型随机变量已知连续型随机变量X的概率密的概率密度为度为fX(x),随机变量随机变量Y是是X的函数的函数Y=g(X),求求Y的概率密度的方法通常有如下两种
16、的概率密度的方法通常有如下两种:讲评讲评上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回分布函数法分布函数法:先求先求Y的分布函数的分布函数FY(y)=PYy=Pg(X)y=再对上式两边求导得再对上式两边求导得fY(y)=.公式法公式法:在使反函数无意义的点在使反函数无意义的点y处处,定义定义fY(y)=0.其中其中g(X)严格单调严格单调,其反函数其反函数有连续导数有连续导数上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回利用随机变量函数的分布函数利用随机变量函数的分布函数或概率密度或概率密度,可以继续要求计算概率可以继续要求计算概率P1Ye.扩展扩展 例例14设随机变量设随机变量X服从参数
17、为服从参数为2的指数分的指数分布布,求求Y=g(X)的分布函数的分布函数,其中其中上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回当当y1时时,FY(y)=PYy=Pg(X)y=PS=1;本题是连续型随机变量函数的分本题是连续型随机变量函数的分布函数求解问题布函数求解问题.分析分析解解=0;当当y0时时,FY(y)=PYy=Pg(X)y=P由题设由题设X的分布函数为的分布函数为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回当当0y1时时,FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXy=FX(y)=所以所以Y=g(X)的分布函数的分布函数分布函数法具有普遍性分布函数法具有普遍性,公式法要公式法要求函
18、数单调，反函数导数连续，对于分段函求函数单调，反函数导数连续，对于分段函数难于利用数难于利用.讲评讲评上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(1)可以要求计算概率密度可以要求计算概率密度.(2)本题的结果显示本题的结果显示:尽管连续型随机变尽管连续型随机变量量X的分布函数连续的分布函数连续(本题本题X服从指数分布服从指数分布),尽管尽管X的函数的函数Y=g(X)也连续也连续,但仍不能保证但仍不能保证Y=g(X)的分布函数的分布函数FY(y)连续连续.图图2-1说明了说明了这个问题这个问题.扩展扩展上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回图图2-1例例17随机变量函数的分布关系
19、随机变量函数的分布关系(3)此题重点解决分段函数此题重点解决分段函数Y=g(X)的分布的分布函数计算问题函数计算问题.通过对通过对FY(y)求导求导,立即得到概立即得到概率密度率密度fY(y).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(1)事件数量化事件数量化引入随机变量引入随机变量,将试验结果以及随机事将试验结果以及随机事件数量化件数量化,从而可以广泛地利用数学分析的从而可以广泛地利用数学分析的知识来分析问题和解决问题知识来分析问题和解决问题.(2)综合交叉分析综合交叉分析存在既非离散型随机变量又非连续型随存在既非离散型随机变量又非连续型随机变量的随机变量机变量的随机变量.三、学习与
20、研究方法三、学习与研究方法上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(3)改变定义或定理条件改变定义或定理条件如果改变分布函数如果改变分布函数F(x)=PXx的定义的定义,例如例如,定义随机变量定义随机变量X的分布函数为的分布函数为 F0(x)=PXx,那么分布函数那么分布函数F0(x)会出现许多与分布函数会出现许多与分布函数F(x)=PXx不同的结论不同的结论.二者关系是二者关系是 F(x)=F0(x)+PX=x.四、习题布置四、习题布置第二章内容小结第二章内容小结总习题二总习题二A组组3、8.B组组2、5、7、8、9.参考文献与联系方式参考文献与联系方式1郑一郑一,王玉敏王玉敏,冯宝
21、成冯宝成.概率论与数理统计概率论与数理统计.大连理大连理工大学出版社，工大学出版社，2015年年8月月.2郑一郑一,戚云松戚云松,王玉敏王玉敏.概率论与数理统计学习指概率论与数理统计学习指导书导书.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8月月.3郑一郑一,戚云松戚云松,陈倩华陈倩华,陈健陈健.光盘：概率论与数理光盘：概率论与数理统计教统计教案案作业与试卷作业与试卷及答案及答案数学实验视频数学实验视频.大大连理工大学出版社连理工大学出版社，2015年年8月月.4王玉敏王玉敏,郑一郑一,林强林强.概率论与数理统计教学实验概率论与数理统计教学实验教材教材.中国科学技术出版社中国科学技术出版社，2007年年7月月.联系方式联系方式：