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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布习题课二习题课二上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回习题课二归纳了第二章的概念、理论、习题课二归纳了第二章的概念、理论、方法等内容，方法等内容，在在“例题分类解析例题分类解析”部分，讲部分，讲解了：解了：1.离散型随机变量的分布律的计算问题；离散型随机变量的分布律的计算问题；2.根据概率分布求解概率的问题根据概率分布求解概率的问题.3.连续型随机变量概率密度及其分布问题；连续型随机变量概率密度及其分布问题；4.关于正态分布的应用问题；关于正态分布的应用问题；5.随机变量的分布函数问题；随机变量的分布函数问题；6.随机变量函数的概率分布问
2、题随机变量函数的概率分布问题.习题课二内容简介：习题课二内容简介：上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回在第一章中在第一章中,我们研究了事件及其概率问我们研究了事件及其概率问题题.为充分利用数学工具研究事件及其概率为充分利用数学工具研究事件及其概率,在本章开始引入了随机变量这一基本概念在本章开始引入了随机变量这一基本概念.任任何事件何事件A都可以通过随机变量都可以通过随机变量X来描述来描述,因此因此,研究事件及其概率问题就转化为研究随机变研究事件及其概率问题就转化为研究随机变量的概率分布问题量的概率分布问题.第二章内容简介：第二章内容简介：上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回
3、返回 对于离散型随机变量对于离散型随机变量X,重点研究了三重点研究了三种常用的离散型随机变量服从的两点分布、种常用的离散型随机变量服从的两点分布、二项分布和泊松分布二项分布和泊松分布,给出了随机变量的分给出了随机变量的分布函数定义及其求法，考虑了离散型随机布函数定义及其求法，考虑了离散型随机变量变量X的函数的函数g(X)的概率分布问题的概率分布问题.对于连续型随机变量对于连续型随机变量X,讨论了概率密度讨论了概率密度函函数数、分分布布函函数数和和随随机机变变量量的的函函数数的的概概率率分分布布问问题题,重重点点研研究究了了三三种种常常用用的的连连续续型型随随机机变变量量的分布的分布均匀分布、指
4、数分布和正态分布均匀分布、指数分布和正态分布.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 本章重点：本章重点：1.离散型随机变量的概率分布及其性质离散型随机变量的概率分布及其性质;2.随机变量的分布函数及其性质随机变量的分布函数及其性质;3.连续型随机变量的概率密度及其性质连续型随机变量的概率密度及其性质;4.随机变量函数的分布随机变量函数的分布.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回本章难点：本章难点：1.离散型随机变量分布律的有关计算离散型随机变量分布律的有关计算;2.连续型随机变量的概率密度的有关计算连续型随机变量的概率密度的有关计算;3.随机变量的分布函数的有关运算随机
5、变量的分布函数的有关运算;4.随机变量函数的概率分布随机变量函数的概率分布.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、主要内容归纳一、主要内容归纳1.离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律性质性质:(1)pk0,k=1,2,;讲评讲评只有只有pk同时满足上述两条性质同时满足上述两条性质,数列数列pk才能才能成为某个离散成为某个离散型随机变量的分布律型随机变量的分布律.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2.2.伯努利概型伯努利概型.PX=k=pkqn-k,k=0,1,2,n.一般地一般地,设在一次试验中我们只设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果考虑两个互逆的结果:
6、A或或 设我们重复地设我们重复地进行进行n n次独立试验次独立试验,每次试验事件每次试验事件A A出现的概出现的概率都是率都是p,发生的概率则是发生的概率则是q=1-p.这样的这样的n次独立重复次独立重复试验试验称作称作n重伯努利重伯努利试验试验,简称简称伯努利试验或伯努利试验或伯努利概型伯努利概型.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 n重伯努利试验是一种很重要的重伯努利试验是一种很重要的数学模型数学模型.它有广泛的应用它有广泛的应用,是研究与应用是研究与应用最多的模型之一最多的模型之一.讲评讲评3.分布函数分布函数设设X是一个随机变量是一个随机变量(包括离散型及非离包括离散型及
7、非离散型散型).x是任意实数是任意实数,定义定义F(x)=PXx,-x+.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回分布函数的性质：分布函数的性质：(1)0F(x)1；(2)F(x)单调不减单调不减,即当即当x1x2时时,F(x1)F(x2)；(3)F(-)=,F(+)=称称F(x)为随机变量为随机变量X的的分布函数分布函数,有时也记有时也记为为FX(x).由分布函数的定义知由分布函数的定义知,若若F(x)是是X的分的分布函布函数数,则有则有 PaXb=F(b)-F(a).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(4)F(x)右连续右连续,即对任意实数即对任意实数x,有有F(x+
8、0)=F(x)；(5)对每个对每个x0,都有都有PX=x0=F(x0)-F(x0-0).定义中的定义中的Xx表示事件表示事件“随机随机变量变量X取值不大于取值不大于x”,所以随机变量的分布所以随机变量的分布函数函数F(x)是以事件是以事件Xx的概率定义的函数的概率定义的函数,它的定义域为它的定义域为讲评讲评,其值域为其值域为0,1.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回4.连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度F(x)=PXx=则称则称X为为连续型随机变量连续型随机变量,其中函数其中函数f(x)称为称为X的的概率密度函数概率密度函数,简称为简称为概率密度概率密度或密度或密度
9、.对于随机变量对于随机变量X,如果存在一个非负如果存在一个非负可积函数可积函数f(x),使得对于任意的实数使得对于任意的实数x,有有上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回概率密度概率密度具有以下具有以下性质性质：(1)0,x(-,+)；(2)(3)PaXb=F(b)-F(a)=(4)若若在点在点x处连续处连续,则有则有(5)对连续型随机变量对连续型随机变量x，总有，总有上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 性质性质(1)和和(2)是连续型随机变量的是连续型随机变量的概率密度概率密度f(x)必须具有的特性，常用来检查某必须具有的特性，常用来检查某一函数是否是连续型随机变量的
10、概率密度一函数是否是连续型随机变量的概率密度.性质性质(3)和和(4)是由概率密度的定义导出的性质是由概率密度的定义导出的性质.性质性质(3)(3)和和(4)表明：随机变量表明：随机变量X落在区间落在区间 (a,b 内的内的概率等于曲线概率等于曲线y=f(x)与与x=a,x=b及及x轴所围成的轴所围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积.性质性质(5)表明：表明：对于对于连续型随连续型随机变量机变量X,总有总有讲评讲评上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回这与离散型随机变量是不同的这与离散型随机变量是不同的.5.几种重要的随机变量的分布几种重要的随机变量的分布(1)0-1分布或两点分布分布
11、或两点分布设随机变量设随机变量X只可能取只可能取0与与1两个值两个值,0p1,它的分布律是它的分布律是PaXb=PaXb=Pa Xb=PaX 0,则称随机变量则称随机变量X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布记为记为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回则称则称X在区间在区间(a,b)上服从上服从均匀分布均匀分布.其中其中 a,b为参数为参数,且且a0是常数是常数.服从参数为服从参数为的指数分布的的指数分布的随机变量随机变量X的分布函数为的分布函数为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(6)正态分布正态分布若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为),其中其中和
12、和(0)都是常数都是常数.则称则称X服从参数为服从参数为和和的的正态分布正态分布,记为记为XN(上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回时时,得到的正态分布得到的正态分布N(0,1)称为称为标准正态分布标准正态分布.服从标准正态分布服从标准正态分布的随机变量的随机变量X的概率密度和分布函数通常用的概率密度和分布函数通常用和和(x)表示表示.当当的正态分布的随机的正态分布的随机变量变量X 的分布函数是的分布函数是服从参数为服从参数为和和2上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回应熟练掌握以上应熟练掌握以上6种重要的随机种重要的随机变量的分布，要掌握它们的分布律或概率密变量的分布，
13、要掌握它们的分布律或概率密度度,对标准正态分布的概率密度与分布函数要对标准正态分布的概率密度与分布函数要高度重视高度重视.6种分布在解决实际问题中都有着种分布在解决实际问题中都有着广泛的应用广泛的应用.也是经常考查的重点内容之一也是经常考查的重点内容之一.讲评讲评(x)=上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回二、二、例题分类解析例题分类解析1.离散型随机变量的分布律的计算问题离散型随机变量的分布律的计算问题例例1一批零件中有一批零件中有9个正品和个正品和3个次品个次品.安装设备时从中任取一个安装设备时从中任取一个,若是次品不再放若是次品不再放回回,继续任取一个继续任取一个,直到取到正
14、品为止直到取到正品为止.求在求在取到正品以前已取得次品数的分布律取到正品以前已取得次品数的分布律.本题涉及到求离散型随机变量本题涉及到求离散型随机变量分布律的问题分布律的问题.求分布律时可用前面求分布律时可用前面古典概型、条件概率、独立性、全概率公古典概型、条件概率、独立性、全概率公式等有关知识所学式等有关知识所学.分析分析上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回PX=2=PX=3=于是次品数的分布律为于是次品数的分布律为P3210 X上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例2设事件设事件A在每一次试验中发生的概率在每一次试验
15、中发生的概率为为0.3,当当A发生超过发生超过3次时次时,指示灯发出信号指示灯发出信号.求求进行进行7次独立试验次独立试验,事件事件A发生的次数发生的次数X的分布的分布律律,并计算指示灯发出信号的概率并计算指示灯发出信号的概率.本试验是本试验是7重伯努利试验重伯努利试验,随机变量随机变量X应应分析分析服从二项分布服从二项分布.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 随机变量随机变量X服从参数为服从参数为n=7与与p=0.3的二项分布的二项分布,其分布律为其分布律为解解PX=k=指示灯发出信号的概率指示灯发出信号的概率=0.0772+0.0250+0.0036+0.0005=0.106
16、3.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例3 3 某自动生产线在调整之后出现次品某自动生产线在调整之后出现次品的概率为的概率为5 5,生产过程中一旦出现生产过程中一旦出现次品次品,便立即进行调整便立即进行调整.求在两次调整之间生求在两次调整之间生产的正品数产的正品数X的分布律的分布律.由题设知事件由题设知事件X=k表示共试验了表示共试验了k+1次次,第第k+1次出现了次品次出现了次品,前面前面k次次都是正品都是正品.于是于是X的分布律为的分布律为解解PX=k=0.005上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例4一批产品共一批产品共100个个,其中有其中有5个次品个次
17、品95个个正品正品.一次任意取出一次任意取出10个产品个产品,求其中求其中次品数次品数X的分布律的分布律.本题是典型的超几何分布的问题本题是典型的超几何分布的问题.分析分析随机变量随机变量X服从参数服从参数n=10,M=5,N=100的超几何分布的超几何分布,其分布律其分布律解解PX=k=上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回P-2X 2,PX3|X0,PX1|X3.求求例例5已知离散型随机变量已知离散型随机变量X的分布律为的分布律为 X -2 0 1 3 6 P 0.3 0.2 0.1 0.2 0.2本题涉及到利用概率分布求概率的本题涉及到利用概率分布求概率的问题问题.由于分布律或
18、分布函数全面地给出了离由于分布律或分布函数全面地给出了离散型随机变量取值的概率特征散型随机变量取值的概率特征,所以可通过它所以可通过它们求得事件们求得事件的概率的概率.分析分析2.根据概率分布求概率的问题根据概率分布求概率的问题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解由分布律得由分布律得=0.3+0.2+0.1=0.6.由条件概率公式得由条件概率公式得PX3|X0=1.P-2X 2=PX=-2+PX=0+PX=1PX1|X3=0.375.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例6设离散型随机变量的分布函数为设离散型随机变量的分布函数为求求PX=2,P1X4,PX5|X1
19、.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回这是通过分布函数计算概率问题这是通过分布函数计算概率问题.参见例参见例6用分布律计算概率用分布律计算概率.PX5|X1=分析分析解解方法方法1利用分布函数的定义计算利用分布函数的定义计算PX=2=F(2)-F(2-0)=0.59-0.35=0.24,P1X4=F(4)-F(1)F(1)-F(1-0)=0.59-0=0.59,上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回PX=2=0.24，P1X4=PX=1+PX=2=0.35+0.24=0.59,方法方法2 由分布函数可得到由分布函数可得到X的分布律的分布律 X125 P0.350.240.
20、41于是于是PX5|X1=上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回3.连续型随机变量概率密度及其分布问题连续型随机变量概率密度及其分布问题例例7确定常数确定常数c,使如下函数使如下函数成为某个随机变量的概率密度成为某个随机变量的概率密度.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解令得到得到c=1.显然显然,非负性非负性g(x)0(x(-,+)满足满足.所以所以,函数函数g(x)在在c=1条件下可以作为某条件下可以作为某个随机变量的概率密度个随机变量的概率密度.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解Y的概率密度的概率密度方程有实根的充要条件是方程有实根的充要条件是
21、Y4或或Y-1.解得解得例例8设随机变量设随机变量Y服从均匀分布服从均匀分布U(-5,5),求关于求关于x的方程的方程的概率的概率.有实根有实根上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回于是有于是有方程有实根方程有实根=Y4Y-1,故方程有故方程有实根的概率为实根的概率为PY4+PY-1求连续型随机变量的有关概率问题求连续型随机变量的有关概率问题经常用到下列公式经常用到下列公式:讲评讲评(注意注意:“540=1-=0.9775.得到得到PX540=又由于又由于 PX360=于是于是上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回反查正态分布表反查正态分布表,得得解上述方程组解上述方程组,
22、得得 421,58,所以所以N(421.).已知录取率已知录取率.设录取最低分为设录取最低分为a,则则0.6=PXa=1-PXa=1上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回本题用正态分布估计高考录取最低本题用正态分布估计高考录取最低分是正态分布的实际应用问题之一分是正态分布的实际应用问题之一.讲评讲评所以该次高考最低录取分为所以该次高考最低录取分为406分分.反查正态分布表反查正态分布表,得到得到=0.253,得得a406.由于由于,两步两步:未知未知,故解决问题可分如下故解决问题可分如下(1)由题给的高考结果的两个信息由题给的高考结果的两个信息,建立建立关于关于未知参数未知参数,的两
23、个方程的两个方程,并解之并解之;(2)通过已公布的录取率通过已公布的录取率,求得最低分值求得最低分值.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回本题涉及到已知概率密度求分布函本题涉及到已知概率密度求分布函数的问题数的问题,用公式用公式F(x)=去解决去解决.例例10设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求:(1)X的分布函数的分布函数;(2)分析分析5.随机变量的分布函数计算问题随机变量的分布函数计算问题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解(1)由分布函数的定义知由分布函数的定义知当当x0时时,当当0 x1时时,当当1x2时时,当当x2时时,上页上页下页下页返回
24、返回上页上页下页下页返回返回所以所以,X的分布函数为的分布函数为(2)由分布函数性质可知由分布函数性质可知上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回由概率密度由概率密度f(x)求分布函数求分布函数F(x)是概率是概率论中最基本的要求论中最基本的要求,应熟练掌握应熟练掌握.6.随机变量函数的分布问题随机变量函数的分布问题X-3-1013P0.050.200.150.350.25例例11设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为求求:(1)Y=5-2X的分布律的分布律;的分布律的分布律.(2)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回本题是离散型随机变量函数的本题是离散型随机变量函数的
25、分布律问题分布律问题,可用下面公式可用下面公式分析分析其中其中解解(1)X为五点分布为五点分布,y=5-2x为单调函数为单调函数.故故不等时不等时yi也不等也不等,从而从而Y 的分布律为的分布律为Y-115711P 0.250.350.150.200.05上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回Z1210P0.150.550.30以以Z=10为例为例,计算如下：计算如下：PZ=10=P(X=-3X=3)=PX=-3+PX=3=0.05+0.25=0.30.(2)由于由于z=x2+1为偶函数而非单调为偶函数而非单调,通过通过点分布点分布,而是如下的三点分布而是如下的三点分布:,Z的可能取
26、值为的可能取值为1,2,10.关系关系 故故Z不再是五不再是五上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回注注:如果如果g(xk),k=1,2,中有相同的值中有相同的值,则把对则把对应的概率相加应的概率相加.本题涉及到连续型随机变量函数本题涉及到连续型随机变量函数的概率密度的问题的概率密度的问题,有两种方法有两种方法:分布函数法分布函数法和公式法和公式法.分析分析例例12设随机变量设随机变量概率密度概率密度fY(y).求求Y的的上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解 方法方法1(分布函数法分布函数法)由题设得到由题设得到X的分布函数的分布函数故故Y的分布函数为的分布函数为y=
27、FY(y)=PYy=P上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回所以所以FY(y)=对对y求导求导,Y的概率密度为的概率密度为fY(y)=上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回方法方法2(公式法公式法)X的概率密度为的概率密度为时,当当,反函数反函数严格单调且有连续导数严格单调且有连续导数由定理得由定理得Y的概率密度的概率密度上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回fY(y)=即即fY(y)=例例13设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为2的指数分的指数分布布,求求Y=g(X)的分布函数的分布函数,其中其中上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回当当y1时时
28、,FY(y)=PYy=Pg(X)y=PS=1;本题是连续型随机变量函数的分本题是连续型随机变量函数的分布函数求解问题布函数求解问题.分析分析解解=0;当当y0时时,FY(y)=PYy=Pg(X)y=P由题设由题设X的分布函数为的分布函数为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回当当0y1时时,FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXy=FX(y)=所以所以Y=g(X)的分布函数的分布函数分布函数法具有普遍性分布函数法具有普遍性,公式法要公式法要求函数单调，反函数导数连续，对于分段函求函数单调，反函数导数连续，对于分段函数难于利用数难于利用.讲评讲评上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页
29、返回返回(1)事件数量化事件数量化引入随机变量引入随机变量,将试验结果以及随机事将试验结果以及随机事件数量化件数量化,从而可以广泛地利用数学分析的从而可以广泛地利用数学分析的知识来分析问题和解决问题知识来分析问题和解决问题.(2)综合交叉分析综合交叉分析存在既非离散型随机变量又非连续型随存在既非离散型随机变量又非连续型随机变量的随机变量机变量的随机变量.三、学习与研究方法三、学习与研究方法上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(3)改变定义或定理条件改变定义或定理条件如果改变分布函数如果改变分布函数F(x)=PXx的定义的定义,例如例如,定义随机变量定义随机变量X的分布函数为的分布函
30、数为 F0(x)=PXx,那么分布函数那么分布函数F0(x)会出现许多与分布函数会出现许多与分布函数F(x)=PXx不同的结论不同的结论.二者关系是二者关系是 F(x)=F0(x)+PX=x.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回四、习题布置四、习题布置阅读：第二章内容小结阅读：第二章内容小结P67：A组：组：7、8、9、10.P69：B组：组：2、5、7、8、9、10.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回参考文献与联系方式参考文献与联系方式1郑一郑一,王玉敏王玉敏,冯宝成冯宝成.概率论与数理统计概率论与数理统计.大连理大连理工大学出版社，工大学出版社，2015年年8月月.2郑一郑一,戚云松戚云松,王玉敏王玉敏.概率论与数理统计学习指概率论与数理统计学习指导书导书.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8月月.3郑一郑一,戚云松戚云松,陈倩华陈倩华,陈健陈健.概率论与数理统计教概率论与数理统计教案案作业与试卷作业与试卷.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8月月.4王玉敏王玉敏,郑一郑一,林强林强.概率论与数理统计教学实验概率论与数理统计教学实验教材教材.中国科学技术出版社，中国科学技术出版社，2007年年7月月.联系方式联系方式：