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1、第六章测量误差的基本知识第六章测量误差的基本知识 第一节第一节 测测 量量 误误 差差 第二节第二节 偶然误差的特性偶然误差的特性第三节第三节 评定精度的指标评定精度的指标第四节第四节 误差传播定律误差传播定律第五节第五节 算术平均值及观测值的中误差算术平均值及观测值的中误差第六节第六节 加权平均值及其精度评定加权平均值及其精度评定第一节第一节 测测 量量 误误 差差一、观测条件一、观测条件 测量误差产生的原因很多，概括起来，有以下三个方面：测量误差产生的原因很多，概括起来，有以下三个方面：在同一个量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应有值在同一个量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上
2、的应有值之间存在差异的现象，在测量工作中是普遍存在的。为什么会产生这之间存在差异的现象，在测量工作中是普遍存在的。为什么会产生这种差异呢？种差异呢？测量仪器测量仪器 观测者观测者 外界条件外界条件 人、仪器和环境是测量工作得以进行的必要条件，通常把这三个人、仪器和环境是测量工作得以进行的必要条件，通常把这三个方面综合起来称为方面综合起来称为观测条件观测条件。在测量中产生误差是不可避免的。在测量中产生误差是不可避免的。二、测量误差的分类二、测量误差的分类1.1.系统误差系统误差 在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果出现的误差在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果出现的误差在大小、符号上表现
3、出系统性，或在观测过程中按一定的规律在大小、符号上表现出系统性，或在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，这种误差称为变化，或者为某一常数，这种误差称为“系统误差系统误差”。系统误差对观测值的影响一般具有系统误差对观测值的影响一般具有累积性累积性，消除或减弱系，消除或减弱系统误差影响的措施：统误差影响的措施：l 可以通过对观测值施加改正可以通过对观测值施加改正l 采用用一定的测量方法采用用一定的测量方法二、测量误差的分类二、测量误差的分类 2.2.偶然误差偶然误差 在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果误差在符号和在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果误差在符号和大小上都表现出偶然性
4、，即从单个误差看，该系列误差的大小和大小上都表现出偶然性，即从单个误差看，该系列误差的大小和符号没有任何规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统符号没有任何规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为计规律，这种误差称为偶然误差偶然误差。偶然误差是由人力所不能控制的因素或无法估计的因素（如人眼偶然误差是由人力所不能控制的因素或无法估计的因素（如人眼的分辨能力、仪器的极限精度和气象因素等）引起的测量误差。的分辨能力、仪器的极限精度和气象因素等）引起的测量误差。通过通过多次重复观测取平均值多次重复观测取平均值，可以抵消一些偶然误差。，可以抵消一些偶然误差。二、测量误差的分类
5、二、测量误差的分类 3.3.粗差粗差 粗差即粗大误差，是指比在正常观测条件下所可能出现粗差即粗大误差，是指比在正常观测条件下所可能出现的最大偶然误差还要大的误差。的最大偶然误差还要大的误差。粗差要比偶然误差大上好几倍。粗差要比偶然误差大上好几倍。在在对观测列进行数据处理对观测列进行数据处理时，应该采用各种方法来消除时，应该采用各种方法来消除或削弱系统误差的影响，使之达到实际上可以忽略不计的程或削弱系统误差的影响，使之达到实际上可以忽略不计的程度；探测粗差的存在并剔除粗差。那么，该观测列中主要是度；探测粗差的存在并剔除粗差。那么，该观测列中主要是存在着偶然误差。存在着偶然误差。三、多余观测三、多
6、余观测 要使要使观测值的个数多于未知量的个数观测值的个数多于未知量的个数，就要进行多余观测。，就要进行多余观测。为了检查和及时发现观测值中有无粗差存在，为了检查和及时发现观测值中有无粗差存在，为了提高最后结果的质量。为了提高最后结果的质量。通过多余观测必然会发现在观测结果之间不相一致或不符合通过多余观测必然会发现在观测结果之间不相一致或不符合应有关系而产生的不符值。应有关系而产生的不符值。第二节第二节 偶然误差的特性偶然误差的特性 任任何何一一个个被被观观测测量量客客观观上上总总是是存存在在着着一一个个能能代代表表其其真真正正大大小的数小的数值值，这这一数一数值值就称就称为该为该被被观测观测量
7、的量的真真值值，用，用X 表示。表示。通通过观测过观测得到的数得到的数值值称称为该为该量的量的观测值观测值。设设:对对某某一一量量进进行行了了n次次观观测测，其其观观测测值值用用li i（i=1=1，2 2，n）表示。表示。i=Xli，（，（i=1，2，n）(6-1)(6-1)式中，式中，称称为为真真误误差差（简简称称误误差），此差），此处处仅仅指偶然指偶然误误差。差。一、误差分布表一、误差分布表例：在相同的观测条件下，独立地观测了例：在相同的观测条件下，独立地观测了 358 个三角形的全部内角，个三角形的全部内角，设三角形内角和的真值为设三角形内角和的真值为X，三角形内角和的观测值为三角形内
8、角和的观测值为Li，则三角形则三角形内角和的真误差（内角和的真误差（三角形闭合差三角形闭合差）为；）为；i=X Li （i=1,2,3,358）计计算算每每个个三三角角形形内内角角之之和和的的偶偶然然误误差差（三三角角形形闭闭合合差差），将将它它们们分分为为负负误误差差和和正正误误差差，按按误误差差绝绝对对值值由由小小到到大大排排列列次次序序。以以误误差差区区间间d=3=3进进行行误误差差个个数数k 的的统统计计，并并计计算算其其相相对对个个数数 kin（n n358358），k ki in n 称为称为“误差出现在某个区间内误差出现在某个区间内”这一事件的这一事件的频率频率。误误 差差 分分
9、 布布 表表 误误差区差区间间(d)/()负误负误差差正正误误差差备备 注注kk/nkk/nd=3等于区等于区间间左端左端值值的的误误差算入差算入该该区区间间内。内。03450.126460.12836400.112410.11569330.092330.092912230.064210.0591215170.047160.0451518130.036130.036182160.01750.014212440.01120.00624以上以上00001810.5051770.495二、频率直方图二、频率直方图 每一误差区间上的长每一误差区间上的长方条面积，就代表误差出方条面积，就代表误差出现在该
10、区间的频率。现在该区间的频率。各各长长方条面方条面积积的的总总和和等于等于1 1。形象直观地描述误差形象直观地描述误差分布情况。分布情况。三、偶然误差的三、偶然误差的特性特性 (1 1)在在一一定定观观测测条条件件下下的的有有限限次次观观测测中中，偶偶然然误误差差的的绝绝对对值值不不会会超超过过一定的限一定的限值值。（2 2）绝绝对对值值较较小小的的误误差差出出现现的的频频率率大大，绝绝对对值值较较大大的的误误差差出出现现的的频频率小；率小；（3 3）绝对值绝对值相等的正、相等的正、负误负误差具有大致相等的出差具有大致相等的出现频现频率；率；（4 4）当当观观测测次次数数无无限限增增大大时时，
11、偶偶然然误误差差的的理理论论平平均均值值趋趋近近于于零零。即即偶然偶然误误差具有抵差具有抵偿偿性。用公式表示性。用公式表示为为四、概率密度函数四、概率密度函数描述正态分布曲线的数学方程式称为正态分布的描述正态分布曲线的数学方程式称为正态分布的概率密度函数概率密度函数。式中，式中，为为标准差标准差，以偶然误差，以偶然误差为自变量，以标准差为自变量，以标准差为密度为密度函数的唯一参数。函数的唯一参数。标准差的平方标准差的平方2 2为为方差方差。方差为偶然误差平方的理论平均值。方差为偶然误差平方的理论平均值。标准差为标准差为 第三节第三节 评定精度的指标评定精度的指标 精度精度 是指一组误差分布的密
12、集或离散的程度。是指一组误差分布的密集或离散的程度。在相同的在相同的观测观测条件下条件下进进行的一行的一组观测组观测，它，它对应对应着一种确定的着一种确定的误误差分布，差分布，如果如果误误差分布差分布较为较为密集，密集，则这则这一一组观测组观测精度精度较较高；高；如果如果误误差分布差分布较为较为离散，离散，则这则这一一组观测组观测精度精度较较低。低。同精度同精度观测值观测值 一、中误差一、中误差 正正态态分布曲分布曲线线具有两个拐点，具有两个拐点，拐点拐点在横在横轴轴上的坐上的坐标为标为 拐拐=的大小，可以反映精度的高低。故常用的大小，可以反映精度的高低。故常用标标准差准差作作为为衡量精衡量精
13、度的指度的指标标。由有限个由有限个观测值观测值的偶然的偶然误误差求得的差求得的标标准差的近似准差的近似值值（估（估值值）称称为为“中中误误差差”，不同中误差的正态分布曲线不同中误差的正态分布曲线 二、极限误差二、极限误差 根据误差理论，在大量同精度观测的一组误差中，误差落在根据误差理论，在大量同精度观测的一组误差中，误差落在（-，+），（），（-2，+2）和和（-3，+3）的概率分别为：的概率分别为：通常将通常将3 3倍标准差作为偶然误差的极限值倍标准差作为偶然误差的极限值限，称为限，称为极限误差极限误差。即即 限限=3 在实际测量工作中，以在实际测量工作中，以3 3倍中误差作为偶然误差的容许
14、值，倍中误差作为偶然误差的容许值，称为称为容许误差容许误差或或限差限差。要求较严格时常采用。要求较严格时常采用2 2倍中误差作为容许倍中误差作为容许误差。误差。三、相对误差三、相对误差例如例如:丈量两段距离：丈量两段距离：L L1 1=1000=1000m m；L L2 2=80=80m m，中误差分别为：中误差分别为：m1=20mm ；m2=20mm，此时此时,衡量精度应采用衡量精度应采用相对中误差相对中误差，它是中误差绝对值与观测值，它是中误差绝对值与观测值之比。之比。K1K2，可见，可见L1的量距精度高于的量距精度高于L2。相对误差相对误差等于误差的绝对值与相应观测值之比。它是一个无名等
15、于误差的绝对值与相应观测值之比。它是一个无名数，通常写成分子为数，通常写成分子为1 1的分数形式的分数形式，即用即用1/N 表示。表示。第四节第四节 误差传播定律误差传播定律 问题问题 测量工作中某些未知量需要由若干测量工作中某些未知量需要由若干独立观测独立观测值值按一定的函数关系间接计算出来，即按一定的函数关系间接计算出来，即某些量是观某些量是观测值的函数测值的函数。如何根据观测值的中误差求得观测值如何根据观测值的中误差求得观测值函数的中误差呢？函数的中误差呢？定义定义 阐述观测值中误差与观测值函数的中误差之阐述观测值中误差与观测值函数的中误差之间关系的定律，称为间关系的定律，称为误差传播定
16、律误差传播定律。一、线性函数一、线性函数 设设有有线线性函数性函数z为为 函授函授z 的中误差关系式为的中误差关系式为1.1.倍数函数倍数函数 z=k x mz=k mx 一、线性函数一、线性函数2.2.和差函数和差函数当观测值当观测值 xi 为等精度观测时，为等精度观测时，m1=m2=mn=m，则上式变为，则上式变为 在水准在水准测测量中，量中，两水准点间的高差中误差两水准点间的高差中误差 用下式计算用下式计算 或或二、般函数二、般函数 式中式中,x1,x2,xn为为独立独立观测值观测值，其中，其中误误差分差分别为别为m1，m2,mn，上式是误差传播定律的一般形式。上式是误差传播定律的一般形
17、式。应用误差传播定律时，要求观测值必须是应用误差传播定律时，要求观测值必须是独立观测值独立观测值，它们的真误差应是它们的真误差应是独立误差独立误差。第五节第五节 算术平均值及观测值的中误差算术平均值及观测值的中误差一、算术平均值一、算术平均值 设设某个未知量的真某个未知量的真值为值为X，在相同的在相同的观测观测条件下条件下，对该对该量量进进行行n次次观测观测，观测值观测值分分别为别为l1，l2，ln，求，求该该未知量的未知量的最或然最或然值值。根据偶然误差的第（根据偶然误差的第（4）特性）特性 当观测次数无限增大时，观测值的算术平均值趋近于该量的真值。当观测次数无限增大时，观测值的算术平均值趋
18、近于该量的真值。二、算术平均值的中误差二、算术平均值的中误差设对设对某量某量进进行行n 次等精度次等精度观测观测，观测值为观测值为li，中，中误误差均差均为为m，算算术术平均平均值值的中的中误误差是差是观测值观测值中中误误差的差的 倍。倍。因此，因此，适当增加观测次数适当增加观测次数可以提高算术平均值可以提高算术平均值的精度。的精度。三、按观测值的改正数计算中误差三、按观测值的改正数计算中误差最或然最或然值值与与观测值观测值之差称之差称为观测值为观测值的的改正数改正数（v）:一一组组同精度同精度观测值观测值取算取算术术平均平均值值后，后，各改正数的各改正数的总总和恒等于零和恒等于零。这这是算是
19、算术术平均平均值值的特性，可以作的特性，可以作为计为计算中的校核。算中的校核。按观测值的改正值计算观测值中误差的公式按观测值的改正值计算观测值中误差的公式（白塞尔公式白塞尔公式）三、按观测值的改正数计算中误差三、按观测值的改正数计算中误差用改正数用改正数计计算算算算术术平均平均值值中中误误差差的公式的公式按观测值的改正值按观测值的改正值计算观测值中误差计算观测值中误差的公式的公式（白塞尔公式）（白塞尔公式）第六节第六节 加权平均值及其精度评定加权平均值及其精度评定 一、不等精度一、不等精度观测观测及及观测值观测值的的权权 如何根据不同精度的如何根据不同精度的观测值观测值来确定其最或然来确定其最
20、或然值值呢？呢？“权权”，此，此处处用作用作“权权衡衡轻轻重重”之意。之意。某一某一观测值观测值或或观测值观测值的函数的精度越高（中的函数的精度越高（中误误差差m 越小），越小），其其权应权应越大。越大。以以P 表示表示权权，定，定义义：权权与中与中误误差的平方成反比差的平方成反比。或或式中，式中，m0为任意常数。为任意常数。求一组观测值的权时，必须采取同一求一组观测值的权时，必须采取同一m0值。值。一、不等精度一、不等精度观测观测及及观测值观测值的的权权m0 是权等于是权等于1的观测值的中误差，的观测值的中误差，等于等于1的权为的权为单位权单位权，权为，权为1的观测值为的观测值为单位权观测值
21、单位权观测值。m0为单位权观测值的中误差，简称为为单位权观测值的中误差，简称为单位权中误差单位权中误差。一一组观测值组观测值的的权权之比等于它之比等于它们们的中的中误误差平方的倒数之比。差平方的倒数之比。m0起一个起一个比例常数比例常数的作用。不的作用。不论论假假设设m0为为何何值值。这组权这组权之之间间的比例的比例关系不关系不变变。权权反映了反映了观测值观测值之之间间的相互精度关系。的相互精度关系。就计算就计算P 值来说，不在乎权本身数值的大小，而在于确定它值来说，不在乎权本身数值的大小，而在于确定它们之间的比例关系。们之间的比例关系。二、加权平均值二、加权平均值 对某一未知量，对某一未知量
22、，L1，L2，Ln为一组不等精度的观测值，其为一组不等精度的观测值，其中误差为中误差为m1，m2，mn，其权为其权为P1，P2，Pn。其加权平均值。其加权平均值为：为：由于同一量的各个观测值都相近似，取由于同一量的各个观测值都相近似，取L0为近似值，计算加权为近似值，计算加权平均值的平均值的实用公式实用公式为：为：二、加权平均值二、加权平均值 根根据据同同一一量量的的n次次不不等等精精度度观观测测值值，计计算算其其加加权权平平均均值值x 后后，用下式用下式计算观测值的改正值计算观测值的改正值不等精度观测值的改正值还满足下列条件：不等精度观测值的改正值还满足下列条件：三、定权的常用方法三、定权的
23、常用方法1.水准测量的权水准测量的权（1）按）按测站数测站数定权定权 设每测站观测高差的精度相同，其中误差均为设每测站观测高差的精度相同，其中误差均为m站站，则不同，则不同测站数的水准路线测站数的水准路线观测高差的中误差观测高差的中误差为：为：式中式中ni 为各水准路线的测站数。为各水准路线的测站数。取取c 个测站观测高差的中误差为单位权中误差，即个测站观测高差的中误差为单位权中误差，即（i=1，2，n）则各路线则各路线观测高差的权观测高差的权为为（i=1，2，n）（2）按水准路线长度定权）按水准路线长度定权 设设每千米每千米观测观测高差的精度相同，其中高差的精度相同，其中误误差均差均为为mk
24、m，各路，各路线线观测观测高差的高差的权权为为：（i=1，2，n）式中式中Li 为各路线距离的千米里数，为各路线距离的千米里数，c 是单位权观测高差的路线千米数。是单位权观测高差的路线千米数。当每千米观测高差为同精度时，各路线观测高差的权与距离当每千米观测高差为同精度时，各路线观测高差的权与距离的千米数成反比的千米数成反比。2.距离丈量的权距离丈量的权 在丈量距离时，如果单位长度（在丈量距离时，如果单位长度（1km）丈量精度均相等，设为）丈量精度均相等，设为mkm，丈量，丈量Di千米距离的权为：千米距离的权为：（i=1，2，n）式中式中c 是单位权观测值的千米数。是单位权观测值的千米数。当单位
25、长度丈量的中误差均相等时，距离丈量的权与其当单位长度丈量的中误差均相等时，距离丈量的权与其长度成反比。长度成反比。3.同精度观测值的算术平均值的权同精度观测值的算术平均值的权 设有一组观测值设有一组观测值L1,L2,，Ln，它们分别是，它们分别是N1,N2,Nn 个同精度观测值的算术平均值，若每次观测的中误差均为个同精度观测值的算术平均值，若每次观测的中误差均为m，各，各算术平均值的中误差算术平均值的中误差（i=1，2，n）（i=1，2，n）各各Li 的权为的权为 由不同个数的同精度观测值所求得的算术平均值，其权与观由不同个数的同精度观测值所求得的算术平均值，其权与观测值个数成正比。测值个数成
26、正比。四、加权平均值的中误差四、加权平均值的中误差加权平均值的权即为观测值的权之和。加权平均值的权即为观测值的权之和。五、单位权中误差的计算五、单位权中误差的计算 只要算出只要算出单单位位权权中中误误差，根据各差，根据各观测值观测值的的权权和和观测值观测值函数的函数的权权，就可，就可计计算出各算出各观测值观测值的中的中误误差和差和观测值观测值函数的中函数的中误误差。差。设设有一有一组组不等精度不等精度观测值观测值Li（i=1，2，n），其），其权权和真和真误误差分差分别为别为Pi 和和i。用不同精度用不同精度观测值观测值的真的真误误差差计计算算单单位位权权中中误误差的公式：差的公式：按不等精度
27、观测值的改正数计算单位权中误差的公式：按不等精度观测值的改正数计算单位权中误差的公式：思考题 1.为为什什么么在在观观测测结结果果中中一一定定存存在在偶偶然然误误差差？偶偶然然误误差差有有何何特特性性？能能否将其消除否将其消除?2.观观测测结结果果中中的的系系统统误误差差有有什什么么特特点点，它它给给观观测测结结果果带带来来怎怎样样的的影影响响?如何减弱或消除？如何减弱或消除？3.何何谓谓中中误误差、极限差、极限误误差和相差和相对误对误差？中差？中误误差和真差和真误误差有何区差有何区别别？4.什什么么是是单单位位权权？什什么么是是单单位位权权中中误误差差？什什么么样样的的观观测测值值称称为为单单位位权观测值权观测值？