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1、第3章 立体的投影平面立体平面立体3.1曲面立体曲面立体3.2截切体和相贯体截切体和相贯体3.3组合体组合体3.4目目录3.1 平面立体 3.1.1 常见平面立体的投影图常见平面立体的投影图 3.1.2 平面立体的投影图的绘制平面立体的投影图的绘制 3.1.3 平面立体表面上点和直线的投影平面立体表面上点和直线的投影平面立体平面立体3.1.1 常见平面立体的投影3.1.1 常见平面立体的投影3.1.1 常见平面立体的投影3.1.2 平面立体图的绘制绘制平面立体的三面投影图，首先要按正确位置将绘制平面立体的三面投影图，首先要按正确位置将形体放入三面投影体系中，让形体放入三面投影体系中，让形体的表
2、面和棱线与投影形体的表面和棱线与投影面尽量平行或垂直面尽量平行或垂直。绘制平面体的投影图实际上就是绘制平面体的投影图实际上就是绘制平面体底面和绘制平面体底面和侧表面的投影侧表面的投影，一般先画出反映底面实形的正投影图，一般先画出反映底面实形的正投影图，然后再根据投影规律画出其他两个投影。然后再根据投影规律画出其他两个投影。3.1.2 平面立体图的绘制1棱柱体的投影图棱柱体的投影图（1）棱柱体的形成）棱柱体的形成棱柱体是由棱柱体是由两个底面和几个侧棱面两个底面和几个侧棱面组成，且底面垂直于侧棱面组成，且底面垂直于侧棱面的平面立体。当棱柱底面为三角形、四边形、五边形、的平面立体。当棱柱底面为三角形
3、、四边形、五边形、n边边形时，则该棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱、形时，则该棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱、n棱柱。当棱柱。当棱柱底面为正棱柱底面为正n边形时，称为边形时，称为正正n棱柱棱柱。上、下底面平行且相等；上、下底面平行且相等；各棱各棱线平行且相等；平行且相等；底面的底面的边数数侧棱面数棱面数侧棱棱线数；数；表面表面总数底面数底面边数数2。棱柱体的特点棱柱体的特点3.1.2 平面立体图的绘制 选择安放位置。选择安放位置。同一形体因安放位置不同其投影也不同。为作图方便，应将同一形体因安放位置不同其投影也不同。为作图方便，应将形体的表面尽量平行或垂直于投影面形体的表面尽量平行或垂直于投影面
4、，如图（，如图（a）所示。）所示。投影分析。投影分析。H面投影面投影V面投影面投影W面投影面投影（2）棱柱体投影图的绘制）棱柱体投影图的绘制（a）3.1.2 平面立体图的绘制 作图步骤。作图步骤。在在H面画出反映底面实形的正六边形，如图（面画出反映底面实形的正六边形，如图（b）所示。）所示。根据根据“长对正长对正”的投影规律和正六棱柱的高度画出的投影规律和正六棱柱的高度画出V面的投影图，面的投影图，如图（如图（c）所示。）所示。根据根据“高平齐，宽相等高平齐，宽相等”的投影规律画出的投影规律画出W面上的投影图，并加面上的投影图，并加粗全图，如图（粗全图，如图（d）所示。）所示。（b）（c）（d
5、）3.1.2 平面立体图的绘制2棱锥体的投影图棱锥体的投影图棱锥体是棱锥体是底面为多边形，棱线相交于一点底面为多边形，棱线相交于一点的平面立体。当棱的平面立体。当棱锥底面为三角形、四边形、五边形、锥底面为三角形、四边形、五边形、n边形时，则该棱锥边形时，则该棱锥称为三棱锥、四棱锥、五棱锥、称为三棱锥、四棱锥、五棱锥、n棱锥。当棱锥底面为正棱锥。当棱锥底面为正n边形时，称为边形时，称为正正n棱锥棱锥。（1）棱锥体的形成）棱锥体的形成底面底面为多多边形形；各各侧棱棱线相交于一点相交于一点；底面的底面的边数数侧棱面数棱面数侧棱棱线数；数；表面表面总数底面数底面边数数1。棱棱锥体的特点体的特点3.1.
6、2 平面立体图的绘制 选择安放位置。选择安放位置。如图（如图（a）所示，将正五棱锥底面平行于）所示，将正五棱锥底面平行于H面，前底面边线垂直于面，前底面边线垂直于W面。面。投影分析。投影分析。H面投影面投影V面投影面投影W面投影面投影（2）棱锥体投影图的绘制）棱锥体投影图的绘制（a）3.1.2 平面立体图的绘制 作图步骤。作图步骤。在在H面上画出反映底面实形的正五边形，面上画出反映底面实形的正五边形，5条侧棱的交点条侧棱的交点s是正五边是正五边形的中心，如图（形的中心，如图（b）所示。）所示。根据根据“长对正长对正”的投影规律和正五棱锥的高画出的投影规律和正五棱锥的高画出V面的投影，其中面的投
7、影，其中侧棱侧棱sd是不可见的，应画成虚线，如图（是不可见的，应画成虚线，如图（c）所示。）所示。根据根据“高平齐、宽相等高平齐、宽相等”的投影规律画出的投影规律画出W面的投影，其中侧表面的投影，其中侧表面面sa（b）积聚为一直线，应加粗图线，如图（）积聚为一直线，应加粗图线，如图（d）所示。）所示。（b）（c）（d）3.1.3 平面立体表面上点和直线 的投影平面立体表面上点和直平面立体表面上点和直线的投影，的投影，应符合平面上点和符合平面上点和直直线的投影特点。求平面立体表面上的点和直的投影特点。求平面立体表面上的点和直线的投影，的投影，实质就是求平面内点和直就是求平面内点和直线的投影的投影
8、。3.1.3 平面立体表面上点和直线 的投影例例3-1 已知四棱柱表面上已知四棱柱表面上K，L两点在两点在V面上的投影面上的投影k，l及及M点在点在H面上的投影面上的投影m，求，求K，L，M三点在另外两个面上的投影，三点在另外两个面上的投影，如如图所示。所示。3.1.3 平面立体表面上点和直线 的投影例例3-2 已知三棱柱表面上直已知三棱柱表面上直线AB，BC在在V面上的投影面上的投影ab，bc，求，求AB，BC在另外两个面上的投影，如在另外两个面上的投影，如图（a）所示。）所示。3.1.3 平面立体表面上点和直线 的投影分析与作图：分析与作图：求三棱柱表面上直线求三棱柱表面上直线AB，BC的
9、投影，的投影，实质就是求三棱柱表面上实质就是求三棱柱表面上A，B，C三点的投影三点的投影，然后将其同面点的投影相连即可。，然后将其同面点的投影相连即可。由图（由图（a）的投影可知，点）的投影可知，点A在左前棱面上，点在左前棱面上，点B在前棱上，点在前棱上，点C在右前棱面上，可利用三棱柱在在右前棱面上，可利用三棱柱在H面投影积聚性确定其表面上的点的面投影积聚性确定其表面上的点的投影。过投影。过a，b，c向向H面分别引垂线就可得到面分别引垂线就可得到a，b，c三点，然后可三点，然后可根据已知两个点的投影求出其在根据已知两个点的投影求出其在W面上的投影面上的投影a，b，c，最后将其，最后将其同面点的
10、投影相连即可求出，具体画法如图（同面点的投影相连即可求出，具体画法如图（b）和图和图（c）所示。）所示。3.2 曲面立体 3.2.1 常见曲面立体的投影图常见曲面立体的投影图 3.2.2 曲面立体投影图的绘制曲面立体投影图的绘制 3.2.3 曲面立体表面上点的投影曲面立体表面上点的投影曲面立体曲面立体3.2.1 常见曲面立体的投影图3.2.1 常见曲面立体的投影图3.2.2 曲面立体投影图的绘制（1）选择投影位置）选择投影位置如图（如图（a）所示，将圆柱体立放在三面投影体系中，使上、下）所示，将圆柱体立放在三面投影体系中，使上、下底面平行于底面平行于H面，圆柱面垂直于面，圆柱面垂直于H面。面。
11、（2）投影分析）投影分析H面投影面投影V面投影面投影W面投影面投影1圆柱体投影图圆柱体投影图（a）3.2.2 曲面立体投影图的绘制（3）作图步骤）作图步骤先作先作H面投影，如图（面投影，如图（b）所示。）所示。根据根据“长对正长对正”的投影规律和圆柱的高作出的投影规律和圆柱的高作出V面投影，它们是由上面投影，它们是由上下底面的积聚投影和最左、最右轮廓素线围成的矩形，如图（下底面的积聚投影和最左、最右轮廓素线围成的矩形，如图（c）所示。）所示。根据根据“高平齐、宽相等高平齐、宽相等”的投影规律作出的投影规律作出W面投影，它们是由上下面投影，它们是由上下底面的积聚投影和最前、最后轮廓素线围成的矩形
12、，如图（底面的积聚投影和最前、最后轮廓素线围成的矩形，如图（d）所示。）所示。（b）（c）（d）3.2.2 曲面立体投影图的绘制（1）选择投影位置）选择投影位置如图（如图（a）所示，将圆锥体立放在三面投影体系中，使下底面平行）所示，将圆锥体立放在三面投影体系中，使下底面平行于于H面。面。（2）投影分析）投影分析H面投影面投影V面投影面投影W面投影面投影2圆锥体投影图圆锥体投影图（a）3.2.2 曲面立体投影图的绘制（3）作图步骤）作图步骤先作先作H面投影面，如图（面投影面，如图（b）所示。）所示。根据根据“长对正长对正”的投影规律和圆锥体的高作出的投影规律和圆锥体的高作出V面投影，它们是由下底
13、面投影，它们是由下底面的积聚投影和最左、最右轮廓素线围成的等腰三角形，如图（面的积聚投影和最左、最右轮廓素线围成的等腰三角形，如图（c）所示。）所示。根据根据“高平齐、宽相等高平齐、宽相等”的投影规律作出的投影规律作出W面投影，它们是由下底面面投影，它们是由下底面的积聚投影和最前、最后轮廓素线围成的等腰三角形，如图（的积聚投影和最前、最后轮廓素线围成的等腰三角形，如图（d）所示。）所示。（b）（c）（d）3.2.2 曲面立体投影图的绘制（1）选择投影位置）选择投影位置如图（如图（a）所示，将球放在三面投影体系中，为了更好地理解球的）所示，将球放在三面投影体系中，为了更好地理解球的三面投影特点，
14、在球上标注三面投影特点，在球上标注A，B，C3个点，如图（个点，如图（a）所示。）所示。（2）投影分析）投影分析3个投影均为圆，直径相等并等于球径。个投影均为圆，直径相等并等于球径。3球投影图球投影图3.2.2 曲面立体投影图的绘制（3）作图步骤）作图步骤作球的三面投影，如图所示。作球的三面投影，如图所示。A点的点的V与与W面投影刚好在直径上，面投影刚好在直径上，H面投影在圆周上；面投影在圆周上；B点的点的H与与W面投影刚好在直径上，面投影刚好在直径上，V面投影在圆周上；面投影在圆周上；C点的点的H与与V面投影刚面投影刚好在直径上，好在直径上，W面投影在圆周上，如图所示。面投影在圆周上，如图所
15、示。例例3-2 如图（如图（a）所示，已知圆柱体表面上一点）所示，已知圆柱体表面上一点A的的V面投影。面投影。求点求点A的的H面、面、W面投影。面投影。3.2.3 曲面立体表面上点的投影1利用曲面投影的积聚性利用曲面投影的积聚性分析与作图：分析与作图：因圆柱的轴线垂直于因圆柱的轴线垂直于H面，故圆柱的水平投影有积聚性，又面，故圆柱的水平投影有积聚性，又因因a可见，表明点可见，表明点A位于圆柱的前半个表面上，因此过位于圆柱的前半个表面上，因此过a向下投向下投影，在圆柱水平投影的前半圆周上得点影，在圆柱水平投影的前半圆周上得点A的水平投影的水平投影a。由。由a，a可求出可求出a，如图，如图3-9（
16、b）所示。因）所示。因a位于位于V投影对称轴的右侧，投影对称轴的右侧，故故a为不可见，为不可见，A点在圆柱体上的位置如图点在圆柱体上的位置如图3-9（c）所示。）所示。3.2.3 曲面立体表面上点的投影例例3-3 已知圆锥表面上一点已知圆锥表面上一点A的的V面投影面投影a，求其水平投影，求其水平投影a及侧面投影及侧面投影a。3.2.3 曲面立体表面上点的投影2素线法和纬圆法素线法和纬圆法方法一：素方法一：素线法法素素线法就是法就是过给定点和定点和锥顶在在锥面上作一条素面上作一条素线为辅助助线，利用点、利用点、线的从属关系，得出点的其余投影的方法。的从属关系，得出点的其余投影的方法。方法二：方法
17、二：纬圆法法假想沿平行于假想沿平行于圆锥的底面方向切割的底面方向切割圆锥，可形成，可形成许多多圆，这些些圆称称为纬圆。锥面上任一点必在其高度相同的面上任一点必在其高度相同的纬圆上，用上，用纬圆作作辅助助圆来确定曲面上点的投影位置的方法称来确定曲面上点的投影位置的方法称为纬圆法。法。分析与作图：分析与作图：如图（如图（b）所示，过圆锥顶）所示，过圆锥顶S的的V面投影面投影s与点与点A的的V面投影面投影a作作一条素线一条素线sa与底圆交于点与底圆交于点b，从而得到，从而得到SB的的V面投影面投影sb。由由sb可求出可求出sb。因点因点A在素线在素线SB上，故过上，故过a向下作垂线交向下作垂线交sb
18、于于a，由，由a和和a可求可求得点得点A的侧面投影的侧面投影a。3.2.3 曲面立体表面上点的投影分析与作图：分析与作图：如图如图3-11所示，过点所示，过点A作纬圆。因纬圆平行于作纬圆。因纬圆平行于H面，所以面，所以其在其在V面上的投影为一条平行于面上的投影为一条平行于OX轴的直线，过轴的直线，过a作一条水平线作一条水平线12，12即为过点即为过点A的水平纬圆的的水平纬圆的V面投影。面投影。以以12为直径，在为直径，在H面上画出纬圆的水平投影。面上画出纬圆的水平投影。过过a在纬圆的水平投影上得出在纬圆的水平投影上得出a，再由，再由a和和a求得求得a。3.2.3 曲面立体表面上点的投影3.3
19、截切体和相贯体3.3.1 截切体截切体 3.3.2 相贯体相贯体 3.3.3 截切体和相贯体的尺寸标注截切体和相贯体的尺寸标注截切体截切体 和相和相贯体体3.3.1 截切体如图所示，被平面截割后的形体，称为如图所示，被平面截割后的形体，称为截切体截切体。截割形体的。截割形体的平面，称为平面，称为截平面截平面。截平面与形体表面的交线，称为。截平面与形体表面的交线，称为截交线截交线。截。截交线所围成的平面图形，称为交线所围成的平面图形，称为截面截面。1截切体的有关概念及性质截切体的有关概念及性质3.3.1 截切体因为立体的形状都不一样，截平面与立体表面的相对位置也因为立体的形状都不一样，截平面与立
20、体表面的相对位置也各不相同，由此产生的截交线形状也千差万别，但所有的截交线各不相同，由此产生的截交线形状也千差万别，但所有的截交线都具有以下基本性质：都具有以下基本性质：共有性。共有性。截交线是截平面与立体表面的共有线，既在截截交线是截平面与立体表面的共有线，既在截平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面共有点的集合。平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面共有点的集合。封闭性。封闭性。由于立体表面是有范围的，所以截交线一般是由于立体表面是有范围的，所以截交线一般是封闭的平面图形。封闭的平面图形。求截交线，就是求出截平面与立体表面的一系列共有点，求截交线，就是求出截平面与立体表面的一系列共
21、有点，然后依次连接即可。然后依次连接即可。3.3.1 截切体用截平面截切平面立体得到的截切体，叫用截平面截切平面立体得到的截切体，叫平面截切体平面截切体。因为平面立体的表面由若干平面围成，所以平面与平面立体因为平面立体的表面由若干平面围成，所以平面与平面立体相交时的截交线是一个封闭的平面多边形，多边形的顶点是平面相交时的截交线是一个封闭的平面多边形，多边形的顶点是平面立体的棱线与截平面的交点，多边形的每条边是平面立体的棱面立体的棱线与截平面的交点，多边形的每条边是平面立体的棱面与截平面的交线。因此求作平面立体上的截交线，可以归纳为两与截平面的交线。因此求作平面立体上的截交线，可以归纳为两种方法
22、种方法：交点法交点法：即先求出平面立体的各棱线与截平面的交点，：即先求出平面立体的各棱线与截平面的交点，然后将各点依次连接起来，即得截交线。然后将各点依次连接起来，即得截交线。交线法交线法：即求出平面立体的各表面与截平面的交线。：即求出平面立体的各表面与截平面的交线。2平面截切体平面截切体3.3.1 截切体例例3-4 已知六棱柱被正垂面截切，作出其截交已知六棱柱被正垂面截切，作出其截交线的投影，如的投影，如图所示。所示。3.3.1 截切体分析与作图：分析与作图：六棱柱被正垂面截切，截交线是六边形，六棱柱被正垂面截切，截交线是六边形，6个点是个点是6条侧棱与条侧棱与已知截平面的交点。截交线的正面
23、和水平投影都已知，其正面投已知截平面的交点。截交线的正面和水平投影都已知，其正面投影积聚为一条直线，水平投影则与六棱柱的水平投影重合。影积聚为一条直线，水平投影则与六棱柱的水平投影重合。根据根据1，2，3，4，5，6六个点的正面和水平投影，利用投影六个点的正面和水平投影，利用投影规律，求出其侧面投影规律，求出其侧面投影1，2，3，4，5，6。依次连接。依次连接12，23，34，45，56，61，即得截交线的投影。，即得截交线的投影。3.3.1 截切体用截平面截切曲面立体得到的截切体，叫用截平面截切曲面立体得到的截切体，叫曲面截切体曲面截切体。平面与曲面立体相交，所得的截交线一般为封闭的平面曲线
24、。平面与曲面立体相交，所得的截交线一般为封闭的平面曲线。截交线上的每一点，都是截平面与曲面立体表面的共有点，求出截交线上的每一点，都是截平面与曲面立体表面的共有点，求出这些共有点，然后依次连接起来，即得截交线。截交线可以看作这些共有点，然后依次连接起来，即得截交线。截交线可以看作截平面与曲面立体表面上交点的集合。截平面与曲面立体表面上交点的集合。截交线上的一些能确定其形状和范围的点，如最高、最低点，截交线上的一些能确定其形状和范围的点，如最高、最低点，最左、最右点，最前、最后点，以及可见与不可见点等，都是特最左、最右点，最前、最后点，以及可见与不可见点等，都是特殊点。作图时，通常先作出截交线上
25、的特殊点，再按需要作出一殊点。作图时，通常先作出截交线上的特殊点，再按需要作出一些中间点即可，并要注意投影的可见性。些中间点即可，并要注意投影的可见性。3曲面截切体曲面截切体3.3.1 截切体例例3-5 求作求作圆柱体的截交柱体的截交线的投影，如的投影，如图所示。所示。3.3.1 截切体分析与作图：分析与作图：圆柱体被正垂面截切，截切线是椭圆曲线。截切线的作法如下：圆柱体被正垂面截切，截切线是椭圆曲线。截切线的作法如下：先绘制形体三面投影的外轮廓线，然后作出截平面位置的投先绘制形体三面投影的外轮廓线，然后作出截平面位置的投影图，如图所示。影图，如图所示。3.3.1 截切体 取截切线上取截切线上
26、A，B，C，D（长、短轴端点）（长、短轴端点）4个特殊点，个特殊点，并求出并求出4个点的三面投影，如个点的三面投影，如左图左图所示。所示。取取AD，DB，BC，CA4条线段的中间点条线段的中间点H，F，E，G，并，并求求H，F，E，G4个点的三面投影，最后擦去多余图线，依次光个点的三面投影，最后擦去多余图线，依次光滑连接各点，即得到截切线的投影，如滑连接各点，即得到截切线的投影，如右图右图所示。所示。3.3.2 相贯体两立体相交得到的新立体称为两立体相交得到的新立体称为相贯体相贯体，两立体因相交表面产生的交线称，两立体因相交表面产生的交线称为为相贯线相贯线。立体相贯的形式有两种：一种是。立体相
27、贯的形式有两种：一种是全贯全贯，即一个立体完全穿过另一，即一个立体完全穿过另一个立体，相贯线有两组；另一种是个立体，相贯线有两组；另一种是互贯互贯，两个立体各有一部分参与互贯，相，两个立体各有一部分参与互贯，相贯线只有一组。贯线只有一组。相贯线的形状取决于两相交立体的形状、大小及其相对位置。两回转体相贯线的形状取决于两相交立体的形状、大小及其相对位置。两回转体相交得到的相贯线，具有以下性质：相交得到的相贯线，具有以下性质：相贯线是相交两立体表面共有的线，是两立体表面一系列共有点的集相贯线是相交两立体表面共有的线，是两立体表面一系列共有点的集合，同时也是两立体表面的分界点。合，同时也是两立体表面
28、的分界点。由于立体占有一定的空间，所以相贯线一般是封闭的空间曲线。由于立体占有一定的空间，所以相贯线一般是封闭的空间曲线。1相贯体的有关概念及性质相贯体的有关概念及性质求相求相贯线，实际上是求两立体表面的共有点或上是求两立体表面的共有点或线。相。相贯线可可见性的判断性的判断原原则：相：相贯线同同时位于两个立体的可位于两个立体的可见表面上表面上时，其投影才是可，其投影才是可见的；否的；否则就不可就不可见。3.3.2 相贯体2立体表面的相贯线立体表面的相贯线立体相交立体相交平面立体与平面立体相交平面立体与平面立体相交平面立体与曲面立体相交平面立体与曲面立体相交曲面立体与曲面立体相交曲面立体与曲面立
29、体相交3.3.2 相贯体两平面立体的相贯线，一般情况为空间折线，特殊情况为平两平面立体的相贯线，一般情况为空间折线，特殊情况为平面折线，每段折线是两立体棱面的交线，每个折点是一立体棱线面折线，每段折线是两立体棱面的交线，每个折点是一立体棱线与另一个立体的贯穿点。与另一个立体的贯穿点。求两平面体的相贯线的方法有两种：求两平面体的相贯线的方法有两种：交点法交点法。先做出其中一个平面立体的有关棱线与另一个。先做出其中一个平面立体的有关棱线与另一个平面立体的交点，再将所有交点依次连接成折线，即组成相贯线。平面立体的交点，再将所有交点依次连接成折线，即组成相贯线。连点的规则：只有当两个交点对每个平面立体
30、来说，都位于同一连点的规则：只有当两个交点对每个平面立体来说，都位于同一个棱面上时才能相连，否则不能相连。个棱面上时才能相连，否则不能相连。交线法交线法。直接作出两平面立体上两个相应棱面的交线，。直接作出两平面立体上两个相应棱面的交线，然后组成相贯线。然后组成相贯线。（1）两平面立体的相贯线）两平面立体的相贯线3.3.2 相贯体例例3-6 如如图所示，求作所示，求作长方体和三棱方体和三棱锥的相的相贯线。分析：分析：根据相贯体的正面投影可知，长方体整个贯入三棱锥，因是根据相贯体的正面投影可知，长方体整个贯入三棱锥，因是全贯，应有两组相贯线。全贯，应有两组相贯线。因为长方体的正面投影有积聚性，所以
31、相贯线的正面投影是因为长方体的正面投影有积聚性，所以相贯线的正面投影是已知的，积聚在这个长方体正面投影的轮廓线上。剩下的问题仅仅已知的，积聚在这个长方体正面投影的轮廓线上。剩下的问题仅仅是根据相贯线的正面投影补画出相贯线的水平投影和侧面投影。是根据相贯线的正面投影补画出相贯线的水平投影和侧面投影。3.3.2 相贯体作图：作图：在正立面标出各贯穿点的投影。在正立面标出各贯穿点的投影。作水平面作水平面P，Q，求出全部这点的水平投影，进一步求出其侧面投影。，求出全部这点的水平投影，进一步求出其侧面投影。连点并判别可见性。水平投影中线段连点并判别可见性。水平投影中线段45，56，910不可见，画成虚线
32、。不可见，画成虚线。3.3.2 相贯体平面立体与曲面立体的相贯线是由若干段平面曲线或平面直平面立体与曲面立体的相贯线是由若干段平面曲线或平面直线和直线所组成，即平面立体上各棱面截曲面立体所得的截交线。线和直线所组成，即平面立体上各棱面截曲面立体所得的截交线。每一段平面曲线或直线的折点，就是平面立体的棱线与曲面立体每一段平面曲线或直线的折点，就是平面立体的棱线与曲面立体表面的交点。表面的交点。作图时，先求出这些转折点，再根据求曲面体上截作图时，先求出这些转折点，再根据求曲面体上截交线的方法，求出每段曲线或直线。交线的方法，求出每段曲线或直线。（2）平面立体与曲面立体的相贯线）平面立体与曲面立体的
33、相贯线3.3.2 相贯体例例3-7 如如图所示，求四棱所示，求四棱锥与与圆柱的相柱的相贯线。分析：分析：根据根据4棱锥各棱面与曲面立体轴线的相对位置，确定相贯线的空间棱锥各棱面与曲面立体轴线的相对位置，确定相贯线的空间形状。四棱锥的形状。四棱锥的4个棱面与圆柱轴线倾斜，其截交线各为椭圆的一部分，个棱面与圆柱轴线倾斜，其截交线各为椭圆的一部分，即截交线为即截交线为4段椭圆弧线的组合，段椭圆弧线的组合，4条棱线与圆柱面的条棱线与圆柱面的4个交点是连接点。个交点是连接点。根据四棱锥、圆柱与投影面的相对位置确定相贯线的投影。由于根据四棱锥、圆柱与投影面的相对位置确定相贯线的投影。由于圆柱面的水平投影有
34、积聚性，所以相贯线的水平投影是已知的，只需求正圆柱面的水平投影有积聚性，所以相贯线的水平投影是已知的，只需求正面投影。面投影。3.3.2 相贯体作作图：求求连接点。由接点。由3，4，5，6求出其正面投影。求出其正面投影。求特殊点。求特殊点。7，8两点是两点是正面正面转向向轮廓廓线上的点，其正上的点，其正面投影可在面投影可在V面上直接找出，面上直接找出，1，2两点是两点是侧面面转向向轮廓廓线上的上的点，可以利用点，可以利用辅助平面作出。助平面作出。判判别可可见性并性并连线。不。不可可见线被可被可见线遮遮挡，因此所，因此所有有线段均段均为实线。3.3.2 相贯体（3）两曲面立体表面的相贯线）两曲面
35、立体表面的相贯线两曲面立体表面的相贯线，一般是封闭的空间曲线，特殊情两曲面立体表面的相贯线，一般是封闭的空间曲线，特殊情况下可能为平面曲线或直线。组成相贯线的所有相贯点，均为两况下可能为平面曲线或直线。组成相贯线的所有相贯点，均为两曲面体表面的共有点。因此求相贯线时，要先求出一系列的共有曲面体表面的共有点。因此求相贯线时，要先求出一系列的共有点，然后依次连接各点，即得相贯线。求相贯线的方法通常有以点，然后依次连接各点，即得相贯线。求相贯线的方法通常有以下两种：下两种：积聚投影法积聚投影法。相交两曲面体，如果有一个表面投影具有。相交两曲面体，如果有一个表面投影具有积聚性时，就可利用该曲面体投影的
36、积聚性作出两曲面的一系列积聚性时，就可利用该曲面体投影的积聚性作出两曲面的一系列共有点，然后依次连成相贯线。共有点，然后依次连成相贯线。辅助平面法辅助平面法。根据三点共面原理，作辅助平面与两曲面。根据三点共面原理，作辅助平面与两曲面相交，求出两辅助截交线的交点，即为相贯点。相交，求出两辅助截交线的交点，即为相贯点。选择辅助平面的原则：辅助截平面与两个曲面的截交线（辅选择辅助平面的原则：辅助截平面与两个曲面的截交线（辅助截交线）的投影都应是最简单易画的直线或圆。助截交线）的投影都应是最简单易画的直线或圆。3.3.2 相贯体在解题过程中，为了使相贯线的作图清楚、准确，在解题过程中，为了使相贯线的作
37、图清楚、准确，在求共有点时，应先求特殊点，再求一般点。相贯线上在求共有点时，应先求特殊点，再求一般点。相贯线上的特殊点包括可见性分界点，曲面投影轮廓线上的点，的特殊点包括可见性分界点，曲面投影轮廓线上的点，极限位置点（最高、最低、最左、最右、最前、最后）极限位置点（最高、最低、最左、最右、最前、最后）等。根据这些点不仅可以掌握相贯线投影的大致范围，等。根据这些点不仅可以掌握相贯线投影的大致范围，而且还可以方便设立求一般点的辅助截平面的位置。而且还可以方便设立求一般点的辅助截平面的位置。3.3.2 相贯体例例3-8 如如图所示，求作两所示，求作两轴线正交的正交的圆柱体的相柱体的相贯线。根据两立体
38、与投影面的相对位置确定相贯线的投影。根据两立体与投影面的相对位置确定相贯线的投影。相贯线的水平投影积聚在大圆柱的水平投影上（即小圆柱水平相贯线的水平投影积聚在大圆柱的水平投影上（即小圆柱水平投影轮廓之间的一段大圆弧），相贯线的侧面投影积聚在小圆柱的投影轮廓之间的一段大圆弧），相贯线的侧面投影积聚在小圆柱的侧面投影上（整个圆）。因此，余下的问题是根据相贯线的已知两侧面投影上（整个圆）。因此，余下的问题是根据相贯线的已知两投影求出它的正面投影。投影求出它的正面投影。分析：分析：根据两立体轴线的相对位置，根据两立体轴线的相对位置，确定相贯线的空间形状。由图可知，两确定相贯线的空间形状。由图可知，两个
39、直径不同的圆柱垂直相交，大圆柱为个直径不同的圆柱垂直相交，大圆柱为铅垂位置，小圆柱为水平位置，由左至铅垂位置，小圆柱为水平位置，由左至右完全贯入大圆柱，所得相贯线为一组右完全贯入大圆柱，所得相贯线为一组封闭的空间曲线。封闭的空间曲线。3.3.2 相贯体作图：作图：求特殊点求特殊点；求一般点求一般点；连点并判别可见性。连点并判别可见性。3.3.2 相贯体（4）曲面立体相贯线的特殊情况）曲面立体相贯线的特殊情况两曲面立体相交，其相贯线一般为空间曲线，但在特殊情况下也两曲面立体相交，其相贯线一般为空间曲线，但在特殊情况下也可能是平面曲线或直线。可能是平面曲线或直线。两个曲面立体具有公共轴线时，相贯线
40、为与轴线垂直的圆，如两个曲面立体具有公共轴线时，相贯线为与轴线垂直的圆，如图所示。图所示。3.3.2 相贯体 当正交的两圆柱直径相等时，相贯线为大小相等的两个当正交的两圆柱直径相等时，相贯线为大小相等的两个椭圆（投影为通过两轴线交点的直线），如图所示。椭圆（投影为通过两轴线交点的直线），如图所示。3.3.2 相贯体 当相交的两圆柱轴线平行时，相贯线为两条平行于轴线当相交的两圆柱轴线平行时，相贯线为两条平行于轴线的直线，如图所示。的直线，如图所示。3.3.3 截切体和相贯体的 尺寸标注1截切体的尺寸标注截切体的尺寸标注对于截切体，由于被截平面截切，往往会出现切口和穿孔的对于截切体，由于被截平面截
41、切，往往会出现切口和穿孔的结构。因此，除了要标注基本形体的尺寸外，还应标注截平面的结构。因此，除了要标注基本形体的尺寸外，还应标注截平面的位置尺寸。截切体的尺寸标注不必标注截交线的尺寸，因为基本位置尺寸。截切体的尺寸标注不必标注截交线的尺寸，因为基本体与截平面的相对位置一旦确定，截切体的形状与大小也就完全体与截平面的相对位置一旦确定，截切体的形状与大小也就完全确定下来了。确定下来了。2相贯体的尺寸标注相贯体的尺寸标注相贯体是由两立体相交得到的，只有当两相交立体的形状、相贯体是由两立体相交得到的，只有当两相交立体的形状、大小及相对位置确定以后，形成的相贯线的形状、大小及相对位大小及相对位置确定以
42、后，形成的相贯线的形状、大小及相对位置才能完全确定下来。除了要标注相交两形体的尺寸外，还应标置才能完全确定下来。除了要标注相交两形体的尺寸外，还应标注确定两基本体相对位置的尺寸，但不必标注相贯线的尺寸。注确定两基本体相对位置的尺寸，但不必标注相贯线的尺寸。3.4 组合体3.4.1 组合体的分类组合体的分类 3.4.2 组合体投影图的绘制组合体投影图的绘制 3.4.3 组合体投影图的识读组合体投影图的识读组合体合体 3.4.4 组合体投影图的尺寸标注组合体投影图的尺寸标注（1）叠加式）叠加式（1）叠加式）叠加式3.4.1 组合体的分类叠加式是把组合体看成由若干个基本形体叠叠加式是把组合体看成由若
43、干个基本形体叠加而成的。加而成的。（2）切割式）切割式（3）混合式）混合式3.4.1 组合体的分类（1）叠加式）叠加式（2）切割式）切割式（3）混合式）混合式切割式是组合体由一个基本形体经过若干次切割式是组合体由一个基本形体经过若干次切割而成的切割而成的。3.4.1 组合体的分类（1）叠加式）叠加式（2）切割式）切割式（3）混合式）混合式混合式是组合体是既有叠加又有切割组合而混合式是组合体是既有叠加又有切割组合而成的。成的。3.4.2 组合体投影图的绘制1形体分析形体分析绘制组合体的投影图时，应先分析出组合体的组合方式，如组合绘制组合体的投影图时，应先分析出组合体的组合方式，如组合体是由哪些基
44、本形体组成的，并了解它们之间的相对位置关系。体是由哪些基本形体组成的，并了解它们之间的相对位置关系。2选择投影方向选择投影方向选择投影方向的原则：选择投影方向的原则：反映组合体的形状特征。反映组合体的形状特征。形体上处于投影面平行面的表面最多，投影图上的虚线最少。形体上处于投影面平行面的表面最多，投影图上的虚线最少。形体的正常工作位置。例如，板的正常工作位置是水平放置，形体的正常工作位置。例如，板的正常工作位置是水平放置，而柱的正常工作位置为竖直放置。而柱的正常工作位置为竖直放置。3画投影图画投影图画投影图的一般步骤如下：画投影图的一般步骤如下：先进行图面布置。先进行图面布置。画底稿线，分别画
45、出各基本形体的三面投影，然后进行检查、画底稿线，分别画出各基本形体的三面投影，然后进行检查、修线、加粗线条。修线、加粗线条。3.4.2 组合体投影图的绘制例例3-9 画出画出图中叠加型中叠加型组合体的三面投影合体的三面投影图。形体分析形体分析：组合体由一个水平放置的长方体（即形体：组合体由一个水平放置的长方体（即形体1）、右上方）、右上方直立的长方体（即形体直立的长方体（即形体2）、两形体中间平放的三棱柱（即形体）、两形体中间平放的三棱柱（即形体3）共同组）共同组合而成。合而成。选择投影方向选择投影方向：选择正对着直立的长度方向为投影方向，如图：选择正对着直立的长度方向为投影方向，如图中中箭头
46、所示。箭头所示。3.4.2 组合体投影图的绘制 画投影画投影图：图面布置之后，画底稿面布置之后，画底稿线，先画形体，先画形体1的三面投的三面投影，再画直立的形体影，再画直立的形体2的三面投影，最后画形体的三面投影，最后画形体3的三面投影。然后的三面投影。然后检查、修改、擦去多余的、修改、擦去多余的线条，按条，按规定加粗各定加粗各类图线，如，如图所示。所示。3.4.2 组合体投影图的绘制例例3-10 画出画出图示示切割型切割型组合体的三面投影合体的三面投影图。形体分析形体分析：组合体可以看成是一个长方体切割掉形体：组合体可以看成是一个长方体切割掉形体1和和形体形体2后的剩余体。后的剩余体。选择投
47、影方向选择投影方向：选择正对着直立的长度方向为投影方向，：选择正对着直立的长度方向为投影方向，如图如图中中箭头所示。箭头所示。3.4.2 组合体投影图的绘制 画投影画投影图：先画出完整：先画出完整长方体的三面投影，然后分方体的三面投影，然后分别画出画出形体形体1和形体和形体2的三面投影，最后的三面投影，最后检查、修改、擦去多余的、修改、擦去多余的线条，条，按按规定加深各定加深各类图线，如，如图所示。所示。3.4.2 组合体投影图的绘制例例3-11 画出画出图示示综合型合型组合体的三面投影合体的三面投影图。形体分析形体分析：组合体可以看成是一个四棱柱（即形体：组合体可以看成是一个四棱柱（即形体1
48、），在），在它的上面叠加一个四棱柱（即形体它的上面叠加一个四棱柱（即形体2）和一个三棱柱（即形体）和一个三棱柱（即形体3），），而形体而形体1中又挖去了一个圆柱（即形体中又挖去了一个圆柱（即形体4）。）。选择投影方向选择投影方向：如图中投影体系所示。：如图中投影体系所示。3.4.2 组合体投影图的绘制 画透明画透明图：先画出形体：先画出形体1的三面投影，然后分的三面投影，然后分别画出形体画出形体2和形体和形体3的三面投影，的三面投影，检查、修改、擦去多余的、修改、擦去多余的线条，按条，按规定加定加粗各粗各类图线，最后画出形体，最后画出形体4的三面投影，如的三面投影，如图所示。所示。3.4.3
49、组合体投影图的识读形体分析法是绘图、识读的基本方法。这种方法是以基本形形体分析法是绘图、识读的基本方法。这种方法是以基本形体的投影特点为基础，把一个复杂的形体分解成若干个基本形体，体的投影特点为基础，把一个复杂的形体分解成若干个基本形体，并分清它们的相对位置和组合方式，将几个投影图联系起来，综并分清它们的相对位置和组合方式，将几个投影图联系起来，综合想象出形体的完整形状。合想象出形体的完整形状。1形体分析法形体分析法线面分析法是以线和面的投影特点为基础，对投影图中的每线面分析法是以线和面的投影特点为基础，对投影图中的每条线和由线围成的各个线框进行分析，根据它们的投影特点，明条线和由线围成的各个
50、线框进行分析，根据它们的投影特点，明确它们的空间形状和位置，综合想象出整个形体的形状。确它们的空间形状和位置，综合想象出整个形体的形状。2线面分析法线面分析法3.4.3 组合体投影图的识读例例3-12 识读图示示组合体的投影合体的投影图。3.4.3 组合体投影图的识读分析与分析与识读：从：从图中可知，中可知，该组合体是由合体是由4个基本形体所个基本形体所组成的。如成的。如下下图所示，先把各个形体的投影所示，先把各个形体的投影图拿出来，想象各个形拿出来，想象各个形体的形状。再把几个投影体的形状。再把几个投影图联系起来，根据它系起来，根据它们的相的相对位置和位置和组合方式，最合方式，最终想象出想象