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1、曲线积分曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定义定义背景背景 曲线形构件的质量曲线形构件的质量 变力沿曲线作功变力沿曲线作功性质性质 线性、可加、无方向线性、可加、无方向 线性、可加、有方向线性、可加、有方向计算计算 一代、二换、三定限一代、二换、三定限 一代、二换、三定限一代、二换、三定限联系联系曲线积分的计算法曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终(1)利用对称性及重心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关的等
2、价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧加辅助线的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用两类曲线积分的联系公式.2.基本技巧基本技巧与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题提示提示:利用极坐标,原式=说明说明:若用参数方程计算,则二、二、典型例题典型例题 计算其中L为圆周例例1计算计算其中其中L为摆线为摆线上对应上对应 t 从从 0 到到 2 的一段弧的一段弧.提示提示:例例2计算计算其中其中 由平面由平面 y=z 截球面截球面原式原式=提示提示:因在因在 上有上有故故从从 z 轴正向看沿逆时针方向轴正向看沿逆时针方向.例例3例例4 计算计算所围成的在
3、第三象限的扇形的整个边界所围成的在第三象限的扇形的整个边界解解如图如图L1 L1L2 L2L3L3L=L1+L2+L3解解(如下图如下图)解解其中其中L为为例例7 计算计算取顺时针方向取顺时针方向在原点不连续，在原点不连续，以原点为心，作一半径充分小的圆周以原点为心，作一半径充分小的圆周 取逆时针方向取逆时针方向由于由于 L 所围区域包含原点所围区域包含原点记记L和和 所为成的区域为所为成的区域为D1，由，由Green公式公式解解解解令令得得由由使得在不经过使得在不经过的值的值,的区域上的区域上与路径无关与路径无关,并求当并求当L为从为从A(1,1）到）到B(0,2)时时的值。的值。例例9 确
4、定参数确定参数 A(1,1)B(0,2)ACB如选路径如选路径C(1,2)则则积分结果不易求出积分结果不易求出DB但如选路径但如选路径A D(0,1)则则其中其中L为为例例10 计算计算其中其中L为由为由例例11 计算计算沿沿到到逆时针逆时针例例12 验证验证:在整个在整个xoy面内面内,是某个是某个 函数的全微分函数的全微分,并求出一个这样的函数并求出一个这样的函数.其中其中 是圆周是圆周例例13 计算计算若从若从 轴正向看去轴正向看去,这圆周是取逆时针方向这圆周是取逆时针方向例例14.计算计算其中 为曲线解解:利用轮换对称性,有利用重心公式知(的重心在原点)例例15.计算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,解法解法1 令则这说明积分与路径无关,故a 为半径的上半圆周.解法解法2 它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考思考:(2)若 L 同例2,如何计算下述积分:(1)若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:则添加辅助线段思考题解答思考题解答:(1)(2)例例1 6.设在右半平面 x 0 内,力构成力场,其中k 为常数,证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示提示:令易证F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为