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1、结构力学结构力学 STRUCTURE MECHANICS第第2章章 平面体系的几何组成分析平面体系的几何组成分析2.1 概述概述一、几何不变体系：一、几何不变体系：在不考虑杆件应变的假定下，体系的位置和形态在不考虑杆件应变的假定下，体系的位置和形态是不会变更的体系（图是不会变更的体系（图1）。）。（图（图1）二、几何可变体系：二、几何可变体系：在不考虑杆件应变的假定下，体系的位置和形态在不考虑杆件应变的假定下，体系的位置和形态是可以变更的体系（图是可以变更的体系（图2）。）。（图（图2）PP几何组成分析几何组成分析三、几何组成分析的目的：三、几何组成分析的目的：1、判别某一体系是否为几何不变，
2、从而确定它能否、判别某一体系是否为几何不变，从而确定它能否作为结构。作为结构。2、区分静定结构、超静定结构，从而选定相应计算、区分静定结构、超静定结构，从而选定相应计算方法。方法。3、搞清结构各部分间的相互关系，以确定合理的计、搞清结构各部分间的相互关系，以确定合理的计算依次。算依次。几何组成分析几何组成分析一、自由度一、自由度 确定体系几何位置的彼此独立的几何参变量数目。确定体系几何位置的彼此独立的几何参变量数目。1、一个点在平面上有两个自由度（图、一个点在平面上有两个自由度（图1）。）。2、一个刚片在平面上有三个自由度（图、一个刚片在平面上有三个自由度（图2）。）。xyyxA(x,y)o（
3、图（图1）yx（图（图2）yoxA(x,y)2.2 几何不变体系的基本组成规则几何不变体系的基本组成规则二、刚片二、刚片 体系几何形态和尺寸不会变更，可视为刚体的物体。体系几何形态和尺寸不会变更，可视为刚体的物体。三、点、刚片、结构的自由度三、点、刚片、结构的自由度 几何组成分析几何组成分析2.3 瞬变体系瞬变体系独立变更的几何参数为：独立变更的几何参数为：x x、y y。独立变更的几何参数为：独立变更的几何参数为：x x、y y、。四、约束（联系）四、约束（联系）1、约束、约束削减体系自由度的装置。削减体系自由度的装置。凡能削减一个凡能削减一个自由度的装置叫作一个约束。自由度的装置叫作一个约
4、束。2、一根链杆相当于一个约束、一根链杆相当于一个约束(图图3）。）。yox （图（图3）yox xy3、单铰单铰：连结两个刚片的铰称为单铰。一个单铰相当：连结两个刚片的铰称为单铰。一个单铰相当于两个约束于两个约束(图图4）。）。yox（图（图4）yox xy几何组成分析几何组成分析 4、复铰：连结两个以上刚片的铰称为复铰。联结、复铰：连结两个以上刚片的铰称为复铰。联结n个刚片的复铰个刚片的复铰相当于相当于(n-1)个单铰，削减个单铰，削减(n-1)2个约束（图个约束（图5）。）。5、刚性联结或固定端约束相当于三链杆，即三个约束、刚性联结或固定端约束相当于三链杆，即三个约束(图图6）。）。（图
5、（图5）yox xy yox（图（图6）yox xy几何组成分析几何组成分析单铰与链杆的约束关系单铰与链杆的约束关系 一个单铰相当于两个链杆。一个单铰相当于两个链杆。ABCDO虚铰、瞬心虚铰、瞬心ABC实铰实铰实铰实铰CDAB无穷远无穷远平行平行 必要约束与多余约束必要约束与多余约束必要约束必要约束保持几何不变所必需的约保持几何不变所必需的约束。束。多余约束多余约束保持几何不变非必需的约保持几何不变非必需的约束。束。确定必要约束确定必要约束多余约束具有相对性多余约束具有相对性1、两个刚片之间的联结（规则一）：、两个刚片之间的联结（规则一）：两个刚片上用一个铰和一根不通过此铰的一根链杆相连结，形
6、成无两个刚片上用一个铰和一根不通过此铰的一根链杆相连结，形成无多余约束的几何不变体系（或：两个刚片上用三根不交于一点、也不全多余约束的几何不变体系（或：两个刚片上用三根不交于一点、也不全平行的三根链杆相连结平行的三根链杆相连结，形成无多余约束的几何不变体系）。，形成无多余约束的几何不变体系）。刚片刚片2刚片刚片1DE刚片刚片1刚片刚片2ABCDOEF特殊状况：特殊状况：（1）三根链杆交于一点）三根链杆交于一点ABC实饺：几何可变实饺：几何可变虚饺：几何瞬变虚饺：几何瞬变几何组成分析几何组成分析五、五、几何不变体系的基本组成规则几何不变体系的基本组成规则1-3 1-3 平面杆件体系的几何组成分析
7、平面杆件体系的几何组成分析2 2、两刚片规则、两刚片规则 两个刚片用不全交于一点也不全平行的三个链杆相联结两个刚片用不全交于一点也不全平行的三个链杆相联结,或用一或用一个单铰和一个方向不通过单铰的链杆相联结个单铰和一个方向不通过单铰的链杆相联结,组成的体系几何不变，组成的体系几何不变，且没有多余约束。且没有多余约束。ABCABC条件不满足时的五种情况条件不满足时的五种情况瞬变体系瞬变体系平行不等长平行不等长123常变体系常变体系平行等长平行等长 三个刚片上用不在同始终线上的三个铰两两相联结，三个刚片上用不在同始终线上的三个铰两两相联结，形成无多余约束的几何不变体系。形成无多余约束的几何不变体系
8、。（2）三根链杆相互平行）三根链杆相互平行2、三个刚片之间的联结（规则二）：、三个刚片之间的联结（规则二）：实饺实饺虚饺虚饺三饺共线三饺共线（瞬变）（瞬变）几何组成分析几何组成分析1-3 1-3 平面杆件体系的几何组成分析平面杆件体系的几何组成分析四、平面几何不变体系组成的基本规则四、平面几何不变体系组成的基本规则1 1、三刚片规则、三刚片规则 三个刚片用不共线的三个单铰两两相联结三个刚片用不共线的三个单铰两两相联结,组成的体系几何不变，组成的体系几何不变，且没有多余约束且没有多余约束。ABCABC瞬变体系瞬变体系ABC常变体系常变体系ABCABCCBA条件不满足时的两种状况条件不满足时的两种
9、状况三刚片规则的变种三刚片规则的变种3、一个刚片与一个结点之间的联结（二元体规则）（规则三）：、一个刚片与一个结点之间的联结（二元体规则）（规则三）：在刚片上用两根不在一条直线上的链杆联结出一个结点，形成在刚片上用两根不在一条直线上的链杆联结出一个结点，形成无多余约束的几何不变体系（或：在一个刚片上增加二元体）。无多余约束的几何不变体系（或：在一个刚片上增加二元体）。刚片刚片1B留意：留意：1、若同时用三根链杆联结、若同时用三根链杆联结C点，点，则必有一链杆多余。其中任一根链杆则必有一链杆多余。其中任一根链杆称为称为“多余约束多余约束”。D 2、若两链杆共线，则形成、若两链杆共线，则形成“瞬瞬
10、变体系变体系”；见下图。；见下图。ACABCC几何组成分析几何组成分析二元体规则：在一个体系上增加或去掉二元体，不变更体系的几何组成性质。二元体规则：在一个体系上增加或去掉二元体，不变更体系的几何组成性质。1-3 1-3 平面杆件体系的几何组成分析平面杆件体系的几何组成分析五、平面体系几何组成分析方法与步骤五、平面体系几何组成分析方法与步骤三个规则是相通的，即铰结三角形的不变性。三个规则是相通的，即铰结三角形的不变性。1 1、计算自由度、计算自由度 计算自由度计算自由度w w0 0，几何可变；，几何可变；w0 w0，可变与否需作分析；但通常可略去，可变与否需作分析；但通常可略去w w 的计算。
11、的计算。2 2、分析、分析 标明刚片和约束，说明刚片和约束之间的关系，是否满足规则。标明刚片和约束，说明刚片和约束之间的关系，是否满足规则。3 3、结论、结论新结点新结点2.4 几何组成分析举例几何组成分析举例一、方法一、方法 一般先考察体系的计算自由度，若一般先考察体系的计算自由度，若W 0，则体系为几何可变，不，则体系为几何可变，不必进行几何组成分析；必进行几何组成分析；若若W 0，则应进行几何组成分析。，则应进行几何组成分析。二、步骤二、步骤 1、若体系可视为两个或三个刚片时，则干脆应用三规则分析。、若体系可视为两个或三个刚片时，则干脆应用三规则分析。2、若体系不能干脆视为两个或三个刚片
12、时，可先把其中已分析出、若体系不能干脆视为两个或三个刚片时，可先把其中已分析出的几何不变部分视为一个刚片或撤去的几何不变部分视为一个刚片或撤去“二元体二元体”，使原体系简化。，使原体系简化。三、举例三、举例例题例题1结论结论:无多余约束几何不变体系无多余约束几何不变体系几何组成分析几何组成分析例题例题2结论结论:无多余约束几何不变体系无多余约束几何不变体系例题例题4例题例题3结论结论:有有2 2个多余约束的几何可变体系个多余约束的几何可变体系结论结论:有有3 3个多余约束的几何不变体系个多余约束的几何不变体系几何组成分析几何组成分析1-3 1-3 平面杆件体系的几何组成分析平面杆件体系的几何组
13、成分析例题例题12356141-3 1-3 平面杆件体系的几何组成分析平面杆件体系的几何组成分析例题例题2例题例题31-3 1-3 平面杆件体系的几何组成分析平面杆件体系的几何组成分析例题例题4（，）（，）（，）（，）（，）（，）例题例题51-3 1-3 平面杆件体系的几何组成分析平面杆件体系的几何组成分析 （，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）例题例题6（，）1-3 1-3 平面杆件体系的几何组成分析平面杆件体系的几何组成分析应用三刚片规则时，三个（虚）铰的位置有三种状况应用三刚片规则时，三个（虚）铰的位置有三种状况0 0，几何不变，几何不变；0 0，几何瞬变，几何瞬变。状况
14、状况1：一铰在无穷：一铰在无穷远远状况状况2：两铰在无穷远：两铰在无穷远0 0，几何不变，几何不变；0 0，四根平行链杆，四根平行链杆不等长不等长，几何瞬变；，几何瞬变；0 0，四根平行链杆，四根平行链杆等长等长，常变，常变 。状况状况3：三铰在无穷：三铰在无穷远远几何瞬变。几何瞬变。平行不等长平行不等长平行等长平行等长1-3 1-3 平面杆件体系的几何组成分析平面杆件体系的几何组成分析例题例题7例题例题8几何组成分析几何组成分析2.5 体系几何组成与静力特性的关系体系几何组成与静力特性的关系一、几何可变体系一、几何可变体系 一般无静力解答。一般无静力解答。二、无多余联系的几何不变体系二、无多
15、余联系的几何不变体系 静力解答唯一确定。静力解答唯一确定。三、几何瞬变体系三、几何瞬变体系 其平衡方程或者没有有限值解答，或在特殊状况下，解答不确定。其平衡方程或者没有有限值解答，或在特殊状况下，解答不确定。四、具有多余联系的几何不变体系四、具有多余联系的几何不变体系 静力解答有无穷多组解。静力解答有无穷多组解。2.52.5平面杆件体系的几何组成与静力特性的关系平面杆件体系的几何组成与静力特性的关系二、体系的静力解答的特性二、体系的静力解答的特性1、无多余约束的几何不变体系、无多余约束的几何不变体系静定结构静定结构 独立的平衡方程数等于未知力的个数。独立的平衡方程数等于未知力的个数。并且解是唯
16、一的，这一性质称为并且解是唯一的，这一性质称为静定结构解答的唯一性。静定结构解答的唯一性。2、有多余约束的几何不变体系、有多余约束的几何不变体系超静定结构超静定结构 独立的平衡方程数小于未知力的个数。独立的平衡方程数小于未知力的个数。由线性代数，方程组的解有无穷多组解。所以，对超静定结构，满足平由线性代数，方程组的解有无穷多组解。所以，对超静定结构，满足平衡条件的解有无穷多组。只有既满足平衡条件又满足变形条件的解才是唯一衡条件的解有无穷多组。只有既满足平衡条件又满足变形条件的解才是唯一的。的。1-4 1-4 平面杆件体系的几何组成与静力特性的关系平面杆件体系的几何组成与静力特性的关系3、瞬变体
17、系、瞬变体系 图示瞬变体系，当发生微小位移图示瞬变体系，当发生微小位移后，由后，由A点的平衡条件可求得：点的平衡条件可求得：二、体系的静力解答的特性二、体系的静力解答的特性AP(Px1x2(A即瞬变体系在外力作用下，内力趋于无穷，体系不能维持平衡。即瞬变体系在外力作用下，内力趋于无穷，体系不能维持平衡。瞬变体系不能作为结构运用。瞬变体系不能作为结构运用。几何组成分析几何组成分析体系几何组成分析习题课体系几何组成分析习题课一、几何组成分析的目的一、几何组成分析的目的 二、几何不变体系的简洁组成规则（三个规则）二、几何不变体系的简洁组成规则（三个规则）三、自由度的计算方法三、自由度的计算方法1、平
18、面刚片系统：、平面刚片系统：W3m3g2hb 式中：式中：自由度数自由度数 m 刚片数刚片数 g 刚性联结数刚性联结数 h 简洁铰数简洁铰数 b 链杆数链杆数2、平面铰结系统：、平面铰结系统：W2jbr 式中：式中：自由度数自由度数 j 结点数结点数 b 内部内部链杆数链杆数 r 外部外部链杆数链杆数 1、判别某一体系是否为几何不变，从而确定它能否作为结构。、判别某一体系是否为几何不变，从而确定它能否作为结构。2、区分静定结构、超静定结构，从而选定相应计算方法。、区分静定结构、超静定结构，从而选定相应计算方法。3、搞清结构各部分间的相互关系，以确定合理的计算依次。、搞清结构各部分间的相互关系，
19、以确定合理的计算依次。几何组成分析几何组成分析四、留意点四、留意点 1、复铰的概念：联结、复铰的概念：联结n个刚片的复铰相当于个刚片的复铰相当于(n-1)个个简洁铰，削减简洁铰，削减(n-1)2个约束。个约束。O简单铰简单铰O复铰复铰几何组成分析几何组成分析 2、封闭框格不能视为一个刚片，其内部有三个多余约束。、封闭框格不能视为一个刚片，其内部有三个多余约束。3、对体系进行几何组成分析时，如何给出结论：、对体系进行几何组成分析时，如何给出结论：若体系为几何可变或几何瞬变，则若体系为几何可变或几何瞬变，则“该体系为几何可该体系为几何可变体系变体系”或或“该体系为几何瞬变体系该体系为几何瞬变体系”
20、即为最终结论。即为最终结论。若体系为几何不变体系，则除指出若体系为几何不变体系，则除指出“该体系为几何不该体系为几何不变体系变体系”外，还必需指出该体系有无多余约束及多余约束外，还必需指出该体系有无多余约束及多余约束的个数。的个数。1-3 1-3 平面杆件体系的几何组成分析平面杆件体系的几何组成分析五、平面杆件体系自由度的计算五、平面杆件体系自由度的计算 1 1、一般体系自由度的计算、一般体系自由度的计算设：设：m刚片数；刚片数；h单铰数；单铰数；r支座链杆数；支座链杆数；w计算自由度；计算自由度；则：则：注：注：（1 1）刚片指本身没有多余约束的几）刚片指本身没有多余约束的几何不变部分；何不
21、变部分；（2 2）计算自由度不是体系的实际自）计算自由度不是体系的实际自由度。由度。m=h=r=3512121+2+2+1=6w=35263=0例题例题1 1解：解：2-3 2-3 平面杆件体系的几何组成分析平面杆件体系的几何组成分析例题例题2 2解：解：m=h=r=3w=34253=1412111+2+1+1=5例题例题3 3解：解：m=11h=11111144317r=3w=3112173=41-3 1-3 平面杆件体系的几何组成分析平面杆件体系的几何组成分析五、平面杆件体系自由度的计算五、平面杆件体系自由度的计算 2 2、铰结链杆体系自由度的计算、铰结链杆体系自由度的计算设：设：j结点数
22、；结点数；b链杆数；链杆数；r支座链杆数；支座链杆数；w计算自由度；计算自由度；则：则：注：注：这里的结点必需是完全铰结点。这里的结点必需是完全铰结点。例题例题4 4j=9b=15r=3w=29153=0解：解：3 3、结果分析、结果分析计算自由度计算自由度w0，几何可变；，几何可变；w 0，可变与否需另作分析；，可变与否需另作分析；w 0，有多余约束，可变与否需另作分析。，有多余约束，可变与否需另作分析。几何组成分析几何组成分析五、练习：五、练习：答案：答案：（2 2）3 3次超静定（次超静定（3 3）几何瞬变）几何瞬变（5 5）6 6次超静定（次超静定（8 8）h=3mh=3m 其余静定。
23、其余静定。试对图示体系进行几何组成分析：试对图示体系进行几何组成分析：几何组成分析几何组成分析六、虚铰在无穷远的状况六、虚铰在无穷远的状况 1、一个虚铰在无穷远的状况、一个虚铰在无穷远的状况（1）构成虚铰的两链杆与）构成虚铰的两链杆与第三杆平行且等长第三杆平行且等长几何几何可变体系。可变体系。（2）构成虚铰的两链杆与）构成虚铰的两链杆与第三杆平行但不等长第三杆平行但不等长几几何瞬变体系。何瞬变体系。（3）构成虚铰的两链杆与）构成虚铰的两链杆与第三杆不平行第三杆不平行几何不变几何不变体系（左图）。体系（左图）。几何组成分析几何组成分析2、两个虚铰在无穷远的状况、两个虚铰在无穷远的状况（1）构成虚
24、铰的四根链杆）构成虚铰的四根链杆平行且等长平行且等长几何可变体几何可变体系。系。（2）构成虚铰的四根链杆）构成虚铰的四根链杆平行但不等长平行但不等长几何瞬变几何瞬变体系。体系。（3）构成虚铰的四根链杆）构成虚铰的四根链杆两两不平行两两不平行几何不变体几何不变体系（右图）。系（右图）。3、三个虚铰在无穷远的状况、三个虚铰在无穷远的状况 几何瞬变体系。因为无穷远处的全部点都在一条广义直线上。几何瞬变体系。因为无穷远处的全部点都在一条广义直线上。几何组成分析几何组成分析课后考查课后考查(1)：试对图示体系进行几何组成分析：试对图示体系进行几何组成分析答案答案：（1）几何不变体系，有）几何不变体系，有
25、4个多余约束。个多余约束。（2）几何不变体系，有）几何不变体系，有6个多余约束。个多余约束。（3）几何不变体系，有）几何不变体系，有3个多余约束。个多余约束。（4）几何不变体系，有）几何不变体系，有2个多余约束。个多余约束。（5）几何不变体系，有）几何不变体系，有6个多余约束。个多余约束。（6）几何不变体系，无多余约束。）几何不变体系，无多余约束。课后考查课后考查(2)：试对图示体系进行几何组成分析：试对图示体系进行几何组成分析答案答案：（1）几何不变体系，有）几何不变体系，有2个多余约束。个多余约束。（2）几何不变体系，有）几何不变体系，有10个多余约束。个多余约束。（3）几何不变体系，有）几何不变体系，有2个多余约束。个多余约束。（4）几何瞬变体系。）几何瞬变体系。（5）几何可变体系。）几何可变体系。几何组成分析几何组成分析课后考查课后考查(3)：试对图示体系进行几何组成分析：试对图示体系进行几何组成分析答案答案：（1）几何瞬变体系。）几何瞬变体系。（2）几何可变体系。）几何可变体系。（3）几何不变体系，有）几何不变体系，有3个多余约束。个多余约束。（4）几何不变体系，有）几何不变体系，有2个多余约束。个多余约束。（5）几何不变体系，有）几何不变体系，有10个多余约束。个多余约束。几何组成分析几何组成分析