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1、5 典型例题5.1 直角坐标解法例题1 试列出图 5-1的边界条件。解：（a）对于图 5-1（a）的问题，在主要边界 y= h/2应精确满足下列边界条件：图 5- 1在小边界（次要边界）x= 0，应用圣维南原理，列出三个积分的近似条件，当板厚=1时，在小边界处，当平衡微分方程和其他各边界条件都已满足的条件下，三个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。（b）在主要边界 x=0，b，应精确满足下列边界条件：x=0，x = -gy，xy =0；x= b，x =0， xy = - q。在小边界 y=0，列出三个积分的边界条件，当板厚=1时：注意，在列力矩的条件时，两边均是对原点O的力矩来计算的。对于y
2、=h的小边界可以不必校核。例题2 图5-2所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩M =Fb/2的作用，试用应力函数： = Ax3+ Bx2求解图示问题的应力及位移，设在 A 点的位移和转角均为零。图 5-2解：应用应力函数求解：（1）校核相容方程，满足。（2）求应力分量，在无体力时，得：y =6Ax+2B， x =xy =0。（3）考察主要边界条件，x= b x =0， xy =0，均已满足。考察次要边界条件，在 y=0上：（yx）y=0 =0， 满足； 得 ； 得 代入，得应力的解答， x =xy =0。上述和应力已满足了和全部边界条件，因而是上述问题的解。（4）求应变分量，（5）求位
3、移分量，由，对x积分，得：；由，对 y积分，得：将u，v代入几何方程第三式两边分开变量，并令都等于常数，即：从上式分别积分，求出：代入u，v，得：再由刚体约束条件，得， 得， 得代入u，v，得到位移分量的解答：在顶点 x= y=0，例题3 矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载，图 5-3。图 5-3试用下列应力函数 = Ax3y3+ Bxy5+ Cx3y+ Dxy3+ Ex3+ Fxy，求解应力分量。解：应用上述应力函数求解：（1）将 代入相容方程：， 72A +120B =0， 得。由此，（2）求应力分量，在无体力下，得：（3）考察主要边界条件（y= h/2），y= h/2，xy =0，
4、得：对于任意的x值，上式均应满足，由此得： （a） （b）y= h/2， y =0， （c）y= - h/2， （d）（c）+（d）得：（c）-（d）得：（e）-（a）得：， 。（4）考察小边界上的边界条件（x=0），由：得： （f）由式（b）和（f）解出：另两个积分的边界条件：显然是满足的。于是，将各系数代入应力表达式，得应力解答：。读者试校核在 x= l的小边界上，下列条件都是满足的，5.2 极坐标解法例题4（习题 4-8） 试考察应力函数能解决图5-4所示弹性体的何种受力问题？图 5- 4解：本题应按逆解法求解。首先校核相容方程，是满足的。然后，代入教科书中应力公式（4-5），求出应力分
5、量：再求出边界上的面力：= 30面上， ；面上， 。面力分布如图5-4b所示，因此上述应力函数可解决如图所示的受力问题。例题5（习题4-9） 半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数，求解应力分量，图5-5。图5-5解：首先检验，已满足。由 求应力，得：再考察边界条件。注意本题有两个面，即，分别为 面。在 面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有：，得：代入应力公式，得应力解答例题6（习题 4-18） 设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力偶矩为M，图5-6，试求应力分量。图5-6解：应用半逆解法求解。（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应力应与M，有关
6、，由于应力的量纲是单位面积上的力，即，应力只能以形式组合。（2）应比应力的长度量纲高二次幂，可假设=（）。（3）将代入相容方程，得：删去因子，得一个关于（）的常微分方程。令其解为，代入上式，可得到一个关于的特征方程：其解为=2i，-2i，0，0。于是得到的四个解；前两项又可以组合为正弦、余弦函数。由此得： = Acos2+ Bsin2+ C+ D。本题中结构对称于= 0的x轴，而M 是反对称荷载，因此，应力应反对称于x轴，为的奇函数，从而得 A = D =0， = Bsin 2+ C。（4）由求得应力分量，（5）考察边界条件。由于原点O有集中力偶作用，应分别考察大边界上的条件和原点附近的条件。
7、在0，= /2的边界上，有（）0，= /2 =0，（）0，= /2 =0。前一式自然满足，而第二式成为：2B = C （a）为了考虑原点O附近有集中力偶的作用，取出以O为中心，为半径的一小部分脱离体，并列出其平衡条件：上式中前两式自然满足，而第三式成为： （b）再由式（a）得出： 代入应力公式，得最后的应力解答：例题7（习题 4-19） 设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力F，图5-7，试用如下的应力函数求解：。图5-7解：（1）经校核，上述 满足相容方程。（2）代入应力公式（4-5），得：（3）考察边界条件。本题只有原点O附近的小孔口上作用有集中力 F，可取出包含小孔口在内的、半径
8、为的脱离体，列出其三个平衡条件：将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出： （a）（4）由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数。注意到本题是多连体，应考虑位移的单值条件。为此，先求出应变分量，再积分求出位移分量，然后再考虑单值条件。由物理方程求出应变分量：代入几何方程，得：由前两式积分，得：将 代入第三式，并分开变数，得：为了使上式在区域内任意的、都成立，两边都必须等于同一常数 G。这样，得到两个常微分方程： （b） （c）由式（b）解出：将式（c）对求导一次，再求出：再将上式的 f（）代入u，得： （d）显然，式（d）中第二项是多值项。为了保证位移的单值性，必须：（1-）
9、B +2A=0 （e）将式（a）代入上式，得： （f）将式（a），（f）代入应力公式，得无限大薄板在小孔口受集中力 F 的解答：例题8 圆盘的直径为 d，在一直径 AB 的两端受到一对大小相同，方向相反的集中力 F 的作用，图 5-8，试求其应力。图5-8解：本题可应用半平面体受铅直集中力的解答，进行叠加而得出。（1）假设GH以下为半平面体，在A点的F作用下，引用教科书中式（4-22）之解： （a）（2）假设 IJ以上为半平面体，在B点的F作用下，类似地得出： （b）（3）对于圆周上的点M，分别作用有：，且AMBM，并有：。显然，在圆周上有：，两者合成为圆周上的法向分布压力。为了消除圆周上的分布压力，应在圆周上施加分布拉力；其对应的应力分量为：， （c）因此，圆盘在对径受压时，其应力解是（a）、（b）、（c）三部分解答之和。现在来计算水平直径CD线上的y值。对于N点，设AN =， BAN =，则有：由于： ，得到 CD 线上的应力分量：最大压应力发生在圆盘的中心，读者试求出CD线和AB线上的水平正应力x值，并证明在中心线AB上：，为常量的拉应力。 AB线上的常量拉应力，便是劈裂试验的参考解答。