弹性力学习题课 2课时.doc

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1、5 典型例题5.1 直角坐标解法例题1 试列出图 5-1的边界条件。解:(a)对于图 5-1(a)的问题,在主要边界 y= h/2应精确满足下列边界条件:图 5- 1在小边界(次要边界)x= 0,应用圣维南原理,列出三个积分的近似条件,当板厚=1时,在小边界处,当平衡微分方程和其他各边界条件都已满足的条件下,三个积分的边界条件必然满足,可以不必校核。(b)在主要边界 x=0,b,应精确满足下列边界条件:x=0,x = -gy,xy =0;x= b,x =0, xy = - q。在小边界 y=0,列出三个积分的边界条件,当板厚=1时:注意,在列力矩的条件时,两边均是对原点O的力矩来计算的。对于y

2、=h的小边界可以不必校核。例题2 图5-2所示的矩形截面柱体,在顶部受有集中力F和力矩M =Fb/2的作用,试用应力函数: = Ax3+ Bx2求解图示问题的应力及位移,设在 A 点的位移和转角均为零。图 5-2解:应用应力函数求解:(1)校核相容方程,满足。(2)求应力分量,在无体力时,得:y =6Ax+2B, x =xy =0。(3)考察主要边界条件,x= b x =0, xy =0,均已满足。考察次要边界条件,在 y=0上:(yx)y=0 =0, 满足; 得 ; 得 代入,得应力的解答, x =xy =0。上述和应力已满足了和全部边界条件,因而是上述问题的解。(4)求应变分量,(5)求位

3、移分量,由,对x积分,得:;由,对 y积分,得:将u,v代入几何方程第三式两边分开变量,并令都等于常数,即:从上式分别积分,求出:代入u,v,得:再由刚体约束条件,得, 得, 得代入u,v,得到位移分量的解答:在顶点 x= y=0,例题3 矩形截面的简支梁上,作用有三角形分布荷载,图 5-3。图 5-3试用下列应力函数 = Ax3y3+ Bxy5+ Cx3y+ Dxy3+ Ex3+ Fxy,求解应力分量。解:应用上述应力函数求解:(1)将 代入相容方程:, 72A +120B =0, 得。由此,(2)求应力分量,在无体力下,得:(3)考察主要边界条件(y= h/2),y= h/2,xy =0,

4、得:对于任意的x值,上式均应满足,由此得: (a) (b)y= h/2, y =0, (c)y= - h/2, (d)(c)+(d)得:(c)-(d)得:(e)-(a)得:, 。(4)考察小边界上的边界条件(x=0),由:得: (f)由式(b)和(f)解出:另两个积分的边界条件:显然是满足的。于是,将各系数代入应力表达式,得应力解答:。读者试校核在 x= l的小边界上,下列条件都是满足的,5.2 极坐标解法例题4(习题 4-8) 试考察应力函数能解决图5-4所示弹性体的何种受力问题?图 5- 4解:本题应按逆解法求解。首先校核相容方程,是满足的。然后,代入教科书中应力公式(4-5),求出应力分

5、量:再求出边界上的面力:= 30面上, ;面上, 。面力分布如图5-4b所示,因此上述应力函数可解决如图所示的受力问题。例题5(习题4-9) 半平面体表面受有均布水平力q,试用应力函数,求解应力分量,图5-5。图5-5解:首先检验,已满足。由 求应力,得:再考察边界条件。注意本题有两个面,即,分别为 面。在 面上,应力符号以正面正向、负面负向为正。因此,有:,得:代入应力公式,得应力解答例题6(习题 4-18) 设半平面体在直边界上受有集中力偶,单位宽度上的力偶矩为M,图5-6,试求应力分量。图5-6解:应用半逆解法求解。(1)按量纲分析方法,单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应力应与M,有关

6、,由于应力的量纲是单位面积上的力,即,应力只能以形式组合。(2)应比应力的长度量纲高二次幂,可假设=()。(3)将代入相容方程,得:删去因子,得一个关于()的常微分方程。令其解为,代入上式,可得到一个关于的特征方程:其解为=2i,-2i,0,0。于是得到的四个解;前两项又可以组合为正弦、余弦函数。由此得: = Acos2+ Bsin2+ C+ D。本题中结构对称于= 0的x轴,而M 是反对称荷载,因此,应力应反对称于x轴,为的奇函数,从而得 A = D =0, = Bsin 2+ C。(4)由求得应力分量,(5)考察边界条件。由于原点O有集中力偶作用,应分别考察大边界上的条件和原点附近的条件。

7、在0,= /2的边界上,有()0,= /2 =0,()0,= /2 =0。前一式自然满足,而第二式成为:2B = C (a)为了考虑原点O附近有集中力偶的作用,取出以O为中心,为半径的一小部分脱离体,并列出其平衡条件:上式中前两式自然满足,而第三式成为: (b)再由式(a)得出: 代入应力公式,得最后的应力解答:例题7(习题 4-19) 设有厚度为1的无限大薄板,在板内小孔中受集中力F,图5-7,试用如下的应力函数求解:。图5-7解:(1)经校核,上述 满足相容方程。(2)代入应力公式(4-5),得:(3)考察边界条件。本题只有原点O附近的小孔口上作用有集中力 F,可取出包含小孔口在内的、半径

8、为的脱离体,列出其三个平衡条件:将应力代入上式,其中第二、三式自然满足,而第一式得出: (a)(4)由此可见,考虑了边界条件后还不足以确定待定常数。注意到本题是多连体,应考虑位移的单值条件。为此,先求出应变分量,再积分求出位移分量,然后再考虑单值条件。由物理方程求出应变分量:代入几何方程,得:由前两式积分,得:将 代入第三式,并分开变数,得:为了使上式在区域内任意的、都成立,两边都必须等于同一常数 G。这样,得到两个常微分方程: (b) (c)由式(b)解出:将式(c)对求导一次,再求出:再将上式的 f()代入u,得: (d)显然,式(d)中第二项是多值项。为了保证位移的单值性,必须:(1-)

9、B +2A=0 (e)将式(a)代入上式,得: (f)将式(a),(f)代入应力公式,得无限大薄板在小孔口受集中力 F 的解答:例题8 圆盘的直径为 d,在一直径 AB 的两端受到一对大小相同,方向相反的集中力 F 的作用,图 5-8,试求其应力。图5-8解:本题可应用半平面体受铅直集中力的解答,进行叠加而得出。(1)假设GH以下为半平面体,在A点的F作用下,引用教科书中式(4-22)之解: (a)(2)假设 IJ以上为半平面体,在B点的F作用下,类似地得出: (b)(3)对于圆周上的点M,分别作用有:,且AMBM,并有:。显然,在圆周上有:,两者合成为圆周上的法向分布压力。为了消除圆周上的分布压力,应在圆周上施加分布拉力;其对应的应力分量为:, (c)因此,圆盘在对径受压时,其应力解是(a)、(b)、(c)三部分解答之和。现在来计算水平直径CD线上的y值。对于N点,设AN =, BAN =,则有:由于: ,得到 CD 线上的应力分量:最大压应力发生在圆盘的中心,读者试求出CD线和AB线上的水平正应力x值,并证明在中心线AB上:,为常量的拉应力。 AB线上的常量拉应力,便是劈裂试验的参考解答。

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