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1、 概率论与数理统计复习提要 第一章 随机事件与概率 1事件的关系 ABABAABBABA 2运算规则（1）BAABABBA （2）)()()()(BCACABCBACBA（3）)()()()()(CBCACABBCACCBA（4）BAABBABA 3概率)(AP满足的三条公理及性质：（1）1)(0AP （2）1)(P（3）对互不相容的事件nAAA,21，有nkknkkAPAP11)()(（n可以取）（4）0)(P （5）)(1)(APAP （6）)()()(ABPAPBAP，若BA，则)()()(APBPABP，)()(BPAP（7）)()()()(ABPBPAPBAP（8）)()()()()
2、()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP 4古典概型：基本事件有限且等可能 5几何概率，6条件概率（1）定义：若0)(BP，则)()()|(BPABPBAP（2）乘法公式：)|()()(BAPBPABP 若nBBB,21为完备事件组，0)(iBP，则有（3）全概率公式：niiiBAPBPAP1)|()()(（4）Bayes 公式：niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(7事件的独立性：BA ,独立)()()(BPAPABP （注意独立性的应用）第二章 随机变量与概率分布 1，2 离散随机变量：取有限或可列个值，iipxXP)(满足（1）0ip，（
3、2）iip=1 （3）对任意RD，DxiiipDXP:)(3 连续随机变量：具有概率密度函数)(xf，满足（1）1)(,0)(-dxxfxf；（2）badxxfbXaP)()(；（3）对任意Ra，0)(aXP 4 几个常用随机变量 名称与记号 分布列或密度 数学期望 方差 两点分布),1(pB pXP)1(，pqXP1)0(p pq 二项式分布),(pnB nkqpCkXPknkkn,2,1,0,)(，np【npq Poisson 分布)(P,2,1,0,!)(kkekXPk 几何分布)(pG,2,1,)(1kpqkXPk p1】2pq 均匀分布),(baU bxaabxf ,1)(，2ba
4、12)(2ab 指数分布)(E 0 ,)(xexfx 1：21 正态分布),(2N 222)(21)(xexf 2 5 分布函数 )()(xXPxF，具有以下性质 （1）1)(,0)(FF；（2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(aFbFbXaP，特别)(1)(aFaXP；（5）对离散随机变量，xxiiipxF:)(；（6）对连续随机变量，xdttfxF)()(为连续函数，且在)(xf连续点上，)()(xfxF 6 正态分布的概率计算 以)(x记标准正态分布)1,0(N的分布函数，则有 （1）5.0)0(；（2）)(1)(xx；（3）若),(2NX，则)()(xxF；（4）以u记标准正
5、态分布)1,0(N的上侧分位数，则)(1)(uuXP 7 随机变量的函数 )(XgY （1）离散时，求Y的值，将相同的概率相加；（2）X连续，)(xg在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|)(|)()(11ygygfyfXY，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章 随机向量 1 二维离散随机向量，联合分布列ijjipyYxXP),(，边缘分布列iipxXP)(，jjpyYP)(有（1）0ijp；（2）ijijp1；（3）jijipp，iijjpp 2 二维连续随机向量，联合密度),(yxf，边缘密度)(),(yfxfYX，有 （1）0),(yxf；（2）1),(yxf；（3）Gdxd
6、yyxfGYXP),(),(；（4）dyyxfxfX),()(，dxyxfyfY),()(3 二维均匀分布其它 0,),(,)(1),(GyxGmyxf，其中)(Gm为G的面积 4&5 二 维 正 态 分 布),(),(222121NYX，其 密 度 函 数（牢 记 五 个 参 数 的 含 义）2222212121212221)()(2)()1(21exp121),(yyxxyxf且),(),(222211NYNX；6 二维随机向量的分布函数),(),(yYxXPyxF有（1）关于yx,单调非降；（2）关于yx,右连续；（3）0),(),(),(FyFxF；（4）1),(F，)(),(xFxF
7、X，)(),(yFyFY；（5）),(),(),(),(),(111221222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP；（6）对二维连续随机向量，yxyxFyxf),(),(2 6随机变量的独立性 YX,独立)()(),(yFxFyxFYX（1）（2）离散时 YX,独立jiijppp（3）连续时 YX,独立)()(),(yfxfyxfYX（4）二维正态分布YX,独立0，且),(222121NYX 7随机变量的函数分布（1）和的分布 YXZ的密度dxxzxfdyyyzfzfZ),(),()(（2）最大最小分布 第四章 随机变量的数字特征 1期望！(1)离散时 iiipxXE)(，iiipx
8、gXgE)()(；(2)连续时dxxxfXE)()(，dxxfxgXgE)()()(；(3)二维时jiijjipyxgYXgE,),(),(，dydxyxfyxgYXgE),(),(),(4)CCE)(；（5）)()(XCECXE；（6）)()()(YEXEYXE；（7）YX,独立时，)()()(YEXEXYE 2方差（1）方差222)()()()(EXXEXEXEXD，标准差)()(XDX；（2）)()(,0)(XDCXDCD；（3）)()(2XDCCXD；（4）YX,独立时，)()()(YDXDYXD 3协方差（1）)()()()()(),(YEXEXYEYEYXEXEYXCov；（2）),(),(),(),(YXabCovbYaXCovXYCovYXCov；（3）),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov；（4）0),(YXCov时，称YX,不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5）),(2)()()(YXCovYDXDYXD 4相关系数 )()(),(YXYXCovXY；有1|XY，1)(,1|baXYPbaXY 5k 阶原点矩)(kkXE，k 阶中心矩kkXEXE)(