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1、.内容：半角旋转模型，三垂直模型，以及旋转相似模型 探究：（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF45，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图 2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，ABAD，BD180，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且EAF=21BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将AEF 绕点 A 逆时针旋转，当点分别 E、F 运动到 BC、CD 延长线上时，如图 3 所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化
2、？若变化，请给出结论并予以证明.小伟遇到这样一个问题：如图 1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，EAF=45，连结EF，求证：DE+BF=EF 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题他的方法是将ADE绕点A顺时针旋转 90得到ABG（如图 2），此时GF即是DE+BF 请回答：在图 2 中，GAF的度数是 参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图 3，在直角梯形ABCD中，ADBC（ADBC），D=90，AD=CD=10，E是CD上一点，若BAE=
3、45，FEDABCBEDAGFEDABCC图 1图 2图 3CDAOBxy图 4DE=4，则BE=（2）如图 4，在平面直角坐标系xOy中，点B是x轴上一 动点，且点A（3，2），连结AB和AO，并以AB为边向上作 正方形ABCD，若C（x，y），试用含x的代数式表示y，则y=已知：正方形ABCD中，45MAN，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N （1）如图 1，当MAN绕点A旋转到BMDN时，有BMDNMN当MAN 绕点A旋转到BMDN时，如图 2，请问图 1 中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN绕点A旋转到如图
4、 3 的位置时，线段BMDN，和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明 24 如图 1，在 等 腰 直 角ABC中，BAC=90，AB=AC=2，点E是BC边上一点，DEF=45且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.（1）如图 2，若点E为BC中点，将DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；CDOAB图4xy（2）如图 3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A,EF与边AC交于Q点探究：在DEF运动过程中，AEQ能否构成等腰三角形，若能
5、，求出BE的长；若不能，请说明理由 海淀 25如图 1，两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，2DE，1AB 将直线EB绕点E逆时针旋转45，交直线AD于点M将图 1 中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为k 图 1 图 2 图 3 解答问题：（1）当点C与点F重合时，如图2 所示，可得AMDM的值为 ；在平移过程中，AMDM的值为 （用含k的代数式表示）；（2）将图 2 中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变.当点A落在线段DF上时，如图 3 所示，请补全图形，计算AMDM的值；（3）将图 1 中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度，09
6、0，原题中的其他条件保持不变.计算AMDM的值（用含k的代数式表示）昌平 22.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图 1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求APB的度数.小伟是这样思考的：如图 2，利用旋转和全等的知识构造AP C，连接PP，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决 图1 图2 图3 图PCBA ABCPP DPACB ABCDPFE 请你回答：图 1 中APB的度数等于 .参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图 3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=2 2，PB=1，PD=17，则APB的度数等于 ，正方形的边长为 ；（2）如图 4
7、，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=1，PF=13，则APB的度数等于 ，正六边形的边长为 通州 24.（9 分）在平面直角坐标系xOy中，点B(0，3)，点C是x轴正半轴上一点，连结BC，过点C作直线CPy轴.（1）若含 45角的直角三角形如图所示放置其中，一个顶点与点O重合，直角顶点D在线段BC上，另一个顶点E在CP上求点C的坐标；（2）若含 30角的直角三角形一个顶点与点O重合，直角顶点D在线段BC上，另一个顶点E在CP上，求点C的坐标(西城 19)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形PABC的边长为 1，将其沿x轴的正方向连续滚动，即先以顶点A为旋转中心将正方形
8、PABC顺时针旋转 90得到第二个正方形，再以顶点D为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，第n个正方形设滚动过程中的点P的坐标为(,)x y 备用图备用图第24题图xyBOOByxyxEPDCBO（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P的坐标；（2）画出点(,)P x y运动的曲线（0 x4），并直接写出该曲线与x轴所围成区域的面积 东城 24.问题 1：如图 1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若MBN=12ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直
9、接写出你的猜想，不用证明；问题 2：如图 2，在四边形ABCD中，AB=BC，ABC+ADC=180，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若MBN=12ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.昌平 24在ABC中，AB=4，BC=6，ACB=30，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到A1BC1（1）如图 1，当点C1在线段CA的延长线上时，求CC1A1的度数；（2）如图 2，连接AA1，CC1若CBC1的面积为 3，求ABA1的面积；（3）如图 3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的
10、对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值 朝阳 24在 RtABC中，A=90，D、E分别为AB、AC上的点（1）如图 1，CE=AB，BD=AE，过点C作CFEB，且CF=EB，连接DF交EB于点G，连接BF，请你直接写出EBDC的值；（2）如图 2，CE=kAB，BD=kAE，12EBDC，求k的值 DECBAGDECBA西城 24在 RtABC中，ACB=90，ABC=，点P在ABC的内部(1)如图 1，AB=2AC，PB=3，点M、N分别在AB、BC边上，则 cos=_，PMN周长的最小值为_；(2)如图 2，若条件AB=2AC不变，而PA=2，PB=10，PC=1，求A
11、BC的面积；(3)若PA=m，PB=n，PC=k，且cossinkmn，直接写出APB的度数 门头沟 24已知：在ABC中，ABAC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，点M在线段DF上，且BAEBDF，ABEDBM （1）如图 1，当ABC45时，线段 DM 与AE之间的数量关系是 ；（2）如图 2，当ABC60时，线段 DM 与AE之间的数量关系是 ；（3）如图 3，当ABC（0 90）时，线段 DM 与AE之间的数量关系是 ；在（2）的条件下延长BM到P，使MPBM，连结CP，若AB7，AE2 7，求 sinACP的值 顺义 24 如图 1，将三角板放在正方
12、形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点.G（1）求证：EFEG；（2）如图 2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；ABCDEFMMFEDCBAABCDEFM图1 图2 图3（3）如图 3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若ABa，BCb，求EFEG的值 朝阳 22阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图 1,ABC中，ACB=30o，BC=6，AC=5，在A
13、BC 内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值 小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是，如图 2，将APC绕点C顺时针旋转 60o，得到EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求（1）请你写出图 2 中，PA+PB+PC的最小值为 ；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，菱形ABCD中，ABC=60o，在菱形ABCD内部有一
14、点P，请在图 3 中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；若中菱形ABCD的边长为 4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长 丰台 24在 RtABC中，AB=BC，B=90，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点 O 旋转（1）当点O为AC中点时，DEACBP图 2 DACB图 3 ACBP图 1 如图 1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；如图 2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断中的猜想是否成立若成立，请证明
15、；若不成立，请说明理由；2）当点O不是AC中点时，如图 3,，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若14AOAC，求OEOF的值 朝阳期末 25 已知：在ABC中90ACB，ABCD 于点D，点E在AC上，BE交CD于点G，BEEF 交AB于点F。如图甲，当BCAC 时，且EACE 时，则有EGEF；（1）如图乙，当BCAC2时，且EACE 时，则线段EF与EG的数量关系是：EF_EG；（2）如图乙，当BCAC2时，且EACE2时，请探究线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；（3）当mBCAC 时且nEACE 时，则线段EF与EG的数量关系，并直接写出你的结论（不用证明）；西城期末 24已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足 45MAN，连结MC，NC，MN C O B A O E 图F B A O C E F A B C E F 图图（1）填空：与ABM相似的三角形是 ，BM DN=；（用含a的代数式表示）（2）求MCN的度数；（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并 证明你的结论