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1、2021年重庆市中考数学试卷（A卷）一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1（4分）（2021资阳）2的相反数是AB2CD2（4分）（2021重庆）计算的结果是ABCD3（4分）（2021重庆）不等式在数轴上表示正确的是ABCD4（4分）（2021重庆）如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的周长之比是ABCD5（4分）（2021重庆）如图，四边形内接于，若，则的度数是ABCD6（4分）（2021重庆）计算的结果是A7BCD7（4分）（2021重庆）
2、如图，点，共线，添加一个条件，不能判断的是ABCD8（4分）（2021重庆）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（单位：与无人机上升的时间（单位：之间的关系如图所示下列说法正确的是A时，两架无人机都上升了B时，两架无人机的高度差为C乙无人机上升的速度为D时，甲无人机距离地面的高度是9（4分）（2021重庆）如图，正方形的对角线，交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点若四边形的面积是1，则的长为A1BC2D10（4分）（2021重庆）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站和甲在山脚点处测得通信基站顶端的仰
3、角为，测得点距离通信基站的水平距离为；乙在另一座山脚点处测得点距离通信基站的水平距离为，测得山坡的坡度若，点，在同一水平线上，则两个通信基站顶端与顶端的高度差为（参考数据：，ABCD11（4分）（2021重庆）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是A5B8C12D1512（4分）（2021重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在第二象限，其余顶点都在第一象限，轴，过点作，垂足为，反比例函数的图象经过点，与边交于点，连接，若，则的值为ABC7D二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线
4、上.13（4分）（2021重庆）计算：14（4分）（2021重庆）在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字，0，1，3把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是15（4分）（2021重庆）若关于的方程的解是，则的值为16（4分）（2021重庆）如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，若，则图中阴影部分的面积为 （结果保留17（4分）（2021重庆）如图，三角形纸片中，点，分别在边，上，将这张纸片沿直线翻折，点与点重合若，则四边形的面积为18（4分）（2021重庆）某销售商五
5、月份销售、三种饮料的数量之比为，、三种饮料的单价之比为六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，饮料增加的销售额占六月份销售总额的，、饮料增加的销售额之比为六月份饮料单价上调且饮料的销售额与饮料的销售额之比为，则饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）.请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19（10分）（2021重庆）计算：（1）；（2）20（10分）（2021重庆）“惜餐为荣，
6、殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据（单位：，进行整理和分析（餐厨垃圾质量用表示，共分为四个等级：，下面给出了部分信息七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3八年级10个班的餐厨垃圾质量中等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表年级平均数中位数众数方差等级所占百分比七年级1.31.10.26八年级1.31.00.23根据以上信息，解答下列问题：（1
7、）直接写出上述表中，的值；（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合等级的班级数；（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）21（2021重庆）如图，在中，（1）用尺规完成以下基本作图：在上截取，使；作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接交于点，猜想按角分类的类型，并证明你的结论22（2021重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题（1）请把下表补充
8、完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；012345040（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的条性质；（3）已知函数的图象如图所示根据函数图象，直接写出不等式的解集（近似值保留一位小数，误差不超过23（2021重庆）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出已知产品的销售单价比产品的销售单价高100元，1件产品与1件产品售价和为500元（1）、两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制产品的生产车间预计产品在售价不变的情况下产量将在去年的基
9、础上增加；产品产量将在去年的基础上减少，但产品的销售单价将提高则今年、两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加求的值24（2021重庆）如果一个自然数的个位数字不为0，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”例如，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，是“合和数”又如，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，不是“合和数”（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数” 进行“合分解”，即的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的
10、各个数位数字之和的差的绝对值记为令，当能被4整除时，求出所有满足条件的25（2021重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，直线交轴于点，是直线下方抛物线上的一个动点过点作，垂足为，轴，交于点（1）求抛物线的函数表达式；（2）当的周长取得最大值时，求点的坐标和周长的最大值；（3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点是新抛物线上一点，是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题
11、卡中对应的位置上.26（8分）（2021重庆）在中，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得（1）如图1，当时，连接，交于点若平分，求的长；（2）如图2，连接，取的中点，连接猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，当，时，请直接写出的值2021年重庆市中考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1（4分）（2021资阳）2的相反数是AB2CD【分析】根据相反数的表示方法：一个
12、数的相反数就是在这个数前面添上“”号【解答】解：2的相反数是故选：【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是02（4分）（2021重庆）计算的结果是ABCD【分析】直接利用单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式，计算得出答案【解答】解：故选：【点评】此题主要考查了整式的除法，正确掌握整式的除法运算法则是解题关键3（4分）（2021重庆）不等式在数轴上表示正确的是ABCD【分析】先在数轴上找出表示数2的点，再向数轴的负方向
13、画出即可【解答】解：不等式的解集在数轴上表示为：，故选：【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注意：不等式的解集在数轴上表示用实心点“”4（4分）（2021重庆）如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的周长之比是ABCD【分析】根据位似图形的概念得到，进而证明，根据相似三角形的性质解答即可【解答】解：与位似，即与的相似比为，与的周长之比为，故选：【点评】本题考查的是位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边平行是解题的关键5（4分）（2021重庆）如图，四边形内接于，若，则的度数是ABCD【分析】根据圆内接四边形的性质得出，再代入求出答案即可【解答】解：四边形内接
14、于，故选：【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补6（4分）（2021重庆）计算的结果是A7BCD【分析】根据二次根式的乘法法则和减法法则运算【解答】解：原式故选：【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍7（4分）（2021重庆）如图，点，共线，添加一个条件，不能判断的是ABCD【分析】根据全等三角形的判定方法，可以判断添加各个选项中的条件是否能够判断，本题得以解决【解答】解：，又，当添加条件时，故选项不符合题意；当添加条件时，故选项不符合题意；当添加条件时，无法判断，故
15、选项符合题意；当添加条件时，则，故，故选项不符合题意；故选：【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答8（4分）（2021重庆）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（单位：与无人机上升的时间（单位：之间的关系如图所示下列说法正确的是A时，两架无人机都上升了B时，两架无人机的高度差为C乙无人机上升的速度为D时，甲无人机距离地面的高度是【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决【解答】解：
16、由图象可得，时，甲无人机上升了，乙无人机上升了，故选项错误；甲无人机的速度为：，乙无人机的速度为：，故选项错误；则时，两架无人机的高度差为：，故选项正确；时，甲无人机距离地面的高度是，故选项错误；故选：【点评】本题考查一次函数的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度是解答本题的关键，利用数形结合的思想解答9（4分）（2021重庆）如图，正方形的对角线，交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点若四边形的面积是1，则的长为A1BC2D【分析】根据正方形的性质，可以得到，然后即可发现四边形的面积等于的面积，从而可以求得正方形的面积，从而可以求得的长【解答】解：四边形是正方形，在和中，四边形的面积是1，四
17、边形的面积的面积的面积，四边形的面积的面积的面积的面积，的面积是1，正方形的面积是4，故选：【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是发现四边形的面积等于的面积，利用数形结合的思想解答10（4分）（2021重庆）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站和甲在山脚点处测得通信基站顶端的仰角为，测得点距离通信基站的水平距离为；乙在另一座山脚点处测得点距离通信基站的水平距离为，测得山坡的坡度若，点，在同一水平线上，则两个通信基站顶端与顶端的高度差为（参考数据：，ABCD【分析】根据正切的定义求出，根据坡度的概念求出，进而求出，结合图形计算，得到答案【解答】解：在
18、中，山坡的坡度，两个通信基站顶端与顶端的高度差，故选：【点评】本题考查的是解直角三角形的实际应用仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角和俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是本题的解题关键11（4分）（2021重庆）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是A5B8C12D15【分析】解出一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为，列出不等式，求出的范围；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出不等式，求得的范围；检验分式方程，列出不等式，求得的范围；综上所述，得到的范围，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数的值，求和即可【解答
19、】解：，解不等式得：，解不等式得：，不等式组的解集为，；分式方程两边都乘得：，解得：，方程的解是正整数，；，且，能使是正整数的是：，1，3，5，和为8，故选：【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，注意解分式方程一定要检验12（4分）（2021重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在第二象限，其余顶点都在第一象限，轴，过点作，垂足为，反比例函数的图象经过点，与边交于点，连接，若，则的值为ABC7D【分析】延长交轴于点，过点作轴于点，轴，可得轴；利用，可得，得到，；利用，四边形是菱形，可得设，则，由勾股定理可得，可得点坐标为，所以由于为矩形，可得点的坐标为，这样，；利用，列出关于的
20、方程，求得的值，的值可求【解答】解：延长交轴于点，过点作轴于点，如图，轴，轴，在和中，四边形是菱形，设，则反比例函数的图象经过点，四边形为矩形点在反比例函数的图象上，解得：故选：【点评】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特征，三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形，菱形的性质利用点的坐标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是解题的关键二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.13（4分）（2021重庆）计算：2【分析】首先计算零指数幂和绝对值，然后计算减法，求出算式的值即可【解答
21、】解：故答案为：2【点评】此题主要考查了求一个数的绝对值及零指数幂的运算，掌握绝对值的意义及任何数除外）的零次幂都等于1是解题关键14（4分）（2021重庆）在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字，0，1，3把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之积为负数的结果有4种，再由概率公式求解即可【解答】解：画树状图如图：共有16种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之积为负数的结果有4种，两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率为，故答案为：【点评】本
22、题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比15（4分）（2021重庆）若关于的方程的解是，则的值为3【分析】把代入方程得出，再求出方程的解即可【解答】解：把代入方程得：，解得：，故答案为：3【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能熟记方程的解的定义是解此题的关键，注意：使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解16（4分）（2021重庆）如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，若，则图中阴影
23、部分的面积为 （结果保留【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形和扇形的面积之和【解答】解：四边形是矩形，,，图中阴影部分的面积为：，故答案为：【点评】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答17（4分）（2021重庆）如图，三角形纸片中，点，分别在边，上，将这张纸片沿直线翻折，点与点重合若，则四边形的面积为【分析】由沿直线翻折，点与点重合可知：垂直平分，因为，所以为的中位线，；由折叠可得，因为，可得为等边三角形，；在中，解直角三角形可得的长，四边形的面积为，结论可得【解答】解：纸片沿直线翻折，点与点重合，垂直平分，为的中位线，为等边三角形在中，四边形
24、的面积为：故答案为：【点评】本题主要考查了折叠问题，三角形的中位线，平行线的性质，三角形的面积，解直角三角形利用中点的性质得到对应的部分相等是解题的关键18（4分）（2021重庆）某销售商五月份销售、三种饮料的数量之比为，、三种饮料的单价之比为六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，饮料增加的销售额占六月份销售总额的，、饮料增加的销售额之比为六月份饮料单价上调且饮料的销售额与饮料的销售额之比为，则饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为【分析】根据三种饮料的数量比、单价比，可以按照比例设未知数，即五月份、三
25、种饮料的销售的数量和单价分别为、；、可以表示出五月份各种饮料的销售额和总销售额因问题中涉及到的五月销售数量，因此可以设六月份的销售量为，再根据六月份的单价求出六月份的销售额，和的销售额可以根据饮料增加的销售额占六月份销售总额比，用未知数列出等式关键即可求解出【解答】解：由题意可设五月份、三种饮料的销售的数量为、，单价为、；六月份的销售量为饮料的六月销售额为，饮料的六月销售额为、饮料增加的销售额为分别，又、饮料增加的销售额之比为，饮料增加的销售额为，饮料六月的销售额为饮料增加的销售额占六月份销售总额的，即饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为故答案为【点评】此题考查的是二元一次方程的应
26、用，掌握用代数式表示每个参数，并用整体法解题是关键三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）.请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19（10分）（2021重庆）计算：（1）；（2）【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式可以解答本题；（2）括号内先通分，然后根据分式的减法法则和除法法则计算即可【解答】解：（1）；（2）【点评】本题考查分式的混合运算、完全平方公式和单项式乘多项式，解答本题的关键是明确完全平方公式和单项式乘多项式计算方法、分式混合运算的计算方法20（10分）（2021重庆）“惜餐为荣，
27、殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据（单位：，进行整理和分析（餐厨垃圾质量用表示，共分为四个等级：，下面给出了部分信息七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3八年级10个班的餐厨垃圾质量中等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表年级平均数中位数众数方差等级所占百分比七年级1.31.10.26八年级1.31.00.23根据以上信息，解答下列问题：（1
28、）直接写出上述表中，的值；（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合等级的班级数；（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求解（2）用抽测的百分比乘八年级总班级数即可求解（3）从众数，中位数、等级的百分比、方差进行评论即可【解答】解：（1）由题可知：，（2）八年级抽测的10个班级中，等级的百分比是估计该校八年级共30个班这一天餐厨垃圾质量符合等级的班级数为：（个答：该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合等级的班级数为6个（3）七年级各班落实“光盘行动”更好
29、，因为：七年级各班餐厨垃圾质量众数0.8，低于八年级各班餐厨质量垃圾的众数1.0七年级各班餐厨垃圾质量等级的高于八年级各班餐厨质量垃圾质量等级的八年级各班落实“光盘行动”更好，因为：八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.0低于七年级各班餐厨质量垃圾的中位数1.1八年级各班餐厨垃圾质量的方差0.23低于七年级各班餐厨质量垃圾的方差0.26【点评】本题考查了中位数、众数、方差的意义，关键在于根据图中信息结合统计相关知识的意义进行分析即可21（2021重庆）如图，在中，（1）用尺规完成以下基本作图：在上截取，使；作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接交于点，猜想按角分
30、类的类型，并证明你的结论【分析】（1）利用基本作图画出对应的几何图形；（2）根据平行四边形的性质得到，则，再证明，从而得到，于是可判断为直角三角形【解答】解：（1）如图，、为所作；（2）为直角三角形理由如下：四边形为平行四边形，平分，为直角三角形【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了平行四边形的性质22（2021重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过
31、程以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；012345040（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的条性质；（3）已知函数的图象如图所示根据函数图象，直接写出不等式的解集（近似值保留一位小数，误差不超过【分析】（1）利用函数解析式分别求出对应的函数值即可；利用描点法画出图象即可；（2）观察图象可知当时，随值的增大而增大；（3）利用图象即可解决问题【解答】解：（1）把下表补充完整如下：012345040函数的图象如图所示：（2）该函数图象是轴对称图形，对称轴是轴；该函数在自变量的取值范围内，有最大值，当时，函数
32、取得最大值4；当时，随的增大而增大：当时，随的增大而减（以上三条性质写出一条即可）；（3）由图象可知，不等式的解集为或【点评】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键23（2021重庆）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出已知产品的销售单价比产品的销售单价高100元，1件产品与1件产品售价和为500元（1）、两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制产品的生产车间预计产品在售价不变的情况
33、下产量将在去年的基础上增加；产品产量将在去年的基础上减少，但产品的销售单价将提高则今年、两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加求的值【分析】（1）设产品的销售单价为元，则产品的销售单价为元，根据1件产品与1件产品售价和为500元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设去年每个车间生产产品的数量为件，根据总销售额销售单价销售数量，即可得出关于的一元二次方程，利用换元法解方程即可得出结论【解答】解：（1）设产品的销售单价为元，则产品的销售单价为元，依题意得：，解得：，答：产品的销售单价为300元，产品的销售单价为200元（2）设去年每个车间生产产品的数量为件，依题意得：，设
34、，则原方程可化简为，解得：，（不合题意，舍去），答：的值为20【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程24（2021重庆）如果一个自然数的个位数字不为0，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”例如，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，是“合和数”又如，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，不是“合和数”（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合
35、和数” 进行“合分解”，即的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为令，当能被4整除时，求出所有满足条件的【分析】（1）根据“合和数”的定义直接判定即可；（2）设的十位数字为，个位数字为，则，得出，当能被4整除时，设值为，对或12进行讨论【解答】解：（1），不是“合和数”，十位数字相同，且个位数字，是“合和数”（2）设的十位数字为，个位数字为，为自然数，且，则，是整数），是整数，或，当时，或，或，当时，或，或综上，满足条件的有：1224，1221，5624，5616【点评】本题是新定义题，主要考查了列代数式，以及数的分解，正确地读懂题
36、目信息是前提，解题的关键是用字母，表示出，25（2021重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，直线交轴于点，是直线下方抛物线上的一个动点过点作，垂足为，轴，交于点（1）求抛物线的函数表达式；（2）当的周长取得最大值时，求点的坐标和周长的最大值；（3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点是新抛物线上一点，是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来【分析】（1）利用待定系数法将，代入，即可求得答案；（2）先运用待定系数法求出的函数表达式，设，其中，根据点在直线上，轴，可得出，再根据，即可得到的周长，运用
37、二次函数最值方法即可求出答案；（3）分两种情况：若是平行四边形的对角线，若是平行四边形的边，分别进行讨论即可【解答】解：（1）抛物线经过，解得：，该抛物线的函数表达式为；（2）如图1，设直线的函数表达式为，解得：，直线的函数表达式为，令，得，解得：，设，其中，点在直线上，轴，的周长为，令的周长为，则，当时，周长取得最大值，最大值为此时，点的坐标为（3）如图2，满足条件的点坐标为，由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为，对称轴为直线，若是平行四边形的对角线，当与互相平分时，四边形是平行四边形，即经过的中点，点的横坐标为2，点的横坐标为2，点的坐标为，若是平行四边形的边，当且时，四边形是平行四边形
38、，点的横坐标为2，点的横坐标为，点的坐标为；当且时，四边形是平行四边形，点的横坐标为2，点的横坐标为，点的坐标为；综上所述，点的坐标为或或【点评】本题是二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，三角形周长，平行四边形性质等，熟练掌握待定系数法、二次函数图象和性质及平行四边形性质等相关知识，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.26（8分）（2021重庆）在中，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得（1
39、）如图1，当时，连接，交于点若平分，求的长；（2）如图2，连接，取的中点，连接猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，当，时，请直接写出的值【分析】（1）连接，过点作于，判断出，再判断出，进而得出，得出，再判断出，即可得出结论；（2）延长至点，使，连接，得出，再判断出，得出，即可得出结论；（3）如图3，连接，与的交点记作点，先判断出是等边三角形，得出，进而判断出点，四点共圆，得出，再判断出是的垂直平分线，也是的角平分线，设，则，进而得出，再构造直角三角形求出，即可得出结论【解答】解：（1）连接，过点作于，平分，由旋转知，平分，；（2），理由：延长至点，使，连接，是的中点，；（3）如图3，连接，与的交点记作点，是等边三角形，在中，点，四点共圆，是的垂直平分线，设，则，由（2）知，过点作于，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，判断出点，四点共圆是解本题的关键