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1、2021年山东省济宁市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。1（3分）（2021济宁）若盈余2万元记作+2万元，则2万元表示（）A盈余2万元B亏损2万元C亏损2万元D不盈余也不亏损2（3分）（2021济宁）一个圆柱体如图所示，下面关于它的左视图的说法其中正确的是（）A既是轴对称图形，又是中心对称图形B既不是轴对称图形，又不是中心对称图形C是轴对称图形，但不是中心对称图形D是中心对称图形，但不是轴对称图形3（3分）（2021济宁）下列各式中，正确的是（）Ax+2x3x2B（xy）xyC（x2）3x5Dx5x3x24（3分）
2、（2021济宁）如图，ABCD，BCDE，若B7228，那么D的度数是（）A7228B10128C10732D127325（3分）（2021济宁）计算a2-4a（a+1-5a-4a）的结果是（）Aa+2a-2Ba-2a+2C(a-2)(a+2)aDa+2a6（3分）（2021济宁）不等式组x+32x-12-x-2的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD7（3分）（2021济宁）如图，正五边形ABCDE中，CAD的度数为（）A72B45C36D358（3分）（2021济宁）已知m，n是一元二次方程x2+x20210的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（）A2019B2020C2021D20
3、229（3分）（2021济宁）如图，已知ABC（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N（2）分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧在BAC的内部相交于点P（3）作射线AP交BC于点D（4）分别以A，D为圆心，以大于12AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点（5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F依据以上作图，若AF2，CE3，BD=32，则CD的长是（）A910B1C94D410（3分）（2021济宁）按规律排列的一组数据：12，35，717，926，1137，其中内应填的数是（）A23B511C59D12二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，
4、共15分。11（3分）（2021济宁）数字6100000用科学记数法表示是 12（3分）（2021济宁）如图，四边形ABCD中，BACDAC，请补充一个条件 ，使ABCADC13（3分）（2021济宁）已知一组数据0，1，x，3，6的平均数是y，则y关于x的函数解析式是 14（3分）（2021济宁）如图，ABC中，ABC90，AB2，AC4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是 15（3分）（2021济宁）如图，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x1下面结论：abc0；2a+b0；3a+c0；方程ax2
5、+bx+c0（a0）必有一个根大于1且小于0其中正确的是 （只填序号）三、解答题：本大题共7小题，共55分。16（5分）（2021济宁）计算：|2-1|+cos45（2）3+817（7分）（2021济宁）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 ；（2）请补全条形统计图；（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 ；（4）已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方
6、法，求抽到两名男生的概率是多少？18（7分）（2021济宁）如图，RtABC中，ACB90，ACBC，点C（2，0），点B（0，4），反比例函数y=kx（x0）的图象经过点A（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线OA向上平移m个单位后经过反比例函数y=kx（x0）图象上的点（1，n），求m，n的值19（8分）（2021济宁）如图，点C在以AB为直径的O上，点D是BC的中点，连接OD并延长交O于点E，作EBPEBC，BP交OE的延长线于点P（1）求证：PB是O的切线；（2）若AC2，PD6，求O的半径20（8分）（2021济宁）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900
7、元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？21（9分）（2021济宁）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题（1）阅读材料立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角例如，正方体ABCDABCD（图1），因为在平面AACC中，CCAA，AA与AB相交于点A，所以直线AB与AA所成的BAA就
8、是既不相交也不平行的两条直线AB与CC所成的角解决问题如图1，已知正方体ABCDABCD，求既不相交也不平行的两直线BA与AC所成角的大小（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ；在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值22（11分）（2021济宁）如图，直线y=-12x+32分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的抛物线yx2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于
9、点F（1）求抛物线的解析式；（2）求证：OEAB；（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由2021年山东省济宁市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。1（3分）（2021济宁）若盈余2万元记作+2万元，则2万元表示（）A盈余2万元B亏损2万元C亏损2万元D不盈余也不亏损【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量解答【解答】解：2万元表示亏损2万元，故选：B【点评】本题考查了正数和负数的意义
10、，正数表示盈余，负数表示亏损，这是解题的关键2（3分）（2021济宁）一个圆柱体如图所示，下面关于它的左视图的说法其中正确的是（）A既是轴对称图形，又是中心对称图形B既不是轴对称图形，又不是中心对称图形C是轴对称图形，但不是中心对称图形D是中心对称图形，但不是轴对称图形【分析】圆柱体的左视图是长方形，再根据长方形的对称性进行判断即可【解答】解：圆柱体的左视图是长方形，而长方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选：A【点评】本题考查简单几何体的左视图以及轴对称图形和中心对称图形，掌握圆柱体左视图的形状，理解轴对称图形和中心对称图形的意义是正确判断的前提3（3分）（2021济宁）下列各式中，正确
11、的是（）Ax+2x3x2B（xy）xyC（x2）3x5Dx5x3x2【分析】根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数的幂相除，底数不变指数相减，幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解【解答】解：A、应为x+2x3x，故本选项错误；B、应为（xy）x+y，故本选项错误；C、（x2）3x23x6，故本选项错误；D、x5x3x53x2，故本选项正确故选：D【点评】本题主要考查合并同类项法则，同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键4（3分）（2021济宁）如图，ABCD，BCDE，若B7228，那么D的度数是（）A7228B10128C10732D
12、12732【分析】先根据ABCD求出C的度数，再由BCDE即可求出D的度数【解答】解：ABCD，B7228，CB7228，BCDE，D+C180，D180C10732，故选：C【点评】本题考查的是平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键5（3分）（2021济宁）计算a2-4a（a+1-5a-4a）的结果是（）Aa+2a-2Ba-2a+2C(a-2)(a+2)aDa+2a【分析】根据分式的混合运算法则进行计算，先算乘除，后算加减，如果有小括号先算小括号里面的【解答】解：原式=a2-4aa(a+1)-(5a-4)a=(a+2)(a-2)aa2+a-5a+4a =(a+2)(a-2)aa(a-
13、2)2 =a+2a-2，故选：A【点评】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键6（3分）（2021济宁）不等式组x+32x-12-x-2的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可【解答】解：x+32x-12-x-2，解不等式，得x1，解不等式，得x3，所以不等式组的解集是1x3，在数轴上表示出来为：，故选：B【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键7（3分）（2021济宁）如图，正五边形ABCDE中，CAD的
14、度数为（）A72B45C36D35【分析】首先可根据五边形内角和公式求出每个内角的度数，然后求出CAB和DAE，即可求出CAD【解答】解：根据正多边形内角和公式可得，正五边形ABCDE的内角和180（52）540，则BAEBE=5405=108，根据正五边形的性质，ABCAED，CABDAE=12（180108）36，CAD108363636，故选：C【点评】本题考查多边形内角和公式，熟记正多边形的性质是解题的关键8（3分）（2021济宁）已知m，n是一元二次方程x2+x20210的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（）A2019B2020C2021D2022【分析】根据一元二次方程根
15、的定义得到m2+m2021，则m2+2m+n2021+m+n，再利用根与系数的关系得到m+n1，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：m是一元二次方程x2+x20210的实数根，m2+m20210，m2+m2021，m2+2m+nm2+m+m+n2021+m+n，m，n是一元二次方程x2+x20210的两个实数根，m+n1，m2+2m+n202112020故选：B【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca也考查了一元二次方程的解9（3分）（2021济宁）如图，已知ABC（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧
16、，交AC于点M，交AB于点N（2）分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧在BAC的内部相交于点P（3）作射线AP交BC于点D（4）分别以A，D为圆心，以大于12AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点（5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F依据以上作图，若AF2，CE3，BD=32，则CD的长是（）A910B1C94D4【分析】利用作法得AD平分BAC，EF垂直平分AD，所以EADFAD，EAED，FAFD，再证明四边形AEDF为菱形得到AEAF2，然后利用平行线分线段成比例定理计算CD的长【解答】解：由作法得AD平分BAC，EF垂直平分AD，EADFAD，EAED，FAF
17、D，EAED，EADEDA，FADEDA，DEAF，同理可得AEDF，四边形AEDF为平行四边形，而EAED，四边形AEDF为菱形，AEAF2，DEAB，CDDB=CEEA，即CD32=32，CD=94故选：C【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了角平分线的性质和垂直平分线的性质10（3分）（2021济宁）按规律排列的一组数据：12，35，717，926，1137，其中内应填的数是（）A23B511C59D12【分析】分子为连续的奇数，分母为序号的平方+1，根据规律即可得到答案【解答】解：观察
18、这排数据发现：分子为连续的奇数，分母为序号的平方+1，第n个数据为：2n-1n2+1当n3时，的分子为5，分母32+110，这个数为510=12，故选：D【点评】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题的关键二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11（3分）（2021济宁）数字6100000用科学记数法表示是 6.1106【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解：用科学记数法表示610
19、0000，应记作6.1106，故答案是：6.1106【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值12（3分）（2021济宁）如图，四边形ABCD中，BACDAC，请补充一个条件 ADAB（答案不唯一），使ABCADC【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可【解答】解：添加的条件是ADAB，理由是：在ABC和ADC中AC=ACBAC=DACAD=AB，ABCADC（SAS），故答案为：ADAB（答案不唯一）【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定
20、定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL13（3分）（2021济宁）已知一组数据0，1，x，3，6的平均数是y，则y关于x的函数解析式是 y=x5+2【分析】根据平均数的公式直接列式即可得到函数解析式【解答】解：根据题意得：y（0+1+x+3+6）5=x5+2故答案为：y=x5+2【点评】本题主要考查平均数的概念，熟练掌握平均数的公式是解题的关键14（3分）（2021济宁）如图，ABC中，ABC90，AB2，AC4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是 534-2【分析】根据题意，
21、作出合适的辅助线，即可求得DE的长、DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是ABC的面积减去COD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题【解答】解，连接OD，过D作DEBC于E，在ABC中，ABC90，AB2，AC4，sinC=ABAC=24=12，BC=AC2-AB2=42-22=23，C30，DOB60，OD=12BC=3，DE=32，阴影部分的面积是：12223-12332-603360=534-2，故答案为：534-2【点评】本题考查扇形面积的计算、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答15（3分）（2021济宁）如图，二次函数yax2+bx+c（a0）的
22、图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x1下面结论：abc0；2a+b0；3a+c0；方程ax2+bx+c0（a0）必有一个根大于1且小于0其中正确的是 （只填序号）【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决【解答】解：由图象可得，a0，b0，c0，则abc0，故正确；-b2a=1，b2a，2a+b0，故正确；函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x1，函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，故正确；当x1时，yab+c0，ya+2a+c0，3a+c0，故错误；故答案为：【点评】本题考查二次函数图象与系数的关
23、系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答三、解答题：本大题共7小题，共55分。16（5分）（2021济宁）计算：|2-1|+cos45（2）3+8【分析】根据绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的化简计算即可【解答】解：原式=2-1+22-122+22=2-1+22-24+22 1+1342【点评】本题考查了绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的化简，考核学生的计算能力，注意（2）3=1(2)317（7分）（2021济宁）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根
24、据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 108；（2）请补全条形统计图；（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 510人；（4）已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？【分析】（1）由360乘以“优秀”的人数所占的比例即可；（2）求出这次调查的人数为：1230%40（人），得出及格的人数，补全条形统计图即可；（3）由该校总人数乘以“良好”的人数所占的比例即可；（4）画树状图，共有6种等可能的结
25、果，抽到两名男生的结果有2种，则由概率公式求解即可【解答】解：（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是：36030%108，故答案为：108；（2）这次调查的人数为：1230%40（人），则及格的人数为：40317128（人），补全条形统计图如下：（3）估计该校“良好”的人数为：12001740=510（人），故答案为：510人；（4）画树状图如图：共有6种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2种，抽到两名男生的概率为26=13【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注
26、意此题是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比也考查了条形统计图和扇形统计图18（7分）（2021济宁）如图，RtABC中，ACB90，ACBC，点C（2，0），点B（0，4），反比例函数y=kx（x0）的图象经过点A（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线OA向上平移m个单位后经过反比例函数y=kx（x0）图象上的点（1，n），求m，n的值【分析】（1）过A作ADx轴于D，证明BOCCDA，可得OBCD，OCAD，根据C（2，0），B（0，4），得A（6，2），而反比例函数y=kx（x0）的图象经过点A，故2=k6，解得k12，即可得反比例函数的解析式为y=12x
27、；（2）求出直线OA解析式为y=13x，可得将直线OA向上平移m个单位后所得直线解析式为y=13x+m，再由点（1，n）在反比例函数y=12x（x0）图象上，得n12，即直线OA向上平移m个单位后经过的点是（1，12），即可求出m=353【解答】解：（1）过A作ADx轴于D，如图：ACB90，OBC90BCOACD，在BOC和CDA中，BOC=CDA=90OBC=ACDBC=AC，BOCCDA（AAS），OBCD，OCAD，C（2，0），B（0，4），AD2，CD4，A（6，2），反比例函数y=kx（x0）的图象经过点A，2=k6，解得k12，反比例函数的解析式为y=12x；（2）由（1）得A
28、（6，2），设直线OA解析式为ytx，则26t，解得t=13，直线OA解析式为y=13x，将直线OA向上平移m个单位后所得直线解析式为y=13x+m，点（1，n）在反比例函数y=12x（x0）图象上，n=121=12，直线OA向上平移m个单位后经过的点是（1，12），12=13+m，m=353【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及三角形全等的判定及性质，解题的关键是由BOCCDA得到OBCD，OCAD及待定系数法的运用19（8分）（2021济宁）如图，点C在以AB为直径的O上，点D是BC的中点，连接OD并延长交O于点E，作EBPEBC，BP交OE的延长线于点P（1）求证：PB是O
29、的切线；（2）若AC2，PD6，求O的半径【分析】（1）由AB为直径，可得ACB90，又D为BC中点，O为AB中点，可得ODAC，从而ODB90由OBOE得OEBOBE，又OEBP+EBP，OBEOBD+EBC，所以P+EBPOBD+EBC，又EBPEBC，得POBD又BOD+OBD90，从而可得BOD+P90，即OBP90则可证PB为O切线；（2）由（1）可得OD1，从而PO7，可证明BDPOBP，从而得比例BPOP=DPBP，解得BP=42，最后由勾股定理可求半径OB【解答】解：（1）证明：AB为直径，ACB90，又D为BC中点，O为AB中点，故OD=12AC，ODAC，ODBACB90O
30、BOE，OEBOBE，又OEBP+EBP，OBEOBD+EBC，P+EBPOBD+EBC，又EBPEBC，POBDBOD+OBD90，BOD+P90，OBP90又OB为半径，故PB是O的切线（2）AC2，由（1）得OD=12AC=1，又PD6，POPD+OD6+17PP，BDPOBP90，BDPOBPBPOP=DPBP，即BP2OPDP7642，BP=42OB=OP2-BP2=49-42=7故O的半径为7【点评】本题属于主要考查了圆周角定理，三角形中位线性质定理，等腰三角形性质，圆切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点20（8分）（2021济宁）某商场购进甲、乙两种商品共1
31、00箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x5）元，根据题意列出方程，解方程即可，分式方程注意验根；（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值【解答】解：（1）设甲种商品每
32、箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x5）元，根据题意得：900x+400x-5=100，整理得：x218x+450，解得：x15或x3（舍去），经检验，x15是原分式方程的解，符合实际，x515510（元），答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得：w（15a）（100+20a）20a2+200a+150020（a5）2+2000，a20，当a5时，函数有最大值，最大值是2000元，答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元【点评】本题考查二次函数的应用和分式方程的应用，关键是根据题意列出函数关系式2
33、1（9分）（2021济宁）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题（1）阅读材料立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角例如，正方体ABCDABCD（图1），因为在平面AACC中，CCAA，AA与AB相交于点A，所以直线AB与AA所成的BAA就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC所成的角解决问题如图1，已知正方体ABCDABCD，求既不相交也不平行的两直线BA与AC所成角的大小（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 丙；在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的
34、距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值【分析】（1）如图1中，连接BC证明ABC是等边三角形，推出BAC60，由题意可知CAB是两条直线AC与BA所成的角（2）根据立方体平面展开图的特征，解决问题即可（3）如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJNK于J利用勾股定理求出MK即可【解答】解：（1）如图1中，连接BCABBCAC，ABC是等边三角形，BAC60，ACAC，CAB是两条直线AC与BA所成的角，两直线BA与AC所成角为60（2）观察图形可知，图形丙是
35、图2的展开图，故答案为：丙如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJNK于J由题意在RtMKJ中，MJK90，MJ5+38，JK8（42）6，MK=MJ2+JK2=82+62=10，PM+PN的最小值为10【点评】本题考查轴对称最短问题，平面展开图，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角，学会利用轴对称的性质解决最短问题，属于中考常考题型22（11分）（2021济宁）如图，直线y=-12x+32分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的
36、抛物线yx2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于点F（1）求抛物线的解析式；（2）求证：OEAB；（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据直线y=-12x+32分别交x轴、y轴于点A，B，求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求得答案；（2）运用待定系数法求出直线AD的解析式为yx+3，得出E（1，2），运用三角函数定义得出tanOABtanOEG，进而可得OABOEG，即可证得结论；（3）运
37、用待定系数法求出直线CD解析式为y3x+3，根据以A，O，M为顶点的三角形与ACD相似，分两种情况：当AOMACD时，AOMACD，从而得出OMCD，进而得出直线OM的解析式为y3x，再结合抛物线的解析式为yx2+2x+3，即可求得点P的横坐标；当AMOACD时，利用AMAO=ACAD，求出AM，进而求得点M的坐标，得出直线AM的解析式，即可求得答案【解答】解：（1）直线y=-12x+32分别交x轴、y轴于点A，B，A（3，0），B（0，32），抛物线yx2+bx+c经过A（3，0），D（0，3），0=-32+3b+c3=-02+0+c，解得：b=2c=3，该抛物线的解析式为yx2+2x+3；
38、（2）yx2+2x+3（x1）2+4，抛物线的对称轴为直线x1，设直线AD的解析式为ykx+a，将A（3，0），D（0，3）代入，得：3k+b=0b=3，解得：k=-1b=3，直线AD的解析式为yx+3，E（1，2），G（1，0），EGO90，tanOEG=OGEG=12，OA3，OB=32，AOB90，tanOAB=OBOA=323=12，tanOABtanOEG，OABOEG，OEG+EOG90，OAB+EOG90，AFO90，OEAB；（3）存在A（3，0），抛物线的对称轴为直线x1，C（1，0），AC3（1）4，OAOD3，AOD90，AD=2OA32，设直线CD解析式为ymx+n，C
39、（1，0），D（0，3），-m+n=0n=3，解得：m=3n=3，直线CD解析式为y3x+3，当AOMACD时，AOMACD，如图2，OMCD，直线OM的解析式为y3x，结合抛物线的解析式为yx2+2x+3，得：3xx2+2x+3，解得：x1=-1-132，x2=-1+132，当AMOACD时，如图3，AMAO=ACAD，AM=ACAOAD=4332=22，过点M作MGx轴于点G，则AGM90，OAD45，AGMGAMsin452222=2，OGOAAG321，M（1，2），设直线OM解析式为ym1x，将M（1，2）代入，得：m12，直线OM解析式为y2x，结合抛物线的解析式为yx2+2x+3，得：2xx2+2x+3，解得：x3，综上所述，点P的横坐标为3或-1132【点评】本题是关于二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，三角函数定义，相似三角形的判定和性质等，是中考数学压轴题，综合性较强，难度较大；熟练掌握待定系数法和相似三角形的判定和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键