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1、2021年江苏省扬州市中考数学试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（3分）（2021扬州）实数100的倒数是A100BCD2（3分）（2021扬州）把如图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是A五棱锥B五棱柱C六棱锥D六棱柱3（3分）（2021扬州）下列生活中的事件，属于不可能事件的是A3天内将下雨B打开电视，正在播新闻C买一张电影票，座位号是偶数号D没有水分，种子发芽4（3分）（2021扬州）不论取何值，下列代数式的值不可能为0的是ABCD5（3分）（
2、2021扬州）如图，点、在同一平面内连接、，若，则ABCD6（3分）（2021扬州）如图，在的正方形网格中有两个格点、，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是A2B3C4D57（3分）（2021扬州）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，把直线绕点顺时针旋转交轴于点，则线段长为ABCD8（3分）（2021扬州）如图，点是函数，的图象上一点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点、，交函数，的图象于点、，连接、，其中下列结论：；，其中正确的是ABCD二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9（3
3、分）（2021扬州）2021年扬州世界园艺博览会以“绿色城市，健康生活”为主题，在某搜索引擎中输入“扬州世界园艺博览会”约有3020000个相关结果，数据3020000用科学记数法表示为 10（3分）（2021扬州）计算：11（3分）（2021扬州）在平面直角坐标系中，若点P（1m，52m）在第二象限，则整数m的值为 12（3分）（2021扬州）已知一组数据：、4、5、6、7的平均数为5，则这组数据的中位数是 13（3分）（2021扬州）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的算学启蒙一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十
4、里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马 天追上慢马14（3分）（2021扬州）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为的正方形，该果罐侧面积为 15（3分）（2021扬州）如图，在中，点是的中点，过点作，垂足为点，连接，若，则16（3分）（2021扬州）如图，在中，点在上，且平分，若，则的面积为 17（3分）（2021扬州）如图，在中，矩形的顶点、在上，点、分别在、上，若，且，则的长为 18（3分）（2021扬州）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，将其
5、中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为 三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19（8分）（2021扬州）计算或化简：（1）（2）20（8分）（2021扬州）已知方程组的解也是关于、的方程的一个解，求的值21（8分）（2021扬州）为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”，某校开展“每日健身操”活动，为了解学生对“每日健身操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结果绘制成如下尚不完整的统计图表：抽样调查各类喜欢程度人数统计表喜欢程度人数非常喜欢50人比较喜欢人无
6、所谓人不喜欢16人根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量是 ；（2）扇形统计图中表示程度的扇形圆心角为 ，统计表中；（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动（包含非常喜欢和比较喜欢）22（8分）（2021扬州）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到、中的2个座位上（1）甲坐在号座位的概率是 ；（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率23（10分）（2021扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生
7、产220万剂疫苗所用的时间少0.5天问原先每天生产多少万剂疫苗？24（10分）（2021扬州）如图，在中，的角平分线交于点，（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，且，求四边形的面积25（10分）（2021扬州）如图，四边形中，连接，以点为圆心，长为半径作，交于点（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，求图中阴影部分的面积26（10分）（2021扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点（1），；（2）若点在该二次函数的图象上，且，求点的坐标；（3）若点是该二次函数图象上位于轴上方的一点，且，直接写出点的坐标27（12分）（2021扬州）在一次数学探
8、究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：（1）这样的点唯一吗？（2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决该弧所在圆的半径长为 ；面积的最大值为 ；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，点在直线的左侧，且线段长的最小值为 ；若，则线段长为 2
9、8（12分）（2021扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元说明：汽车数量为整数；月利润月租车费月维护费；两公司月利润差月利润较高公司的利润月利润较低公司的利润在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 元；
10、当每个公司租出的汽车为 辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围2021年江苏省扬州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（3分）（2021扬州）实数100的倒数是A100BCD【分析】直接根据倒数的定义求解【解答】解：100的倒数为，故选
11、：【点评】本题考查了倒数的定义：的倒数为2（3分）（2021扬州）把如图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是A五棱锥B五棱柱C六棱锥D六棱柱【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题【解答】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形，则该几何体为五棱锥，故选：【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键3（3分）（2021扬州）下列生活中的事件，属于不可能事件的是A3天内将下雨B打开电视，正在播新闻C买一张电影票，座位号是偶数号D没有水分，种子发芽【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可【解答】解：、3天内将下雨，是随
12、机事件；、打开电视，正在播新闻，是随机事件；、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件；、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件；故选：【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件4（3分）（2021扬州）不论取何值，下列代数式的值不可能为0的是ABCD【分析】分别找到各式为0时的值，即可判断【解答】解：、当时，故不合题意；、当时，故不合题意；、分子是1，而，则，故符合题意；、当时，故不合题意；故选：【点评】本题考查了分式的值为零的条
13、件，代数式的值若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0这两个条件缺一不可5（3分）（2021扬州）如图，点、在同一平面内连接、，若，则ABCD【分析】连接，根据三角形内角和求出，再利用四边形内角和减去和的和，即可得到结果【解答】解：连接，故选：【点评】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形6（3分）（2021扬州）如图，在的正方形网格中有两个格点、，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是A2B3C4D5【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：为等腰直角底边；为等腰直角其中的一条腰【解答】
14、解：如图：分情况讨论：为等腰直角底边时，符合条件的点有0个；为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的点有3个故共有3个点，故选：【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想7（3分）（2021扬州）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，把直线绕点顺时针旋转交轴于点，则线段长为ABCD【分析】根据一次函数表达式求出点和点坐标，得到为等腰直角三角形和的长，过点作，垂足为，证明为等腰直角三角形，设，结合旋转的度数，用两种方法表示出，得到关于的方程，解之即可【解答】解：一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，令，则，令，则，则
15、，则为等腰直角三角形，过点作，垂足为，为等腰直角三角形，设，旋转，又，解得：，故选：【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形8（3分）（2021扬州）如图，点是函数，的图象上一点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点、，交函数，的图象于点、，连接、，其中下列结论：；，其中正确的是ABCD【分析】设，分别求出，的坐标，得到，的长，判断和的关系，可判断；利用三角形面积公式计算，可得的面积，可判断；再利用计算的面积，可判断【解答】解：轴，轴，点在上，点，在上，设，则，令
16、，则，即，即，又，故正确；的面积，故正确；，故错误；故选：【点评】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9（3分）（2021扬州）2021年扬州世界园艺博览会以“绿色城市，健康生活”为主题，在某搜索引擎中输入“扬州世界园艺博览会”约有3020000个相关结果，数据3020000用科学记数法表示为 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数
17、点移动的位数相同【解答】解：将3020000用科学记数法表示为故答案为：【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值10（3分）（2021扬州）计算：4041【分析】利用平方差公式进行简便运算即可【解答】解：故答案为：4041【点评】本题考查了平方差公式的应用，解题时注意运算顺序11（3分）（2021扬州）在平面直角坐标系中，若点P（1m，52m）在第二象限，则整数m的值为 2【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0列出不等式组，然后求解即可【解答】解：由题意得：，解得：，整数m的值为2，故答案为：2【点评】本题考
18、查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键12（3分）（2021扬州）已知一组数据：、4、5、6、7的平均数为5，则这组数据的中位数是 5【分析】根据平均数的定义先算出的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数【解答】解：这组数据的平均数为5，则，解得：，将这组数据从小到大重新排列为：3，4，5，6，7，观察数据可知最中间的数是5，则中位数是5故答案为：5【点评】本题考查了平均数和中位数的意义中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数13（3分）（2021扬州）扬州雕版印刷
19、技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的算学启蒙一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马 20天追上慢马【分析】设良马行日追上驽马，根据路程速度时间结合两马的路程相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：设快马行天追上慢马，则此时慢马行了日，依题意，得：，解得：，快马20天追上慢马，故答案为：20【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键1
20、4（3分）（2021扬州）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为的正方形，该果罐侧面积为 【分析】此几何体为圆柱，那么侧面积底面周长高【解答】解：由题意得圆柱的底面直径为，高为，侧面积故答案为：【点评】本题考查了由三视图判断几何体，难点是确定几何体的形状，关键是找到等量关系里相应的量15（3分）（2021扬州）如图，在中，点是的中点，过点作，垂足为点，连接，若，则3【分析】由直角三角形的性质得出,由三角形中位线定理得出,由勾股定理求出,则可求出答案【解答】解,点是的中点，是的中点, ,故答案为3【点评】本题考查了三角形中位线定理,直角三角形的性质,勾股定理,熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键
21、16（3分）（2021扬州）如图，在中，点在上，且平分，若，则的面积为 50【分析】过点作，垂足为，利用直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到，可得，最后利用平行四边形的面积公式计算即可【解答】解：过点作，垂足为，四边形是平行四边形，又平分，即，四边形的面积，故答案为：50【点评】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出的长是解题的关键17（3分）（2021扬州）如图，在中，矩形的顶点、在上，点、分别在、上，若，且，则的长为 【分析】根据矩形的性质得到，证明，可
22、得，证明，得到，在中，利用勾股定理求出值即可【解答】解：，设，则，四边形是矩形，即，在和中，在中，即，解得：或（舍，故答案为：【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是根据相似三角形的性质得到的长18（3分）（2021扬州）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为 1275【分析】首先得到前个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第个图形中的黑色圆点的个数为，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，
23、都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可【解答】解：第个图形中的黑色圆点的个数为：1，第个图形中的黑色圆点的个数为：，第个图形中的黑色圆点的个数为：，第个图形中的黑色圆点的个数为：，第个图形中的黑色圆点的个数为，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，其中每3个数中，都有2个能被3整除，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即，故答案为：1275【点评】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应
24、写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19（8分）（2021扬州）计算或化简：（1）（2）【分析】（1）分别化简各数，再作加减法；（2）先通分，计算加法，再将除法转化为乘法，最后约分计算【解答】解：（1）原式；（2）原式【点评】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则20（8分）（2021扬州）已知方程组的解也是关于、的方程的一个解，求的值【分析】求出方程组的解得到与的值，代入方程计算即可求出的值【解答】解：方程组，把代入得：，解得：，代入中，解得：，把，代入方程得，解得：【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，
25、方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值21（8分）（2021扬州）为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”，某校开展“每日健身操”活动，为了解学生对“每日健身操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结果绘制成如下尚不完整的统计图表：抽样调查各类喜欢程度人数统计表喜欢程度人数非常喜欢50人比较喜欢人无所谓人不喜欢16人根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量是 200；（2）扇形统计图中表示程度的扇形圆心角为 ，统计表中；（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动（包含非常喜欢和比较喜欢）【分析】（1）用程度人数
26、除以对应百分比即可；（2）用程度的人数与样本人数的比值乘以即可得到对应圆心角，算出等级对应百分比，乘以样本容量可得值；（3）用样本中、程度的人数之和所占样本的比例，乘以全校总人数即可【解答】解：（1），则样本容量是200；（2），则表示程度的扇形圆心角为；，则；（3）名，该校2000名学生中大约有1440名学生喜欢“每日健身操”活动【点评】本题考查了扇形统计图，统计表，样本估计总体等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小22（8分）（2021扬州）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到、中的
27、2个座位上（1）甲坐在号座位的概率是 ；（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率【分析】（1）直接根据概率公式计算即可；（2）画树状图，共有6种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有4种，再由概率公式求解即可【解答】解：（1）丙坐了一张座位，甲坐在号座位的概率是；（2）画树状图如图：共有6种等可能的结果，甲与乙两同学恰好相邻而坐的结果有4种，甲与乙相邻而坐的概率为【点评】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比23（10分）（2021扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了，现在生产240万剂疫苗所用
28、的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天问原先每天生产多少万剂疫苗？【分析】设原先每天生产万剂疫苗，根据现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天可得方程，解之即可【解答】解：设原先每天生产万剂疫苗，由题意可得：，解得：，经检验：是原方程的解，原先每天生产40万剂疫苗【点评】此题主要考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性24（10分）（2021扬州）如图，在中，的角平分线交于点，（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，且，求四边形的面积【分析】（1）根
29、据，判定四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到，可得，即可证明；（2）根据得到菱形是正方形，根据对角线求出边长，再根据面积公式计算即可【解答】解：（1）四边形是菱形，理由是：，四边形是平行四边形，平分，平行四边形是菱形；（2），四边形是正方形，四边形的面积为【点评】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法25（10分）（2021扬州）如图，四边形中，连接，以点为圆心，长为半径作，交于点（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，求图中阴影部分的面积【分析】（1）过点作，证明，得到，即可证明与圆相切；（2
30、）先证明是等边三角形，根据三线合一得到，求出，再利用求出阴影部分面积【解答】解：（1）过点作，垂足为，在和中，则点在圆上，与相切；（2），是等边三角形，阴影部分的面积【点评】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确作出辅助线26（10分）（2021扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点（1），；（2）若点在该二次函数的图象上，且，求点的坐标；（3）若点是该二次函数图象上位于轴上方的一点，且，直接写出点的坐标【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出的面积，
31、设点，再根据，得到方程求出值，即可求出点的坐标；（3）分点在点左侧和点在点右侧，结合平行线之间的距离，分别求解【解答】解：（1）点和点在二次函数图像上，则，解得：，故答案为：，；（2）连接，由题意可得：，设点，即，解得：或，代入，可得：值都为6，或，；（3）设，点在抛物线位于轴上方的部分，或，当点在点左侧时，即，可知点到的距离小于点到的距离，不成立；当点在点右侧时，即，和都以为底，若要面积相等，则点和点到的距离相等，即，设直线的解析式为，则，解得：，则设直线的解析式为，将点代入，则，解得：，则直线的解析式为，将代入，即，解得：或（舍，点的坐标为【点评】本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求
32、函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离，一次函数，解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离27（12分）（2021扬州）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：（1）这样的点唯一吗？（2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决该弧所在圆的半径长为 2；面积的最大值为 ；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，
33、请你利用图1证明（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，点在直线的左侧，且线段长的最小值为 ；若，则线段长为 【分析】（1）设为圆心，连接，根据圆周角定理得到，证明是等边三角形，可得半径；过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于，以为底，则当与重合时，的面积最大，求出，根据三角形面积公式计算即可；（2）延长，交圆于点，连接，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；（3）根据，连接，设点为中点，以点为圆心，为半径画圆，可得点在优弧上，连接，与圆交于，可得即为的最小值，再计算出和圆的半径，相减即可得到；根据，和 推出点在的平分线上，从而找到点的位置，过点作，垂足为，
34、解直角三角形即可求出【解答】解：（1）设为圆心，连接，又，是等边三角形，即半径为2；以为底边，当点到的距离最大时，的面积最大，如图，过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于，的最大面积为；（2）如图，延长，交圆于点，连接，点在圆上，即；（3）如图，当点在上，且时，为定值，连接，设点为中点，以点为圆心，为半径画圆，当点在优弧上时，连接，与圆交于，此时即为的最小值，过点作，垂足为，点是中点，点为中点，即，圆的半径为，即的最小值为；，则，中边上的高中边上的高，即点到的距离和点到的距离相等，则点到和的距离相等，即点在的平分线上，如图，过点作，垂足为，平分，为等腰直角三角形，又，【点评】本题是圆的综合题，考查
35、了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点的轨迹28（12分）（2021扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元说明：汽车数量为整数；月利润月租车费月维护费；两公司月利润差月利
36、润较高公司的利润月利润较低公司的利润在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 48000元；当每个公司租出的汽车为 辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为辆，根据月利润相等得到方程，解之
37、即可得到结果；（2）设两公司的月利润分别为，月利润差为，同（1）可得和的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出关于的表达式，根据二次函数的性质，结合的范围求出最值，再比较即可；（3）根据题意得到利润差为，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为17辆，结合为整数可得关于的不等式，即可求出的范围【解答】解：（1）元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为辆，由题意可得：，解得：或（舍，当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；（2）设两公司的月利润分别为，月利润差为，则，当甲公司的利润大于乙公司时，当时，利润差最大，且为18050元；当乙公司的利润大于甲公司时，对称轴为直线，当时，利润差最大，且为33150元；综上：两公司月利润差的最大值为33150元；（3）捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则利润差为，对称轴为直线，只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，解得：【点评】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据为整数得到的不等式