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1、第二十六讲与圆有关的位置关系考点一点与圆的位置关系考点一点与圆的位置关系【主干必备主干必备】点与圆的位置关系点与圆的位置关系1.1.设圆设圆O O的半径为的半径为r,r,点点P P到圆心的距离为到圆心的距离为OP=d.OP=d.则则:(1)(1)点点P P在圆外在圆外_;_;dr dr(2)(2)点点P P在圆上在圆上_;_;(3)(3)点点P P在圆内在圆内_._.d=r d=r dr dr 2.2.确定圆的条件确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定不在同一条直线上的三个点确定_圆圆.一个一个 【微点警示微点警示】(1)(1)注意互逆注意互逆:由点和圆的位置关系可以推得由点和圆的位置关系
2、可以推得d d与与r r的大的大小关系小关系;反之反之,由由d d与与r r的大小关系也可以推得点和圆的的大小关系也可以推得点和圆的位置关系位置关系.(2)(2)注意条件注意条件:三个点确定一个圆的前提是这三个点不三个点确定一个圆的前提是这三个点不在同一直线上在同一直线上.【核心突破核心突破】例例1(20181(2018泰安中考泰安中考)如图如图,M,M的半径为的半径为2,2,圆心圆心M M的坐的坐标为标为(3,4),(3,4),点点P P是是M M上的任意一点上的任意一点,PAPB,PAPB,且且PA,PBPA,PB与与x x轴分别交于轴分别交于A,BA,B两点两点,若点若点A,A,点点B
3、B关于原点关于原点O O对称对称,则则ABAB的最小值为的最小值为()C CA.3A.3B.4B.4C.6C.6D.8D.8【明明技法技法】圆外一点到圆上各点的距离的最值圆外一点到圆上各点的距离的最值(1)(1)最短距离最短距离=圆外一点与圆心的距离圆外一点与圆心的距离-半径半径.(2)(2)最长距离最长距离=圆外一点与圆心的距离圆外一点与圆心的距离+半径半径.【题组过关题组过关】1.(20191.(2019上海金山区模拟上海金山区模拟)如图如图,在在RtABCRtABC中中,C=90,BC=2,B=60,AC=90,BC=2,B=60,A的半径为的半径为3,3,那么下列说那么下列说法正确的是
4、法正确的是()D DA.A.点点B,B,点点C C都在都在A A内内B.B.点点C C在在A A内内,点点B B在在A A外外C.C.点点B B在在A A内内,点点C C在在A A外外D.D.点点B,B,点点C C都在都在A A外外2.(2.(易错警示题易错警示题)在直角坐标平面内在直角坐标平面内,点点O O是坐标原点是坐标原点,点点A A的坐标是的坐标是(3,2),(3,2),点点B B的坐标是的坐标是(3,-4).(3,-4).如果以点如果以点O O为圆为圆心心,r,r为半径的圆为半径的圆O O与直线与直线ABAB相交相交,且点且点A,BA,B中有一点在圆中有一点在圆O O内内,另一点在圆
5、另一点在圆O O外外,那么那么r r的值可以取的值可以取()A.5A.5B.4B.4C.3C.3D.2D.2B B3.(20193.(2019江都区模拟江都区模拟)有一张矩形的纸片有一张矩形的纸片,AB=6 cm,AB=6 cm,AD=8 cm,AD=8 cm,若以若以A A为圆心作圆为圆心作圆,并且要使点并且要使点B B在在A A内内,而点而点C C在在A A外外,A,A的半径的半径r r的取值范围是的取值范围是_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号 6 cmr 6 cmrrdrd=rd=rdrdr【微点警示微点警示】(1)(1)注意互逆注意互逆:由直线和圆的位置关系可以推得由直线和圆的位置关
6、系可以推得d d与与r r的的大小关系大小关系;反之反之,由由d d与与r r的大小关系也可以推得直线和的大小关系也可以推得直线和圆的位置关系圆的位置关系.(2)“d”(2)“d”的不同的不同:点与圆的位置关系中点与圆的位置关系中,“d”,“d”是指两点是指两点之间的距离之间的距离;直线与圆的位置关系中直线与圆的位置关系中,“d”,“d”是指点与直是指点与直线的距离线的距离.【核心突破核心突破】例例2(20192(2019菏泽中考菏泽中考)如图如图,直线直线y=-3y=-3交交x x轴于点轴于点A,A,交交y y轴于点轴于点B,B,点点P P是是x x轴上一动点轴上一动点,以点以点P P为圆心
7、为圆心,以以1 1个单个单位长度为半径作位长度为半径作P,P,当当P P与直线与直线ABAB相切时相切时,点点P P的坐标的坐标是是_._.【明明技法技法】判断直线与圆位置关系的两种方法判断直线与圆位置关系的两种方法1.1.用直线与圆交点的个数来判断用直线与圆交点的个数来判断.2.2.用圆心到直线的距离与半径的大小来判断用圆心到直线的距离与半径的大小来判断.【题组过关题组过关】1.(1.(易错警示题易错警示题)已知已知O O的半径为的半径为4,4,直线直线l上有一点上有一点P P与与O O的圆心的距离为的圆心的距离为4,4,则直线则直线l与与O O的位置关系为的位置关系为 ()A.A.相离相离
8、B.B.相切相切C.C.相交相交D.D.相切、相交均有可能相切、相交均有可能D D2.(20192.(2019杭州上城区模拟杭州上城区模拟)已知已知BAC=45,BAC=45,一动点一动点O O在射线在射线ABAB上运动上运动(点点O O与点与点A A不重合不重合),),设设OA=x,OA=x,如果半径如果半径为为1 1的的O O与射线与射线ACAC有公共点有公共点,那么那么x x的取值范围是的取值范围是 ()A.0 x1A.0 x1B.1x B.1x C.0 x C.0 D.x C C3.(20193.(2019玄武区模拟玄武区模拟)直径为直径为10 cm10 cm的圆的圆,若该圆的圆若该圆
9、的圆心到直线的距离为心到直线的距离为4 cm,4 cm,则该直线与圆的公共点个数为则该直线与圆的公共点个数为_._.2 2 4.(20194.(2019达州中考达州中考)如图如图,O,O是是ABCABC的外接圆的外接圆,BAC,BAC的平分线交的平分线交O O于点于点D,D,交交BCBC于点于点E,E,过点过点D D作直线作直线DFBC.DFBC.世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)判断直线判断直线DFDF与与O O的位置关系的位置关系,并说明理由并说明理由;(2)(2)若若AB=6,AE=,CE=,AB=6,AE=,CE=,求求BDBD的长的长.【解析解析】(1)DF(1)DF与与O O
10、相切相切,理由理由:连接连接OD,OD,BACBAC的平分线交的平分线交O O于点于点D,BAD=CAD,D,BAD=CAD,ODBC,ODBC,DFBC,ODDF,DFDFBC,ODDF,DF与与O O相切相切.(2)BAD=CAD,ADB=C,(2)BAD=CAD,ADB=C,ABDAEC,ABDAEC,BD=.,BD=.考点三切线的性质与判定考点三切线的性质与判定【主干必备主干必备】1.1.切线的定义、性质与判定切线的定义、性质与判定(1)(1)定义定义:和圆有和圆有_公共点的直线公共点的直线.(2)(2)性质性质:圆的切线圆的切线_过切点的半径过切点的半径.唯一唯一 垂直于垂直于 (3
11、)(3)判定判定:经过半径的外端经过半径的外端,并且并且_于这条半于这条半径的直线是圆的切线径的直线是圆的切线.垂直垂直 2.2.切线长定理切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长它们的切线长_,_,这一点和圆心的连线这一点和圆心的连线_两条切两条切线的夹角线的夹角.相等相等 平分平分 【微点警示微点警示】(1)(1)注意性质与判定的区别注意性质与判定的区别:知切线推得知切线推得“垂直垂直”是性是性质质,知知“垂直垂直”推得切线是判定推得切线是判定.(2)(2)注意注意“切线长切线长”的含义的含义:圆的切线是直线圆的切线是直线,本无长度本无长度,“,“切
12、线长切线长”专指圆外一点和切点之间的线段的长度专指圆外一点和切点之间的线段的长度.【核心突破核心突破】例例3(20193(2019菏泽中考菏泽中考)如图如图,BC,BC是是O O的直径的直径,CE,CE是是O O的的弦弦,过点过点E E作作O O的切线的切线,交交CBCB的延长线于点的延长线于点G,G,过点过点B B作作BFGEBFGE于点于点F,F,交交CECE的延长线于点的延长线于点A.A.(1)(1)求证求证:ABG=2C.:ABG=2C.(2)(2)若若GF=3 ,GB=6,GF=3 ,GB=6,求求O O的半径的半径.【思路点拨思路点拨】(1)(1)连接连接OE,OE,根据切线的性质
13、得到根据切线的性质得到OEEG,OEEG,推出推出OEAB,OEAB,得到得到A=OEC,A=OEC,根据等腰三角形的性质得根据等腰三角形的性质得到到OEC=C,OEC=C,求得求得A=C,A=C,根据三角形的外角的性质根据三角形的外角的性质即可得到结论即可得到结论.(2)(2)根据勾股定理得到根据勾股定理得到BF=3,BF=3,根据相似三角根据相似三角形的性质即可得到结论形的性质即可得到结论.【自主解答自主解答】(1)(1)连接连接OE,OE,EGEG是是O O的切线的切线,OEEG,OEEG,BFGE,BFGE,OEAB,OEAB,A=OEC,A=OEC,OE=OC,OE=OC,OEC=C
14、,OEC=C,A=C,A=C,ABG=A+C,ABG=A+C,ABG=2C.ABG=2C.(2)(2)略略例例4 4【原型题原型题】(2019(2019凉山州中考凉山州中考)如图如图,点点D D是以是以ABAB为为直径的直径的O O上一点上一点,过点过点B B作作O O的切线的切线,交交ADAD的延长线于的延长线于点点C,EC,E是是BCBC的中点的中点,连接连接DEDE并延长与并延长与ABAB的延长线交于点的延长线交于点F.F.(1)(1)求证求证:DF:DF是是O O的切线的切线.(2)(2)若若OB=BF,EF=4,OB=BF,EF=4,求求ADAD的长的长.【自主解答自主解答】略略【变
15、形题变形题】(变换条件、结论变换条件、结论)如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,AB=AC,以以ABAB为直径为直径的的O O交交BCBC边于点边于点D,D,交交ACAC边于点边于点E.E.过点过点D D作作O O的切线的切线,交交ACAC于点于点F,F,交交ABAB的延长线于点的延长线于点G,G,连接连接DE.DE.(1)(1)求证求证:BD=CD.:BD=CD.(2)(2)若若G=40,G=40,求求AEDAED的度数的度数.【解析解析】(1)(1)连接连接AD,AD,ABAB为直径为直径,ADB=90,ADB=90,ADBC,ADBC,AB=AC,BD=CD.AB=AC,BD=C
16、D.(2)(2)略略【明明技法技法】与圆的切线有关的三种辅助线与圆的切线有关的三种辅助线(1)(1)若已知直线与圆相切若已知直线与圆相切,先连接圆心和切点先连接圆心和切点,根据切线根据切线性质得到直角性质得到直角,再作进一步的计算或推理再作进一步的计算或推理,可简述为可简述为:见见切线切线,连半径连半径,得垂直得垂直.(2)(2)若已知直线与圆的公共点若已知直线与圆的公共点,证该直线为圆的切线证该直线为圆的切线,则则采用判定定理法采用判定定理法,其基本思路是其基本思路是:当已知点在圆上时当已知点在圆上时,连连接过这点的半径接过这点的半径,证明这条半径与直线垂直即可证明这条半径与直线垂直即可,可
17、简可简述为述为:有公共点有公共点,连半径连半径,证垂直证垂直,得切线得切线.(3)(3)若未知直线与圆的交点若未知直线与圆的交点,证该直线为圆的切线证该直线为圆的切线,则采则采用数量关系法用数量关系法,其基本思路是其基本思路是:过圆心作直线的垂线段过圆心作直线的垂线段,证明垂线段的长等于圆的半径证明垂线段的长等于圆的半径,可简述为可简述为:无公共点无公共点,作作垂线垂线,证半径证半径,得切线得切线.【题组过关题组过关】1.(20191.(2019无锡中考无锡中考)如图如图,PA,PA是是O O的切线的切线,切点为切点为A,POA,PO的延长线交的延长线交O O于点于点B,B,若若P=40,P=
18、40,则则B B的度数为的度数为 ()B BA.20A.20B.25B.25C.40C.40D.50D.502.(20192.(2019石家庄市桥西区模拟石家庄市桥西区模拟)如图如图,AB,AB是是O O的直径的直径,点点P P是是O O外一点外一点,PO,PO交交O O于点于点C,C,连接连接BC,PA.BC,PA.若若P=P=40,40,当当B B等于等于_时时,PA,PA与与O O相切相切 世纪金世纪金榜导学号榜导学号()B BA.20A.20B.25B.25C.30C.30D.40D.403.(20193.(2019菏泽东明县模拟菏泽东明县模拟)如图如图,PA,PB,PA,PB切切O
19、O于点于点A,B,A,B,PA=10,CDPA=10,CD切切O O于点于点E,E,交交PA,PBPA,PB于于C,DC,D两点两点,则则PCDPCD的周的周长是长是()C CA.10A.10B.18B.18C.20C.20D.22D.224.(20194.(2019河南模拟河南模拟)如图如图,已知已知ABAB是是O O的直径的直径,AD,BD,AD,BD是半圆的弦是半圆的弦,PDA=PBD,BDE=60,PDA=PBD,BDE=60,若若PD=,PD=,则则PAPA的长为的长为_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号 1 1 5.(20195.(2019天水中考天水中考)如图如图,AB,AC,A
20、B,AC分别是分别是O O的直径和弦的直径和弦,ODAC,ODAC于点于点D.D.过点过点A A作作O O的切线与的切线与ODOD的延长线交于点的延长线交于点P,PC,ABP,PC,AB的延长线交于点的延长线交于点F.F.(1)(1)求证求证:PC:PC是是O O的切线的切线.(2)(2)若若ABC=60,AB=10,ABC=60,AB=10,求线段求线段CFCF的长的长.【解析解析】(1)(1)连接连接OC,OC,ODAC,ODODAC,OD经过圆心经过圆心O,O,AD=CD,PDAPDC,PA=PC.AD=CD,PDAPDC,PA=PC.在在OAPOAP和和OCPOCP中中,OAPOCP(
21、SSS),OCP=OAP.OAPOCP(SSS),OCP=OAP.PAPA是是O O的切线的切线,OAP=90,OAP=90,OCP=90,OCP=90,即即OCPC,OCPC,PCPC是是O O的切线的切线.(2)(2)略略考点四三角形的外接圆与内切圆考点四三角形的外接圆与内切圆【主干必备主干必备】外外接接圆圆定义定义:经过三角形的三个经过三角形的三个_的圆的圆.三角形的外心三角形的外心:三角形三角形_的圆心的圆心,是是三角形三条边的三角形三条边的_的交点的交点,到到三角形三角形_的距离相等的距离相等.顶点顶点 外接圆外接圆 垂直平分线垂直平分线 三个顶点三个顶点 内内切切圆圆定义定义:与三
22、角形各边都与三角形各边都_的圆的圆.三角形的内心三角形的内心:三角形三角形_的圆心的圆心,是是三角形三条三角形三条_的交点的交点,到三角形到三角形_的距离相等的距离相等.相切相切 内切圆内切圆 角平分线角平分线 三边三边 【微点警示微点警示】(1)(1)三角形外心与内心的位置三角形外心与内心的位置:锐角三角形的外心在其锐角三角形的外心在其内部内部,直角三角形的外心在其斜边上直角三角形的外心在其斜边上,钝角三角形的外钝角三角形的外心在其外部心在其外部;而任意三角形的内心都在其内部而任意三角形的内心都在其内部.(2)(2)等边三角形的外心与内心等边三角形的外心与内心:等边三角形的外接圆与等边三角形
23、的外接圆与内切圆是同心圆内切圆是同心圆,即等边三角形的外心与内心合二为一即等边三角形的外心与内心合二为一.【核心突破核心突破】例例5(20185(2018长沙中考长沙中考)如图如图,在在ABCABC中中,AD,AD是边是边BCBC上的上的中线中线,BAD=CAD,CEAD,CE,BAD=CAD,CEAD,CE交交BABA的延长线于点的延长线于点E,E,BC=8,AD=3.BC=8,AD=3.(1)(1)求求CECE的长的长.(2)(2)求证求证:ABC:ABC为等腰三角形为等腰三角形.(3)(3)求求ABCABC的外接圆圆心的外接圆圆心P P与内切圆圆心与内切圆圆心Q Q之间的距离之间的距离.
24、【思路点拨思路点拨】(1)(1)证明证明ADAD为为BCEBCE的中位线得到的中位线得到CE=2AD=6.CE=2AD=6.(2)(2)通过证明通过证明AC=AEAC=AE得到得到AB=AC.AB=AC.(3)(3)取取ABCABC的外心点的外心点P,P,内心点内心点Q,Q,连接连接BP,BQ,CQ,BP,BQ,CQ,先利用先利用勾股定理计算出勾股定理计算出AB=5,AB=5,设设P P的半径为的半径为R,QR,Q的半径为的半径为r,r,在在RtPBDRtPBD中利用勾股定理得到中利用勾股定理得到(R-3)(R-3)2 2+4+42 2=R=R2 2,解得解得R=,R=,则则PD=,PD=,再
25、利用面积法求出再利用面积法求出r=,r=,即即QD=,QD=,然后计算然后计算PD+QDPD+QD即可即可.【自主解答自主解答】略略 【明明技法技法】与三角形的外心与内心有关的解题技巧与三角形的外心与内心有关的解题技巧(1)(1)连接外心与三角形各顶点连接外心与三角形各顶点,可得等腰三角形可得等腰三角形.(2)(2)连接内心与三角形顶点的连线平分这个内角连接内心与三角形顶点的连线平分这个内角.【题组过关题组过关】1.(1.(易错警示题易错警示题)如图如图,点点I I是是ABCABC的内心的内心,若若AIB=AIB=125,125,则则C C等于等于()B BA.65A.65B.70B.70C.
26、75C.75D.80D.802.(20192.(2019荆门中考荆门中考)如图如图,ABC,ABC的内心为的内心为I,I,连接连接AIAI并并延长交延长交ABCABC的外接圆于的外接圆于D,D,则线段则线段DIDI与与DBDB的大小关系是的大小关系是世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A AA.DI=DBA.DI=DB B.DIDBB.DIDBC.DIDBC.DIDBD.D.不确定不确定3.(20193.(2019宿迁中考宿迁中考)直角三角形的两条直角边分别是直角三角形的两条直角边分别是5 5和和12,12,则它的内切圆半径为则它的内切圆半径为_._.世纪金榜导世纪金榜导学号学号 2 2 4.(2
27、0194.(2019荆门中考荆门中考)已知锐角已知锐角ABCABC的外接圆圆心为的外接圆圆心为O,O,半径为半径为R.R.(1)(1)求证求证:=2R.:=2R.(2)(2)若在若在ABCABC中中A=45,B=60,AC=,A=45,B=60,AC=,求求BCBC的长的长及及sin Csin C的值的值.【解析解析】(1)(1)连接连接AOAO并延长交圆于并延长交圆于D D点点,连接连接CD,CD,ADAD为直径为直径,ACD=90,ACD=90,且且ABC=ADC.ABC=ADC.在在RtACDRtACD中中sinABC=sinADC=,sinABC=sinADC=,=2R.=2R.(2)(2)由由(1)(1)知知 =2R,=2R,同理可得同理可得 =2R.2R=2,=2R.2R=2,BC=2RBC=2RsinBAC=2sin 45sinBAC=2sin 45=,=,如图如图,作作CEAB,CEAB,垂足为垂足为E,E,BE=BCBE=BCcos B=cos 60cos B=cos 60=,=,AE=ACAE=ACcos A=cos 45cos A=cos 45=,=,AB=AE+BE=AB=AE+BE=AB=2RAB=2RsinACB,sinACB=sinACB,sinACB=