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1、环节三 点到直线的距离公式【提出问题，探究公式】问题 1：如图，已知点00(,)P xy，直线:0(0,0)l AxByCAB，如何求P到直线l的距离？追问 1：如何求出|PQ的距离？答案：利用两点间距离公式，需要先求出 P，Q 点的坐标.其中，P 点坐标已知，因此只需求出点 Q 的坐标.追问 2：如何求出点Q的坐标？答案：点Q是直线l与垂线PQ的交点，所以联立两条直线方程求交点坐标.追问 3：如何求垂线PQ的方程？答案：已知一点00(,)P xy，再求出直线PQ的斜率，即可写出直线PQ的点斜式方程.追问 4：如何求垂线PQ的斜率？答案：垂线PQ与直线l垂直，直线l的斜率为AB，可得垂线PQ的
2、斜率BA.由此，求得垂线PQ方程为00()ByyxxA，整理得00BxAyBxAy.解方程组：000,(1).(2)AxByCBxAyBxAy 将（1）A+（2）B 得22200()0 ABxACAByB x，整理得20022B xAByACxAB.同理可得20022ABxA yBCyAB，则2200002222(,)B xAByACABxA yBCQABAB.利用两点间距离公式 22220000002222|()()B xAByACABxA yBCPQxyABAB，通分，原式2222000022 2()()()A xAByACABxB yBCAB 2222000022 2()()()AAxB
3、yCBAxByCAB 2220022 2()()()ABAxByCAB 0022|AxByCAB.由此，求得点 P 到直线 l 的距离0022|AxByCdAB.追问 5：如图，如果直线:0(0)l AxByCA平行于x轴，点00(,)P xy 到直线l的距离还满足上式吗？答案：此时，00(,)P xy到直线l的距离 00|ByCCdyBB,由0A，d也表示为0022|AxByCdAB.追问 6：如果直线:0(0)l AxByCB垂直于x轴，点00(,)P xy到直线l的距离还满足上式吗？答案：此时，00(,)P xy到直线l的距离00|AyCCdxAA，点到直线距离也可表示为0022|AxB
4、yCdAB.一般地，点00(,)P xy到直线:0l AxByC的距离：0022|AxByCdAB.【反思过程，简化方法】问题 2：上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思求解过程，你能发现引起复杂运算的原因吗?答案：原因在于，求出的点Q坐标比较复杂，再代入两点间距离公式造成了运算的复杂.追问 1：能否不求出Q的坐标，推得点到直线距离公式?答案：设(,)Q x y，观察两点间距离公式的结构2200|PQxxyy，能否从方程组中直接写出0 xx，0yy的表达式？由000(),AxByCByyxxA，得000000()()()(3)()()0,(4)A xxB yyAxByCB xxA yy，将(3
5、)、(4)两边分别平方后相加可得：22222220000()()()()()ABxxAByyAxByC，所以222000022()()()AxByCxxyyAB 从而，22000022|()()AxByCPQxxyyAB.追问 2：与第一种方法相比，第二种方法的计算量大大降低.能否概述简化运算的过程吗?答案：第二种方法的推导过程，实际上是从所求表达式的结构入手，虽然“设出”点 Q的坐标，但是并不求出点 Q 的坐标，通过整体代换简化了运算.“设而不求”和“整体代换”也是运算中十分常用的方法.【多方联系，探究新法】问题 3：向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离呢?
6、答案：如图，点到直线的距离|PQ是点与直线上所有点的距离中最短的.追问 1：点 P 与直线 l 上任一点所成向量与向量PQ有何关系呢？答案：设 M（x，y）是直线 l 上的任意一点，PQ是PM在直线PQ方向上的投影.|PQPMn，其中 n 是与直线 l 的方向向量垂直的单位向量.追问 2：如何用坐标表示向量 n?答案：因为直线:0l AxByC的斜率为AB，它的一个方向向量为(1,)AB，因此，由向量的数量积运算可求得与直线 l 垂直的一个方向向量为(1,)BA，由此，与直线 l 垂直的单位向量222(1,)11()BAABBABA，n 由此便可计算|PQ的长度.因为|PQPMn，其中00(,
7、)PMxxyy，所以|PQPMn00002222|()()|A xxB yyAxByAxByABAB(5)因为 M（x，y）在直线 l 上，则0AxByC.代入(5)式整理得0022|AxByCPQAB.问题 4：比较上述推导点到直线距离公式的“坐标法”和“向量法”两种方法，它们各有什么特点?答案：“坐标法”是通过寻找所求量的坐标表示，再经过一系列运算最终得到点到直线距离公式.坐标法运算量较大，所以我们还要寻求简化运算的方法.这里我们用到了设而不求，整体代换的手段.相比之下，“向量法”抓住了点到直线距离是点与直线上点的最短长度这一几何特征，借助投影向量、直线方向向量的概念，将向量用坐标表示，再
8、运算求解.这种方法体现了解析几何形与数、数与形的转化，技巧性强，但是大大降低了运算量.其实“向量法”只是用到了向量的壳，本质上还是在用点的坐标运算.我们不是常说解析几何就是用代数方法研究几何问题.这里的代数方法就是把图形放入坐标系中，用点的坐标来刻画图形间的关系，这是解析几何的本质.【分析结构，理解公式】问题 5：点到直线距离公式有什么结构特征？答案：公式的分子：保留直线方程一般式的结构，只是把 P 的坐标代入到了直线方程中，体现了公式与直线方程关系.特别地，如果 P 在直线上，点到直线的距离为 0，此时，式子中的分子为 0，整个式子也等于 0.运算结果与实际相符.这么一来，这个公式可以表示平
9、面内任一点到任一直线的距离.注意，因为所求的是距离，所以要加绝对值保证结果为正.【巩固应用，解决问题】例 1：求点(1,2)P 到直线:32lx 的距离.答案：教师引导学生先把直线的方程写成一般式，然后运用点到直线的距离公式求解，这是公式的直接应用进一步，引导学生通过画图或对直线方程的观察，发现方程表示的直线很特殊，因而可以直接运用横坐标差的绝对值求解 点 P0（-1，2）到直线 l：3x-2=0 的距离22|3(1)2|5330d.例 2 如图，已知ABC 的三个顶点分别是 A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求ABC 的面积 答案：如图，设边 AB 上的高为 h，则 SABC=12
10、|AB|h 22(3 1)(1 3)2 2AB 边 AB 上的高 h 就是点 C 到直线 AB 的距离 边 AB 所在直线 l 的方程为 311 33 1yx，即 x+y-4=0 故点 C（-1，0）到直线 l：x+y-4=0 的距离22|104|55 2=2211h.【回顾小结，提升认识】问题 6：你能写出点到直线的距离公式吗？这个公式如何证明？公式证明的三种方法各有特点，谈一谈你的体会？答案：“坐标法”是解析几何问题中最本质的方法，是通过点的坐标建立方程再计算获得结论.第二种“坐标法”采用了“设而不求”的想法，通过整体代换的思想简化了运算.“向量法”利用了投影向量的概念，借助向量运算获得点到直线距离公式.这个方法十分巧妙，大大降低了运算量，但是需要熟练使用向量的相关知识.除了这三种证明方法，你还有没有其他的想法？请同学们课后思考？