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1、高巾数学公式以及有关结论总结（理科江宜平总结高中数学常用公式及结论1 元素与集合的关系：xeAxECuA,xeCuA仲xEA.豆：，罕A骨A 2集合a，饨，的子集个数共有2”个；真子集有2”）个：非空子集有2”）个；非空的真子集有2”2个3二次函数的解析式的三种形式：(1)般式f(x)=ax2+bx+c（;t 0);(2）顶点式f(x）（x-h)2k（;t0);（当已知抛物线的顶点坐标价，k）时，设为此式(3）零点式f(x）（x-x1)(x-x2）（0);（当已知抛物线与x轴的交点坐标为（抖，0),(x2,0）时，设为此式(4）切线式：f(x)=a(x-x0)2+(kxd),(a c#O).（
2、当已知抛物线与直线y=kx+d相切且切点的横坐标为Xo时，设为此式4真值表：同真且真，同假或假5常见结论的否定形式；原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有（n-1）个小于不小子至多有n个至少有（n+l）个对所有x，成立存在某x，不成立p或qp且q对任何x，不成立存在某x，成立p且q才Y或q6四种命题的相互关系（下图）：原命题与逆否命题问真同假：逆命题与否命Jl2同真同假原命题长互逆命题着p则qq则p+;/)布.否逆否否命题/逆时若非p则非q互逆若非q 贝。非p充要条件：(1）、p今q，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件
3、：(2）、p今q，且q;=p，则P是q的充分不必要条件：(3）、p;=p，且q 辛 p，则P是q的必要不充分条件4、p;=p，且q*p，则P是q的既不充分又不必要条件。7函数单调性：均函数：（1）、文字描述是：y随x的增大而增大。(2）、数学符号表述是：设f（的 在xED上有定义，若对任意的抖，X2E D，且X1X1，都有f(x,)f(x2）成立，则就叫f(x）在xED上是减函数。D则就是f（川的递减区闷。单调性性质：(1)、均函数1！曾函数增函数：（2）、减函数减函数减函数(3）、均函数减函数增函数：（4）、减函数j曾函数减函数：注上述结；在中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个
4、函数定义峻的交绞。复合函数的单调性：面要E是调单调性内层函数外层函数复合函数等价关系：(1）设抖，X2e。，叫有那么（均与）（均）（与）O f(x1)-f（句）0:f(x）在，b上是增函数：X1-X2（叫X2）（均）（冯）Of(x1)-f（丙）f(x）在，b上是减函数X1-Xi 江宜平总结(2）设函数Y=f(x）在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x）为增函数：如果f(x)O平HxO平日xO上具有相反的单调区间奇偶函数间的关系z(1）、奇函数倘函数奇函数：(2）、奇函数奇函数偶函数：(3）、偶奇函数偶函数11尚函数：(4）、奇函数奇函数奇函数（也有例外得偶函数的(5）、倘函数土偶函数偶函数
5、：(6）、奇函数偶函数非奇非倘函数奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数(7）反函数的性质z互为反函数的两个函数的阁像关于直线y=x对称若函数y=J(x）与y=g(x）的 阁像关于直线y=x对称则函数y=f(2x）与y护（x）的阁像也关于直线y=x对称：2 江宜平总结9函数的周期性：定义：对函数f(x）.着存在T;,e O，使得f(x+T)=f（川，则就叫f（川是周期函数，其中，T是f(x)的一个周期。周期函数几种常见的表述形式2高巾数学公式以及有关结论总结（理科f(
6、x+m)=f(x+n），此时周期为2lm-nl:(1）、f(x+T)=-f（川，此时周期芳：12T:(2）、。(3）、f(x+1n），此时周期为2mf(x)(4）、若奇函数f(x）对定义域内任意x都有f(x)=f(2-x），贝。f(x）为周期函数。10常见函数的图像zJ La U Yi i阳Z阿f已l片。a I)旦1 1(2）=-:-=-;=(a O,n,n e N，且nl).亏”。”一(3)（）”,-,-ro(4）当n为奇数时，！；a：当n为偶数时，!;J”I-I-a a 0)(3）、a=（勺H(2）、。I（;eQ)指数性质：(1)I、“吁土r(5）、a=W(4）、旧（O,r,s e Q)指
7、数函数：y=a(aI）在定义i绞肉是单调递增函数：、BJl w指数虽盟国盘撞撞蓝点五旦l2y 可（OaI）在定义域内是单调i羞减函数。注：(2）、log.M-logn N=I也号(2）、3 log.M log.N=log.(11N)对数性质：、)-A(高巾数学公式以及有关结论总结（理科江宜平总结(3）、log.b=,n log.b(4）、log.桐b 立log.b”,11(5）、log.I=0(6）、log.I(7）、o,.b,（同。对数函数z(1）、y=log.x（1）在定义域内是单调递泊函数：(2）、y=log.x(O a O仲，XE(0,l）蚁。，x（l,+oo)心、log.xO，且1n
8、;cl,NO).log.，.对数恒等式：协g,N=N（0，且;cl,ll O).推论log b”主log.b(a 0，且;cl,N O).”,n 15对数的囚则运算法则：若aO,a,61,MO,NO，则川岛附Jog.M+Jog.N;(2)log.i=log.M-lo川J(3)log.M=n log.M(n e R);(4)log0M N 主log.N(n,111 e R).16平均增长率的问题负绵长时p11、m、p成等Lt.(2）、若川、柄，为等比数列，则a，鸟，）为等比数列b(l+b）”18分期付款（按揭贷款）：每次还款x一一一一一兀（贷款元，n次还消，每期利率为的(l+b)”-1 19三角
9、不等式：若x 咛），则sir以x tanx.仰着x e吟，则I.34向量的平行与垂直：设a（码，Y1)b（勺，Y2），且b*0，则zii i lb ba 仲x,yi-XiY,=O.C交叉相乘差为零al_b(li;tO）b=O件x,xi+Y1Y2=0.（对应相乘和为零江宜平总结35线段的定比分公式：设罚的，y，），乓（x2,y2),P(x,y）是线段P.J飞的分点，是实数，且/JiPP鸟，x-x,与-l一OP,+JR OP一一一一y且丛I+1 l 则P=t研（1-t）页（t一.1 36三角形的重心坐标公式：.ti.ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y.）、B(x2,y2）、C(x5,y5），则
10、.ti.ABCI+Xi+X3 Y,+Y2、J的重心的坐标是G（二千干一，一一一）37三角形五“心向量形式的充要条件：设。为MBC所在平面上一点，角A,B,C所对边分别为，b,c，则-2-2-2(1)0为MBC的外心仲OA=OB=OC.(2)0为MBC的重心。OA OBOC=O.(3)0为MBC的爱心中辛OAOB=OB OC=OC OA.。为MBC的内心。OA+bOB+cOC=0.(5)0为MBC的LA的旁心OA=bOB+cOC.38常用不等式：(1），beR 辛2+b2注2ab（当且仅当a=b时取“”号）(2)a,be R+：；，守主.jab（当ll-Ota=b时取斗）(3）3b3+c3 3a
11、bc(a O,b O,c 0).1-lbl豆 bl牛l+lbl,2b严a+b la2+b2(5）一一豆、ab三一一豆.，二L（当且仅当a=b时取“”号）b 2 V 2 39极值定理：已知x,y都是正数，则有(1）着积xy是定值p，则当x=y时和正 y有最小值2飞r;:7 高巾数学公式以及有关结论总结（理科若和y是定酌，则当x=y时们有最大值s1(3）已知。，b,X,y E r，者。x句l则有土土（旧by）（工工）b旦与b+2b=(.ti+$)2.x y x y x y(4）己知。，b,x,ye R，若旦主I则有x y x+y=(x+y）（生）b旦兰兰 b+2./ab=(.fa+$)2 x y
12、x y 江宜平总结40一元二次不等式创2+bxc O(!i)l O），如果与旧2+bx+c同号，贝。其解集在两根之外：如果与x2+bx+c异号，则其解集在两根之间简言之z同号两根之外，异号两根之间即：x1 xx2（x-x1)(x-Xi)O(x1 O(x,t.i).41含有绝对值的不等式：当a)0时，有lxl x2-aax2 a2。x或x.Y2-Yi X2-x,两点式的推广：(x2-x1)(y-y1)-(y2-y1)(x：，)=0（无侄何限制条件。(4）截距式主主l（、b分别为直线的横、纵截距，;cO、b;cO)。(5)-,ft式Ax+By+C=O（其中A、B不同时为0).直线血 By+C=O的
13、法向盘zl（A，的，方向向量：I 恨，A)43B.四种常用直线系方程(1）定点直线系方程z经过定点马（。，Yo）的直线系方程为y-y0=k(x-x0）（除直线x：o），及中k是待定的系数，经过定点凡（xo,Yo）的直线系方程为A(x与）B(y-y0)=0，其中A,B是待定的系数(2）共点直线系方程2经过两直线1:A1 x+B1y+C1=0,/2:AixB2y+C2=0的交点的直线系方程为(fix+B1 y+C1）（Aix乓y+C2)=0（除2），其中是待定的系数(3）平行直线系方程z直线y=lab中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程与直线缸 By+C=O平行的直线系方程是Ax+By0（
14、;c0），是参变量(4）垂直直线系方程2与直线Ax+By+C=O(A养0,B;=O）垂直的直线系方程是Bx-Ay0,是参变量44夹角公式：k,-k.(I)tan1-2.2.1.(/1:y 阳鸟，2:)=k2X鸟，k,k2*-1)l+k2k,8 高巾数学公式以及有关结论总结（理科江宜平总结AB.-AB _(2)tan4一一一一_.:l1.(1,:;x+B1 y+C1-0，儿：A1x+B 2yC2=0,A,Ai+B1B2;tO).AiA,B,B2 亘线川时，亘线阳45/1到12的角公式：。）tan主二5-叫：y=k1 x+b1,/2:y=k1x 鸟，k1k1I)I+k2k1 _AB-AB _(2)
15、tan；：；：；L叫A川B,y+C,-0,/2 AixB2y+C2=0,AiA2+B1B2;tQ).直线川时，直线础_1Ax0+By0+C J 46点到直线的距离：d-r-,:-,:（点P（岛，Yo），直线I:Ax+By+C=O).、IA+B 47圆的四种方程：(1）阔的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r1.(2）圆的一般方程x1+y1+Dx+Ey+F=0(D2+2-4FO).Ixrcos(3）圆的参数方程 y=b+rsin(4）圆的直径式方程。x,)(x吼叫y-y,)(Y-Y1)=0（圆的直径的端点是A（屿，y，）、B(x1,Y1).48点与阔的位置关系：点P(xo,Yo）与困（x ）2
16、+(y-b)=r2的位置关系有三种：着d=.J（旷（b-yof，则d r钟点P在团外；d=r；：；，点P在困上；d r；：；，相离；：；，ti 0;d=r；：；，相切；：；，ti=0;d 0.50两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为o仇，半径分别为r.,r.,I0102l=d，则：d 引几外离；：；，4条公切线；d 几件外切；：；，3条公切线；Ir,叶d门与中辛相交；：；，2条公切线；d=l1i 与内切；：；，1条公切线，。ciO）的参数方程是离心率e=-=/1号，LY=bsina y4 准线到中心的距离为主，焦点到对应准线的距离（焦准距）p主过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：2，巳
17、52椭圆；I（h明半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积：a D 9 高巾数学公式以及有关结论总结（理科江宜平总结。22 L只PFIP只巾丘）以，问I=ec一x）ex;s丰，.叫clypl=btan丁一c 53椭圆的的内外部：点P(x.b b 点P问Yo）在椭圆三f=l（bO）的外部牛牛l b b 54椭圆的切线方程：椭圆兰fi=t（bO）上一点P（刊比）处的切线方程是与乎l.。y(I y 过椭圆l+i1=1外一点P(xo,Yo）阳两制线的阳时酸苦古I.椭圆三l(a b 悄直线加By+C=O糊的条件是A2a2+B2b2=c2 0 2 v2 c I b2 55双曲线；千，=I（O,b 0）的离
18、心率e一,/1二亏，准线到中心的距离为一，焦点到对应。v-a V a-c 准线的距离（焦脏）p 主过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：2艺c a 焦半径公式叫Fil=l e 句.t:.F.PF 两焦半径与焦距构成三角形的面积S明护cot，56双曲线的方程与渐近线方程的关系：若双曲线方程为兰！渐近线方程：兰丘0仲Y UD a b x y-x2 y2(2）着渐近线方程为I土工x一士一0辛双曲线可设为气-:-,Gb b品(3）若双曲线与气告l有公共黝盹可设为毛丢ra 0，焦点在z轴上，0，焦点在y轴上焦点到渐近线的距离总是b.57双曲线的切线方程：（呻线二手I川bO)_t一点P问比）处的切线方程
19、是写书I.。YoY-J（川双曲线7-11=1外一点P(x0,Yo)JnlI两条铀的切点弦姆是7-IT-叫曲线二手I与直线缸中相切的条件是B2b2=c2 58抛物线y2=2px的焦半径公式：抛物线y2=2川（p峭半径ICFl=xo+f.过焦点弦长ICDI=x1 旦 x2主x,X2+p.2 2、b句4ac-b259二次函数y=ax+b.c（x）一一一一（;cO）的图象是抛物线24 10 高巾数学公式以及有关结论总结（理科b 4c-b2 b 4ac-b2+I(1）顶点坐标为（一，一一一一）；(2）焦点的坐标为（一，一一一一一）：2a 4a 24 4ac-b2-l(3）准线方程是y一；一一4 60直线
20、与圆锥幽线相交的弦长公式IABl=Jxi句)2+(y1-Y或IABI=l+k2）（乓x1)2-4x2叫斗叫x2I Ji士万古=Iy1-y2 1.J1+co内IY=kxb空弦端点A(X1,Y1),B（勺，Y2），由方程消去y得到ax+bx+c=O Fx,y)=0 川为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率，l俨与l=J(x1矿4川61证明直线与平面的平行的思考途径：(I）转化为直线与平面无公共点：(2）转化为线线平行；(3）转化为茵茵平行62证明直线与平面垂直的思考途径：(I）转化为该直线与平面内任一直线垂直：(2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；(3）转化为该直线与平面的条垂线平行；(4）转化为
21、该重线垂直于另一个平行平面63证明平面与平丽的垂直的思考途径：(I）转化为线面垂直：(2）转化为判断二面角是直二丽角：“共面向量定理向是p与两个不共线的向最a、b共丽的中中存在实加才 x,y，使p=ctxby.推论空间一点P位于平而MAB内的存在有序数对x,y，使MP=xMA+ylv!B,或对空间任一定J点0，有序3比数对x,y，使OP=OM+xMA+yA1B.江宜平总结65对空间任一点。丰口不共线的三点A、B、C，满足OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=k），则当k=l时，对于空间任一点0，总有P、A、B、C四点共而，当k;cl时，若Oe-f-而ABC，则P、A、B、C四点共而，若OE
22、平丽ABC，则P、A、B、C四点不共而A、8、C、D四点共而中辛AD与AB、AC共而AD=xAB+yAC OD=1-x-y)OA+xOB+yOC(0 岳平而ABC).66空间向量基本定理如果三个向最a、b、c不共丽，那么对空间任一向最p，存在一个唯一的有ff数组X,y,Z，使p=xa+yb+z 推论设0、A、B、C是不共丽的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序数卫，y,Z,使P=x百 yB+z已122.67A向量的直角坐标运算设a=（刊，饨，C13)b屿，鸟，b3）则(1)a+b衍，b.，2鸟，何b3);(2)a-b=（叫纠2-b2,a3-b3);(3）a=（力飞，例，）（R);(4)
23、a b血，b,2b2 3b3;123.设A问，YpZ1),B（勺，比，Z2），则AB=OB-OA=(x2-,t;,Y2-Y,Z2-z1)678空阔的线线平行或垂直II 高巾数学公式以及有关结论总结（理科设，二（构，Y2,Z2),b=（句，为，马）则x,x,;fib：！；，硝;tO):;,Yi Y,;z,z.,.a.lb辛今b=0辛辛x1x,+Y,Y,+z,z,=0.67C夹角公式设a=(a，饨，a3),b屿，鸟，b3），则l纠占句句cos(a,b=5可=:tr,;可可推论（a1b1龟鸟3b3)豆（a；。；）（时时b；），此即三维柯西不等式670四面体的对梭所成的角四面体ABCD中，AC与BD所
24、成的角为，则C心S I(AB CD2)-(BC2+DA2)I-2ACBD 67E异面直线所成角m4叫b)I coslco夺月刮出Zi 其中（0。至90。为异面崽线白，b所成角，a,b分别表示异面茸线。，b的方向向量67F直线AB与平面所成角AB1n一re sin-=-=-（”为平面的法向量）IABll,n l 江宜平总结67G着MBC所在平面若与过若AB的平面成的角，另两边AC,BC与平面成的角分别是矶、砚，A、8为MBC的两个内角，则sin2叫sin282=(sin2 A+sin2 B)siri2 B 特别地，当ACB=90。时，有sin2向sin2B与sin167H若MBC所在平面若与过若
25、AB的平面成的角，另两边AC,BC与平面成的角分别是l、风，A、8为MBO的两个内角，则tan向tan，=(s川AsinB)tan2 特别地，当AOB=90。时，有sin2向sin2e,=sin2 671二丽角的平面角m n-arccos或Jrrecos(111,n为平面，的法向量lnillnl lni llnl 67J三余弦定理设AC是内的任条直线，且BC”LAC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为风，AB与AC所成的角为饨，AO与AC所成的角为贝ucoscos叫cos2.67K三射线定理辛苦夹在平面角为伊的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是叭，矶，与二面角的梭所成12 高巾数学公
26、式以及有关结论总结（理科的角是0，则有sin2伊sin2 sin 2lsin 22-2 sin 81 sin2 cos伊l向iI三至18（吼2)（当且仅当9矿时等号成立）67L空间两点间的距离公式若A（构，Yi，与）,B(X2，为，Z2），则dAB=IABl=.J志事 jC-2-X1)2+(y2-Y1)2（马z,)2.67M点Q到直线l距离h 土、（Illbl)2-(ab)2（点P在直线l上，直线l的方向向量F月，向量b=PQ).I a I 江宜平总结67N异面线间的距离I CDn I d一气？一（I,/z是两异面直线，其公垂向量为fl.c、D分别是，,12上任一点，d为，,I 2间的距I n
27、.I 离）670点B到平面的距离IABn l-d一气一(n为平面的法向蠢，AB是经过面的一条斜线，Aeln l 67P.异面直线上两点距离公式d=./h2+1n2+n2丰21nncosd=.I仇，n.2+n.2-2,nncos（百万）d=h2+ni2+n.2-2mncosE-AA.-F).（两条异面直线a、b所成的角为0，其公垂线段AA.的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、P,AE=,n,AF=n.,EF=d).67Q三个向量和的平方公式（马吕c)2b+c2+2b+2bc2ca=a.2+b1+c1+21al lblcos(a,b)+21吕llclcos（叫21cl I豆Icos(c,a)6
28、7R长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，、12、儿，夹角分别为矶、2、的，则有t1=/12+if+I;cos1向cos2码cos2吼Isin2叫sin282+sin2向2.立体几何中长方体对角线长的公式是其特例141.面积射影定理S二cos（平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为）仰的半径是R，则其体和；川，照酥S时69A球的组合体z(1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长（纱球与正方体的组合体：正方体的内切球的重径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长（州与正
29、四面体的组合体：棱长加的正四团体的内切球的半径为主12./6 I./6./6 3（正四面体商一a的），外接球的半径为一a（正四面体高一a的）3 4 4 3 4 13 高巾数学公式以及有关结论总结（理科江宜平总结69B欧拉定理（欧校公式V+F-=2（简单多面体的顶点数V、棱数E和面数的(1)各丽多边形边数和的一半特别地，着每个面的边数为n的多边形，则丽数F与镀数E的关系：E；而；若每个顶翩翩翩为m，则顶点数V与棚E的关系：E=1n.V.70分类计数原理（加法原理）：N 叫叫rn,.分$计数原理（乘法原理）：N=1n.1叫叫n!71排列数公式：J可叫n-1)(n-111+I）一一一一.（n,neN
30、气且，n:s;n）.规定。！1.(n-,n)!m呻1-J)(n-m+I)11!72组合数公式：C二！，=一一一一一一（net(,n1eN，且，n:s;n).A;I2x xm rn!(n-rn)!组合数的两个性质：（1）巧c：；”；（2)C;+c;,_1=c;:1.规定ci=1.73单条件排列以下备条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列(I）“在位与“不在位”某特元必在某位有4；二种：某特元不在某位有A;；”A;：I（补集思想）=A.-1 A;I（着眼位置）=A；二A,:,_,A:I（着眼元素种(2）紧贴与插空（即相邻与不相邻定位紧贴zk(k:s;ni:s;11）个元在固定位的排列有碍A;：k
31、种愣动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有A;；：，乓种注：此类问题常用捆绑法；插空3两组元素分别有k、h个（k:s;h+l），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有心Ai，种(3）两组元素备相同的插空m个大球n个小球排成一列，小球必分开，间有多少种排法？当nm+l时珊；当山1时有专！.=c;.+I种封陆(4）两组相同元素的排列z两组元素有m个和Jl个，各组元素分别相同的排列数为c:.+.74分配问题(I)（平均分组有归属问题）将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有、，Jmmn叶，(-(=C C C c c-N(2)（平均分组无归属问题）将
32、相异的，n n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有N=c;:,c:;111_,c:;111_2,.C:”,c:_J旦L.mm!(n!)”(3)（非平均分组有归属问题）将相异的P(P=n,+n2n，）个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到叫，吧，n.，件，且n，12，儿，这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有nl”1 V=s;.哈呵咛m飞币百万(4)（非完全平均分组有归属问题）将相异的P(P=n,+n2+n.）个物体分给m个人，物件必须被分究，分别得到111112，n.，件，且11，”12，n.，这，n.个数中分别有a、b、c、个相等，则其分14 高巾数学公式以及有关结论总结（
33、理科江宜平总结C叫C町.c:,n!_ p!11i!配方法数有N=,-I 一一一一一一a!b!c!.111!112!.11.,.!(a!b!c!.)(5)（非平均分组无归属问题J将相异的P(P=n1+n2n.）个物体分为任意的叭吨，F勺，件p!无记号的m堆，且叭，吧，n”这m个数彼此不相等，则其分配方法数有N一一一叫！1i!.n,!(6)（非完全平均分组无归属问题）将相异的P(P=n1+n1n.）个物体分为任意的n，吧，n件无记号的m雄，且叫，12，n”这m个数中分别有a、b、c、个相等，则其分配方法数有N=p!111!n2!.11,!（！b!c!.)(7)（限定分组有归属问题）将相异的p(p，
34、俨112+.+,i”个物体分给甲、乙、丙，.等，n个人，物体必须被分完，如果指定甲得11，件，乙得112件，丙得113件，时，则无论叫，12，叭，等m个数是否金相异或不金相异其分配方法数恒有N=C”.C.,.c =！一p，叫，叫！112!.11.,.!.75 错位问题n及其推广贝努利装错笼问题：信n封信与n个信封全部错位的组合数为l I I.f(n)=n！一一一（）”.2!34!11!推广：n个元素与n个位置，其中至少有，n个元素错位的不同组合总数为f(n,m.)=n!-C,.,(n-1)!C,!(n-2)!-C,;,(n-3）！C,;,(n-4)!-+(-J)P C,(11-p)!+.+(-
35、)”c;(n-,n)!c c2 C3 c c/J c=n!l手一号一子于.+(-1)二十.+(-1）”一号A,.A,.A,.A,7 A,;A;76.二项式定理（b)=c,a+c；，b+C；川b2+C；，二项展开式的通项公式T,.,=C；”b(r=0,1,2,n).77等可能性事件的概率P(A）主n 78.互斥事件A,B分别发生的概率的和P(A+B):p(A)+P(B).79.n个互斥事件分别发生的概率的和PA1+Az+An)=P(A1)+P(Az)+P(An).79独立事件A,B同时发生的概率p(A B)=p(A)p(B).BOA.n个独立事件同时发生的概率P(A1.Az An)=P(A1)P
36、(Az).P(An).808.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率坷，（k)=c,:pt(1-P）川soc.离散型随机变量的分布列的两个性质(1)P;注O(i=1,2,.);(2）罚乓.=I.15 SOD.数学期望E占x1坷句乓乓十SOE.数学期望的性质(1)E(a4+b)=aE（占）b.高巾数学公式以及有关结论总结（理科(2）若苦B(n,p），则E占 叩(3)若4Jlll从几何分布，且P（占 k)=g(k,p)=qk-lp，则E4工p 801.方差D;=(x1-E，在)2.Pi（x2-E占）2 P2（与，；)2.丸，8盹标准差占2乒Z80H.方室主的性质(1)D（呼b）2D;,(2）着
37、占B(n,p），则D;=np(I-p).(3）轩服从几何分布，且P（占 k)=g(k,p)=qk-lp，则D;=.!.,.p 80！.方差与期望的关系D在;2-(E;)2.80.正态分布密度函数，（叫f江宜平总结f(x）亏e寸，XE(-oo,;-I.)），式中的实扣，、Ltr6（）0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差SOK.标准正态分布密度函数！（吵古士6忡忡，向）、IL.1t0 SOL.对于N巾，勺，取值小于z的概率巾）（子）P(x1 x0 x2)=P(x x2)-P(x x1)=F（）F(x1)i主二丘llx.-JI l.1J 飞l801,1.回归直线方程i(x;-x)(Y;-y)ix
38、;Y;-nx y I,-;_I-y 缸，其中i主（将 x)2主x/-nx2 y-bx SON.相关系数16 高巾数学公式以及有关结论总结（理科江宜平总结三（耳，x)(Y;-y)三（x;-x)(Y;歹）r=;_,立的王)1L(Y;-y/(I:x/-nx2)(I:y/-ny2)lrl运1，且IrI越接近于1，相关程度越大：IrI越接近于0，相关程度越小800.特殊数列的极限。(1)Ii叫 1 不存在I q I I q=I I q I 1或q=-)。(k t)i I-a I n(3)S=li1n二午斗三乒（S无穷等比数列jl旷叫(lqll）的和问m1-q 1-q、，SOP.函数的极限定程Jim/(x
39、)仲li1n f(x)=lim f(x)x.,.SOQ.函数的夹道性定理如果函数你）,g(x),h(x）在点Xo的附近满足：(1)g(x)s;,f(x)s;,h(x);(2)lin1 g(x)，lim h(x)常数，.,.、.，.句则limf(x)z 本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立SOR.几个常用极限(1)li1n.!.=0,li1n”0(IIO，右侧f（x)0，则f(xu）是极大值；(2）如果在Xo附近的左侧f(x)0，则f(xo）是极小值85复数的相等：bi=c+di仲 c,b=d.（，b,c,deR)86复数z仇的模（或绝对值）I z l=Ibi I占可？87复平面上的两点间的距离
40、公式sd斗z2I仄可G(y2-y,)2问X 1+y1 i,Z2=X2+）88实系数一元二次方程的解实系数元二次方程ax2+bx+c=0,-b Jb-4c 若D.=b 伽0，则U x,.2=Ta 若A斗4阳0，则叫 乓去；若D.=b2-4ac0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共领复数很-b J-(b2-4ac)i,x=二（b-4ac 0)18 高巾数学公式以及有关结论总结（理科江宜平总结高中数学公式提升一、集合、简易逻镜、函数1.研究集合必须注意集合元素的特征即三位（确定，互异，无序），已知集会A位，巧，lgxy），集合B=O,I x I,y），且A=B，则x+y=2.研究集
41、合，首先必须弄消代表元素，才能理解集合的意义。已知集合性yI y=x2,x邸，N=yI y=x合刊，x邸，求MnN：与集合性(x,y)I y=x2,xER).N=(x,y)I y=x+l,xER求MnNBtJ区别。3.集会A、B,Ar飞B时，你是否注意到“极端”情况：A=0或B：求集合的子集A罕BH于是否忘记例如：（a-2)x22（2)x-10对一切xeR恒成立，求a的取植范围，你讨论了a=2的情况了吗？4.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子、非空真子簇的个数依次为2,2”-1,2”-1,2”2.如满足条件I旦!V J c 1,2,3,4）的集合，JI共有多少个5.解集合问题
42、的基本工具是韦恩民，某文艺小组共有10名成员，每人至少会l唱歌和跳舞中的一项，其中7人会唱歌跳舞5人会，现从中选出会唱歌手日会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目，问有多少种不同的j在法？6.两集合之间的关系M 中2k叶，keZ),N=.ilx收到，k eZ)7.(C,A）门（C,B)=C,(AU B)(C,A）（C,B)=C o(An B):An B=B 今8旦A:8、可以判断真假的i句叫做命题逆岛连接词有“或”、“且”和“非p、q形式的复合命题的真值表（真旦真，同假或假p 真冀，假假9、命题的四种形式及旦旦旦主至二原命题若p则q互否否命题着p则qQ 真假真假互 1王否P且q真假院段逆互
43、/l 11 逆逆否19 P或q真真真假逆命题着q911 p 逆否命题着q911P高巾数学公式以及有关结论总结（理科江宜平总结否互逆顾命题与逆否命题同真阿假：逆命题与否命题间真同假10、你对映射的概念了解了吗。映射fAB中，A中元素的任意性和B中与它对元素的唯一性，哪几种对0能够成映射？11、函数的几个重要性质：如果函数Y=f(x）对于一切xeR，都有f（x)=f（x）或f(2a-x)=f(x），那么函数Y=f(x）的国象关于直线X。对称函数y=J(x）与函数y=f(-x）的怪象关于直线x=O对称：函数y=J(x）与函数y=-f(x）的医象关于直线y=O对称：函数y=J(x）与函数y=-J(-x
44、）的国象关于坐标版点对称若奇函数Y=f(x）在区间。，向）上是递增函数，则y=J(x）在区间（功，o）上也是递增函数若倘函数Y=f(x）在区间（o，叫上是涵泊函数，则y=J(x）在区间（吨。）上是递减函数函数y=J(x）（。）的阁象是把函数y=J(x）的医l象沿x斗；由l句古JZ移a个单位得到的：函数Y=f(x）（a-a O.，求函数F(x)=J(x)+J(-x）的定义域14、一个函数的奇倘性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件丁吗？在公共定义域内两个奇函数的乘积是偶函数；两个倘函数的乘4只是倘函数；一个奇函数与一个倘函数的乘积是奇函数，15、报定义证明函数的单调性时，规
45、范格式是什么？（取值，作差，如l正负）可另！：忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法陈函数户x旦（o）的单调区间吗？（该函数在（，-FaJ和l月）上单iJ脚：在l-Fa）x 和（o.J上单附减）这可是一个应用广泛的函数！17、函数问题时，你注意到冀，数与底数的限制条件了吗？（真数大于主章，底数大于零且不等于1）字句底数还需讨论呀18、换底公式及它的变形，仰、掌握了吗？Jog b(log0 b 一_.E._:_,Jogn.b=logo b)loge a 19、你还记得对数恒等式吗？（问b=b)20、“实系数一元二次方程。X2+bx+c=0有实数解”转化为“tl=b2-4ac注。”，你是否注意到
46、l必须，0：当a=O时方程有解”不能转化为tl=b2-4ac注0.着原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？二、三角、不等式21、三角公式记住了吗？两角和与差的公式:二倍角公式：解题时本着“三看”的基本原则来进行：“看角，看函数，看特征”，基本的技巧有巧变角，公式变形使用，化切割为弦，用俗角公式将高次降次，22、在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义峻了吗？正切函数在整个定义域内是否为单i凋函数？你注意到正弦函数、余钱函数的有界性了吗？23、在三角中，你知道l等于什么吗9(I=sin 2 x+cos2 x=sec2 x-tan 2 x 20
47、高巾数学公式以及有关结论总结（理科江宜平总结=tan x cotx=tan主sin主cosO=这些统称为1的代换）常数“l”的种种代换有着广4 2 泛的应用。还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系，诱导公试奋变偶不变，符号看象限24、在三角 的恒等变形中，要特别注意角的各种变换（如（），（），1 一一一一1-1一等l 2 J l 2 J 25、你还记得三角化简趣的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分用；不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出债来）2略、你还记得三角化简的i应性通法吗？（切割化弦、降2在公式、用三角公式转化出现特殊角异角化同角，异名化同名，高次化低称：你还记得降蒋
48、公式吗？c。sx=(1 tcos2x)/2;sinx=(1-c。s2x)/2 27、你还记得某些特殊角的三角函数值吗？J6-Fi.。J6+Fi。.JS-I(sm 15。cos75。一一一一一.sm75。cos IS 一一一一一sin 18 一一一一）4 4 4 低你还记得在弧脚下弧长公式和扇形而积公式吗？ct=IIr，讪1lr)29、铺助角公式：sinx+bcosx币可i7sin(x）（其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值由tan主确定）征求最值、化简时起着重要作用 30、三角函数（正弦、余弦、正切）阁象的革倒能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，I&最值时的x值的集合吗？（别忘了k
49、eZ)三角函数性质要记牢。函数y=Asin(co x）k的阁象及性质j来幅IAI，周期T生，辛苦肉。为此函数的对称辙，则x,:lildi!.y取到最值的点，反之列、然，使y取到 最佳的x的集合为一一一一，当co0,A 0时函数的增区闷为一一一一一减区间为当coO,dO，解不等式组an二主oan+l运。可得Sn达最大假时的n的值，当a1O，解不等式组an运Oan+l；，均可得Sn达最小值时的n的值；（5）.若an,bn是等差数列，SnTn分另1；句句，bn的前n项平日，贝4挚！.（的着a）是等差数列，YJI a）是等比数列，若。，是等比数列且。”0，则问川。”2m-l是等差数列43、等比数列中的
50、重要性质：（1）若1n+n=p+q，则川a.,=a,句：（2）人，S2k-S k S Jk-S 2k 成等监数列44、你是否注意ilJ在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论.(q=I时，S,=na1:q#l 时，S-a,(1-q勺）”1-q 45、等比数列的一个求和公式：设等U；彻忡，的前n项利为孔，公比共q l,i!I S,.+.=S,.+q”s,.46、等差数列的一个性质：设s，是数列札的前n项乎日，札为等差数列的充要条f牛是S.,=an2+bn(a,b为常数）其公差是2a.47、你知道怎俘的彻附利时要用“铺位相盼法吗？若c,占，其中卡”是等差数列，如，j是等比数列，求仨，的前n项的和）