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1、 环节二 双曲线的简单几何性质【引入新课】复习：双曲线的概念及双曲线的标准方程 1.双曲线的概念 一般地，我们把与平面内两个定点12,F F的距离之差的绝对值等于非零常数（小于12F F）的点的轨迹叫做双曲线 2.双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 22221(0,0)xyabab 22221(0,0)yxabab 焦点坐标 1(,0)Fc，2(,0)F c 1(0,)Fc，2(0,)Fc 思考：类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线22221(0,0)xyabab 的哪些几何性质呢？【探究新知】问题:如何研究双曲线的几何性质？答案：类比椭圆几何性质的研究方
2、法，对双曲线22221(0,0)xyabab的几何性质进 行研究（分别从“形”的角度和“数”的角度分析）追问 1：你能从两个角度分析双曲线22221xyab的范围吗？答案：“形”的角度：观察双曲线22221xyab，可以直观发现双曲线上的点(,)x y的横坐标的范围是xa，或xa，纵坐标的范围是yR “数”的角度：根据方程22221xyab，得到222211xyab，所以xa，或xa；yR 由(,)x y的范围，可以发现双曲线不是封闭的曲线双曲线位于直线xa及其左侧，以及直线xa及其右侧的区域，并且两支都向外无限延伸 追问 2：你能从两个角度分析双曲线22221xyab的对称性吗？答案：“形”
3、的角度：双曲线既关于坐标轴对称，又关于原点对称“数”的角度：用x代x，y代y，方程的形式不变，所以双曲线关于坐标轴、原点对称 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心 追问 3：你能从两个角度分析双曲线22221xyab的顶点吗？答案：“形”的角度：从图形直观上可以发现双曲线与x轴有两个交点1(,0)Aa和 2(,0)A a，与y轴没有公共点这与椭圆不同“数”的角度：令0y，得xa或xa，所以1(,0)Aa和2(,0)A a，令0 x,22yb，没有实数解 追问 4：能否类比椭圆把1(0,)Bb和2(0,)Bb两点画在 y 轴上？线段12B B有何几何意义？答案：线段12B B称为双曲线的虚轴，22A
4、 OB是直角三角形，且2OAa，22A Bc，2OBb，线段12A A叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段12B B叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长并且在后面渐近线的研究中就要用到它 追问 5：在双曲线22194xy右支上找一点M，测量点M的横坐标Mx以及它到直线032xy的距离 d，向右拖动点M，观察Mx与 d 的大小关系，你发现了什么？答案：通过几何画板软件作图，在向右拖动点M时，点M的横坐标Mx越来越大，d越来越小，但是d始终不等于0 实际上，经过两点A1，A2作y轴的平行线x3，经过两点B1，B2作x轴的平行线y2，四条直线围成一个矩形
5、，矩形的两条对角线所在直线的方程是032xy 可以发现，双曲线22194xy的两支向外延伸时，与两条直线032xy逐渐接近，但永远不相交 一般地，双曲线22221xyab（0a,0b）的两支向外延伸时，与两条直线0 xyab逐 渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质 利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能较为精确地画出它的图形 追问 6：已知双曲线方程22221xyab(0a,0b)，如何求其渐近线方程？答案：对于双曲线22221xyab（0a,0b），令22
6、220 xyab，得双曲线的渐近线方程为byxa.追问 7：在双曲线方程22221xyab（0a,0b）中，如果ab，渐近线是什么？答案：此时方程变为222xya，双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a这时，四条直线xa，ya围成正方形，渐近线方程为yx，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 追问 8：双曲线的离心率是什么？答案：与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比ca，叫做双曲线的离心率 因为0，所以双曲线的离心率1cea 追问 9：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？类比椭圆的离心率，我们猜想双曲线的离心率刻
7、画的也是某种“扁平程度”答案：由21bea 可知，当e逐渐增大时，ba逐渐增大，即双曲线的渐近线byxa 的斜率逐渐增大，此时双曲线的“张口”逐渐增大，反之也成立此时的“扁平程度”描述的是双曲线的“张口大小”因此，双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小 追问10：类比焦点在轴上的双曲线的简单几何性质，你能写出焦点在y轴上的双曲线22221(0,0)yxabab的简单几何性质吗？22221xyab(0a,0b)22221(0,0)yxabab 范围 xa，xa；yR ya，ya；xR 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：坐标原点 对称轴：坐标轴 对称中心：坐标原点 顶点(,0)a，(,0)a(0
8、)a，(0)a，渐近线 byxa ayxb 离心率,(1)ceea,(1)ceea【知识应用】例1 求双曲线22916144yx的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程 解：把双曲线的方程22916144yx化为标准方程 2222143yx.由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3；2222435cab，焦点坐标是(0,5)，(0,5)；离心率54cea；渐近线方程为43yx 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8；（2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长是8 解：（1）设双曲线方程为 22221,(0,0)xyabab，由题意可知，5,4ab所以双曲线方程为：2212516xy （2）设双曲线方程为 22221,(0,0)yxabab，由题意可知，5,4cb所以3a，双曲线方程为：221916yx