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1、 圆锥曲线单元测试题 Last revision on 21 December 2020 圆锥曲线单元测试题 班级 姓名 学号 分数 第卷(选择题 共 60分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、若双曲线x2a2y2b21 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()B5 D2 2、圆锥曲线y29x2a81 的离心率 e12，则 a 的值为()A4 B54 C4 或54 D以上均不正确 3、以椭圆的右焦点 F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点 M、N，椭圆的左焦点为 F1，且直线 MF1与此
2、圆相切，则椭圆的离心率 e 为()1 B2 3 4、已知双曲线x2a21y2b21 与椭圆x2a22y2b21 的离心率互为倒数，其中 a10，a2b0，那么以 a1、a2、b 为边长的三角形是()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 5、设椭圆x2m2y2n21(m0，n0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点相同，离心率为12，则此椭 圆的方程为()y2161 y2121 y2641 y2481 6、已知椭圆 E：x2my241，对于任意实数 k，下列直线被椭圆 E 截得的弦长与l：ykx1 被椭圆 E 截得的弦长不可能相等的是()Akxyk0 Bkxy10 Ckxyk0
3、Dkxy20 7、过双曲线 M：x2y2b21 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l，若 l 与双曲线 M 的两条渐近线 分别相交于点 B、C，且|AB|BC|，则双曲线 M 的离心率是()8、设直线 l：2xy20 关于原点对称的直线为 l，若 l与椭圆 x2y241的交点为 A、B，点 P 为椭圆上的动点，则使PAB 的面积为12的点 P 的个数为()A1 B2 C3 D4 9、设 F1、F2分别是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，与直线 yb 相切的F2交椭圆于 点 E，且 E 是直线 EF1与F2的切点，则椭圆的离心率为()1 10、如图所示，从双曲线x2a2y2b21(
4、a0，b0)的左 焦 点F 引 圆 x2y2a2的切线，切点为 T，延长 FT 交双曲 线 右支于 P 点，若 M 为线段 FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO|MT|与 ba 的大小关系为()A|MO|MT|ba B|MO|MT|ba C|MO|MT|b0)的离心率为22，过原点 O 斜率为 1 的直线与椭圆 C 相交于 M，N 两点，椭圆右焦点 F 到直线 l 的距离为 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是椭圆上异于 M，N 外的一点，当直线 PM，PN 的斜率存在且不为零时，记直 线 PM 的斜率为 k1，直线 PN 的斜率为 k2，试探究 k1k2是否为定值若是，求出定值；
5、若不是，说明理由 19、过点 M(1,1)作直线与抛物线 x22y 交于 A、B 两点，该抛物线在 A、B 两点处的两条切 线交于点 P.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)求ABP 的面积的最小值 20、已知菱形 ABCD 的顶点 A，C 在椭圆 x23y2 4上，对 角线 BD 所在直线的斜率为 1.(1)当直线 BD 过点(0,1)时，求直线 AC 的方程；(2)当ABC60时，求菱形 ABCD面积的最大值 x2a221、如图，在由圆 O：x2y21 和椭圆 C：y21(a1)构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率 为63，直线l 与圆 O 相切于点 M，与椭圆 C 相交于两点 A，B.(
6、1)求椭圆 C 的方程；(2)是否存在直线 l，使得OAOB12OM2，若存在，求此时直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 22、已知椭圆的两个焦点 F1(3，0)，F2(3，0)，过 F1且与坐标轴不平行的直线 l1与椭圆 相交于 M，N 两点，如果MNF2的周长等于 8.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线 l 与椭圆交于不同两点 P、Q，试问在 x 轴上是否存在定点E(m,0)，使PEQE恒为定值若存在，求出 E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由 圆锥曲线单元测试题答案 一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A B B D
7、D B A B D D 二、填空题：13、x22y21 14、12 15、30 16、三、解答题：17、解析(1)设 C、D 点坐标分别为 C(x0，y0)，D(x，y)，则AC(x02，y0)，AB(4,0)，则ABAC(x06，y0)，故AD12(ABAC)x023，y02.又AD(x2，y)，故 x023x2，y02y.解得 x02x2，y02y.代入|AC|x022y202 得 x2y21，即为所求点 D 的轨迹 E 的方程(2)易知直线 l 与 x 轴不垂直，设直线 l 的方程为 yk(x2)又设椭圆方程为x2a2y2a241(a24)因为直线 l 与圆 x2y21 相切，故|2k|
8、k211，解得 k213.将代入整理得(a2k2a24)x24a2k2x4a2k2a44a20，而 k213，即(a23)x2a2x34a44a20，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2a2a23.由题意有a2a23245，求得 a28.经检验，此时 0.故所求的椭圆方程为x28y241.18、解析(1)设椭圆的焦距为 2c(c0)，焦点 F(c,0)，直线 l：xy0，F 到 l 的距离为|c|2 2，解得 c2，又eca22，a2 2，b2.椭圆 C 的方程为x28y241.(2)由 x28y241，yx，解得 xy2 63，或 xy2 63，不妨设 M2 63，2 63，
9、N2 63，2 63，P(x，y)，kPMkPNy2 63x2 63y2 63x2 63y283x283，由x28y241，即 x282y2，代入化简得 k1k2kPMkPN12为定值 19、解析(1)设直线 AB方程为 yk(x1)1，代入 x22y 中得，x22kx2k20 其中(2k)24(2k2)4(k1)210 记 Ax1，x212，Bx2，x222，则 x1x22k，x1x22k2.对 yx22求导得，yx 则切线 PA 的方程为 yx1(xx1)x212，即 yx1xx212 同理，切线 PB 的方程为 yx2xx222 由、两式得点 P 的坐标为x1x22，x1x22，于是得
10、P(k，k1)，设 P(x，y)，则 xkyk1，消去参数 k，得点 P 的轨迹方程为 xy10.(2)由(1)知|AB|1k2|x1x2|1k2x1x224x1x2 2 1k2k22k2.点 P 到直线 AB的距离 d|kk11k1|1k2k22k21k2 ABC的面积 S12|AB|d(k22k2)32(k1)2132.当 k1 时，S 有最小值 1.20、解析(1)由题意得直线 BD 的方程为 yx1.因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD.于是可设直线 AC 的方程为 yxn.由 x23y24，yxn得 4x26nx3n240.因为 A，C 在椭圆上，所以 12n2640，解得4
11、 33n4 33.设 A，C 两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1x23n2，x1x23n244，y1x1n，y2x2n.所以 y1y2n2，所以 AC的中点坐标为3n4，n4.由四边形 ABCD为菱形可知，点3n4，n4在直线 yx1 上，所以n43n41，解得 n2.所以直线 AC的方程为 yx2，即 xy20.(2)因为四边形 ABCD 为菱形，且ABC60，所以|AB|BC|CA|.所以菱形 ABCD的面积 S32|AC|2.由(1)可得|AC|2(x1x2)2(y1y2)23n2162，所以 S34(3n216)4 33n4 33.所以当 n0 时，菱形 ABCD的
12、面积取得最大值 4 3.21、解析(1)eca63，c2a21，23a21a2，解得：a23，所以所求椭圆 C 的方程为x23y21.(2)假设存在直线 l，使得OAOB12OM2 易得当直线 l 垂直于 x 轴时，不符合题意，故设直线 l 方程为 ykxb，由直线 l 与圆 O 相切可得，b2k21 把直线 ykxb 代入椭圆 C：x23y21 中，整理得：(13k2)x26kbx3b230 则 x1x26kb13k2，x1x23b2313k2，OAOBx1x2y1y2x1x2(kx1b)(kx2b)(1k2)x1x2kb(x1x2)b2(1k2)3b2313k26k2b213k2b24b2
13、3k2313k212 由两式得 k21，b22，故存在直线 l，其方程为 yx 2.22、解析(1)由题意知 c 3，4a8，a2，b1，椭圆的方程为x24y21.(2)当直线 l 的斜率存在时，设其斜率为 k，则 l 的方程为 yk(x1)，由 x24y21ykx1消去 y 得(4k21)x28k2x4k240，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)则由韦达定理得 x1x28k24k21，x1x24k244k21，则PE(mx1，y1)，QE(mx2，y2)，PEQE(mx1)(mx2)y1y2 m2m(x1x2)x1x2y1y2 m2m(x1x2)x1x2k2(x11)(x21)m28k2m4k214k244k21k24k244k218k24k211 4m28m1k2m244k21 要使上式为定值须4m28m1m2441，解得 m178，PEQE为定值3364，当直线 l 的斜率不存在时 P1，32，Q1，32，由 E178，0 可得PE98，32，QE98，32，PEQE8164343364，综上所述当 E178，0 时，PEQE为定值3364.