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1、学案 11 函数与方程 导学目标：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会推断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.依据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值 自主梳理 1函数零点的定义(1)对于函数 yf(x)(xD)，把使_成立的实数 x 叫做函数 yf(x)(xD)的零点(2)方程 f(x)0 有实根函数 yf(x)的图象与_有交点函数 yf(x)有_ 2函数零点的判定 假如函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数 yf(x)在区间_内有零点，即存在 c(a，b)，使得_，这个_也就是 f(x)0 的根我们不妨把这一结论称为零点
2、存在性定理 3二次函数 yax2bxc(a0)的图象与零点的关系 0 0 0)的图象 与 x 轴的交点 _，_ _ 无交点 零点个数 _ _ _ 4.用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间a，b，验证_，给定精确度；其次步，求区间(a，b)的中点 c；第三步，计算_：若_，则 c 就是函数的零点；若_，则令 bc此时零点 x0(a，c)；若_，则令 ac此时零点 x0(c，b)；第四步，推断是否达到精确度：即若|ab|0的零点个数为 ()A0 B1 C2 D3 2若函数 yf(x)在 R 上递增，则函数 yf(x)的零点 ()A至少有一个 B至多有一个 C有且只有一个 D可
3、能有很多个 3如图所示的函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()A B C D 4设 f(x)3x3x8，用二分法求方程 3x3x80 在 x(1,2)内近似解的过程中得 f(1)0，f(1.25)0，则方程的根所在的区间是 ()A(1,1.25)B(1.25,1.5)C(1.5,2)D不能确定 5(2011福州模拟)若函数 f(x)的零点与 g(x)4x2x2 的零点之差的确定值不超过 0.25，则 f(x)可以是 ()Af(x)4x1 Bf(x)(x1)2 Cf(x)ex1 Df(x)ln(x0.5)探究点一 函数零点的推断 例 1 推断函数 yln x2x6
4、的零点个数 变式迁移 1(2011烟台模拟)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且当 x0,1时，f(x)x，则函数 yf(x)log3|x|的零点个数是 ()A多于 4 个 B4 个 C3 个 D2 个 探究点二 用二分法求方程的近似解 例 2 求方程 2x33x30 的一个近似解(精确度 0.1)变式迁移 2(2011淮北模拟)用二分法争辩函数 f(x)x3lnx12的零点时，第一次经计算 f(0)0，可得其中一个零点 x0_，其次次应计算_以上横线上应填的内容为 ()A.0，12 21f B(0,1)f12 C.12，1 43f D.0，12 41f 探究点三 利
5、用函数的零点确定参数 例 3 已知 a 是实数，函数 f(x)2ax22x3a，假如函数 yf(x)在区间1,1上有零点，求 a 的取值范围 变式迁移 3 若函数 f(x)4xa2xa1 在(，)上存在零点，求实数 a 的取值范围 1全面生疏深刻理解函数零点：(1)从“数”的角度看：即是使 f(x)0 的实数 x；(2)从“形”的角度看：即是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标；(3)若函数 f(x)的图象在 xx0处与 x 轴相切，则零点 x0通常称为不变号零点；(4)若函数 f(x)的图象在 xx0处与 x 轴相交，则零点 x0通常称为变号零点 2求函数 yf(x)的零点的方法：(1
6、)(代数法)求方程 f(x)0 的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件 f(a)f(b)0 表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点 3有关函数零点的重要结论：(1)若连续不间断的函数 f(x)是定义域上的单调函数，则 f(x)至多有一个零点；(2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的全部函数值保持同号；(3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变 (满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 2
7、5 分)1(2010天津)函数 f(x)2x3x 的零点所在的一个区间是 ()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)2(2011福州质检)已知函数 f(x)log2x13x，若实数 x0是方程 f(x)0 的解，且 0 x1x0，则 f(x1)的值 ()A恒为负 B等于零 C恒为正 D不小于零 3下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是 ()4函数 f(x)(x2)(x5)1 有两个零点 x1、x2，且 x1x2，则 ()Ax12,2x22，x25 Cx15 D2x15 5(2011厦门月考)设函数 f(x)4x4，x1x24x3，x1，g(x)log2x，则函数
8、h(x)f(x)g(x)的零点个数是 ()A4 B3 C2 D1 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6定义在 R 上的奇函数 f(x)满足：当 x0 时，f(x)2 006xlog2 006x，则在 R 上，函数 f(x)零点的个数为_ 7(2011深圳模拟)已知函数 f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x x1 的零点分别为 x1，x2，x3，则 x1，x2，x3的大小关系是_ 8(2009山东)若函数 f(x)axxa(a0，且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是_ 三、解答题(共 38 分)9(12 分)已知函数 f(x)x3x2x
9、214.证明：存在 x0(0，12)，使 f(x0)x0.10(12 分)已知二次函数 f(x)4x22(p2)x2p2p1 在区间1,1内至少存在一个实数 c，使 f(c)0，求实数 p 的取值范围 11(14 分)(2011杭州调研)设函数 f(x)ax2bxc，且 f(1)a2，3a2c2b，求证：(1)a0 且3ba34；(2)函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设 x1，x2是函数 f(x)的两个零点，则 2|x1x2|574.答案 自主梳理 1(1)f(x)0(2)x 轴 零点 2.f(a)f(b)0(a，b)f(c)0 c 3.(x1,0)(x2,0)(x1,0)两个 一个 无 4.f(a)f(b)0 f(c)f(c)0 f(a)f(c)0 f(c)f(b)0 时，令2ln x0，解得 xe2，所以已知函数有两个零点 2B 3.B 4.B 5.A 课堂活动区 例 1 解题导引 推断函数零点个数最常用的方法是令 f(x)0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数 yf(x)就有几个零点，假如方程的根解不出，还有两种方法推断：方法一是基本方法，是利用零点