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1、2007 年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分）1（5 分）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小值为（）A3 B5 C6 D10 2（5 分）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（）A B C D 3（5 分）设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 PQ=x|xP，且 xQ，如果，Q=x|x2|1，那么 PQ 等于（）Ax|0 x1 Bx|0 x1 Cx|1x2 Dx|2x3 4（5 分）平面 外有两条直线 m 和 n，如果 m 和 n 在平面 内的射影分别是 m和 n，给出下列四个命题：mnmn；mnmn；m与 n相交m
2、 与 n 相交或重合；m与 n平行m 与 n 平行或重合 其中不正确的命题个数是（）A1 B2 C3 D4 5（5 分）已知 p 和 q 是两个不相等的正整数，且 q2，则=（）A0 B1 C D 6（5 分）若数列an满足（p 为正常数），则称an为“等方比数列”甲：数列an是等方比数列；乙：数列an是等比数列，则（）A甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7（5 分）双曲线的左准线为 l，左焦点和右焦点分别为F1和 F2；抛物线 C2的准线为 l，焦点为 F2；C1与 C2的一个交点为 M，则等于（）
3、A1 BxOy C D 8（5 分）已知两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 An和 Bn，且，则使得为整数的正整数 n 的个数是（）A2 B3 C4 D5 9（5 分）连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n，记向量与向量的夹角为，则的概率是（）A B C D 10（5 分）已知直线（是非零常数）与圆 x2+y2=100 有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A60 条 B66 条 C72 条 D78 条 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）11（5 分）已知函数 y=2xa 的反函数是 y=bx+3，则 a=；b=12（5 分）复数
4、z=a+bi，a，bR，且 b0，若 z24bz 是实数，则有序实数对（a，b）可以是 （写出一个有序实数对即可）13（5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 2x+y 的最小值为 14（5 分）某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球 10 次，恰好投进 3 个球的概率 （用数值作答）15（5 分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间 t（小时）成正比；药物释放完毕后，y 与 t的函数关系式为（a 为常数），如图所示据图中提供的信息，回答下列问题：（）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间
5、t（小时）之间的函数关系式为 ；（）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室 三、解答题（共 6 小题，满分 75 分）16（12 分）已知ABC 的面积为 3，且满足 06，设和的夹角为 （）求 的取值范围；（）求函数 f（）=2sin2的最大值与最小值 17（12 分）分 组 频 数 1.30，1.34）4 1.34，1.38）25 1.38，1.42）30 1.42，1.46）29 1.46，1.50）10 1.50，1.54）2 合 计 100 在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细
6、的一种量）共有 100 个数据，将数据分组如右表：（）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（）估计纤度落在1.38，1.50）中的概率及纤度小于 1.40 的概率是多少；（）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间1.30，1.34）的中点值是1.32）作为代表据此，估计纤度的期望 18（12 分）如图，在三棱锥 VABC 中，VC底面 ABC，ACBC，D 是 AB 的中点，且 AC=BC=a，VDC=（0）（）求证：平面 VAB平面 VCD；（）当确定角 的值，使得直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 19（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，
7、过定点 C（0，p）作直线与抛物线 x2=2py（p0）相交于 A、B 两点（）若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求ANB 面积的最小值；（）是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由 20（13 分）已知定义在正实数集上的函数 f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中 a0 设两曲线 y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同（）用 a 表示 b，并求 b 的最大值；（）求证：f（x）g（x）（x0）21（14 分）已知 m，n 为正整数（）用数学归纳法证明：当
8、x1 时，（1+x）m1+mx；（）对于 n6，已知，求证，m=1，2，n；（）求出满足等式 3n+4n+5n+（n+2）n=（n+3）n的所有正整数 n 2007 年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分）1（5 分）【考点】二项式定理的应用 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 0 得方程，求使方程有整数解的最小 n 值即可【解答】解：由展开式通项有=Cnr3nr（2）rx2n5r 由题意得，故当 r=2 时，正整数 n 的最小值为 5，故选项为 B【点评】本题主要考查二项式定理的基本知识，以
9、通项公式切入探索，由整数的运算性质易得所求本题中“非零常数项”为干扰条件 2（5 分）【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换 【分析】法一：以平移公式切入，利用向量解答即可；法二：利用平移的意义直接推出结果 【解答】解：法一由向量平移的定义，在平移前、后的图象上任意取一对对应点 P（x，y），P（x，y），则=，代入到已知解析式中可得选 A 法二由平移的意义可知，先向左平移个单位，再向下平移 2 个单位 故选 A【点评】本题主要考查向量与三角函数图象的平移的基本知识，易错点：将向量与对应点的顺序搞反了，或死记硬背以为是先向右平移个单位，再向下平移 2 个单位，误选 C为简单题 3（5 分
10、）【考点】元素与集合关系的判断；绝对值不等式的解法 【分析】首先分别对 P，Q 两个集合进行化简，然后按照 PQ=x|xP，且 xQ，求出 PQ 即可【解答】解：化简得：P=x|0 x2 而 Q=x|x2|1 化简得：Q=x|1x3 定义集合 PQ=x|xP，且 xQ，PQ=x|0 x1 故选 B【点评】本题考查元素与集合关系的判断，以及绝对值不等式的解法，考查对集合知识的熟练掌握，属于基础题 4（5 分）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，观察具体的正方体判断，即可得答案 【解答】解：由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，观察如图的正方体
11、：ACBD 但 A1C，BD1不垂直，故错；A1BAB1但在底面上的射影都是 AB 故错；AC，BD 相交，但 A1C，BD 异面，故错；ABCD 但 A1B，C1D 异面，故错 故选 D 【点评】本题主要考查空间线面之间位置关系，以及射影的意义理解关键是要理解同一条直线在不同平面上的射影不同；线在面内，线面平行，线面相交的不同位置下，射影也不相同要从不用的方向看三垂线定理，充分发挥空间想象力 5（5 分）【考点】极限及其运算 【分析】本题考查数列的极限和运算法则，可用特殊值探索结论，即同时考查学生思维的灵活性当不能直接运用极限运算法则时，首先化简变形，后用法则即可本题也体现了等比数列求和公式
12、的逆用【解答】解析：法一特殊值法，由题意取 p=1，q=2，则，可见应选 C 法二（1+x）m1=x1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）m1 令，m 分别取 p 和 q，则原式化为，所以原式=（分子、分母 1 的个数分别为 p 个、q 个）故选 C【点评】注意到本题的易错点：取特值时忽略 p 和 q 是两个不相等的正整数的条件，误选 B；或不知变形而无法求解，或者认为是型而误选 B，看错项数而错选 D 6（5 分）【考点】数列的应用 【分析】由题意可知，乙甲，但是，即甲成立，乙不一定成立，所以甲是乙的必要条件但不是充分条件【解答】解：由等比数列的定义，若乙：an是等比数列，公比为 q，即则
13、甲命题成立；反之，若甲：数列an是等方比数列，即 即公比不一定为 q，则命题乙不成立，故选 B【点评】本题是易错题由，得到的是两个等比数列，而命题乙是指一个等比数列，忽略等比数列的确定性，容易错选 C 7（5 分）【考点】双曲线的简单性质 【分析】先根据题设可知点 M 同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上，进而联立方程可求得|MF1|和|MF2|，代入答案可得【解答】解：由题设可知点 M 同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上，故由定义可得 故原式=，故选 A 【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的定义和性质，几何条件列方程组，消元后化归曲线的基本量的计算，体现数形结合方法的重
14、要性 8（5 分）【考点】等差数列的前 n 项和 【分析】充分利用等差数列前 n 项和与某些特殊项之间的关系解题【解答】解：由等差数列的前 n 项和及等差中项，可得=（nN*），故 n=1，2，3，5，11 时，为整数故选 D【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差中项的综合应用以及分离常数法，数的整除性是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用 已知两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 An和 Bn，则有如下关系=9（5 分）【考点】数量积表示两个向量的夹角；等可能事件的概率 【分析】由题意知本题是一个古典概型，根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数
15、要通过列举得到，题目大部分内容考查的是向量的问题，这是一个综合题【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数 66，m0，n0，=（m，n）与=（1，1）不可能同向 夹角 0（0，】0，mn0，即 mn 当 m=6 时，n=6，5，4，3，2，1；当 m=5 时，n=5，4，3，2，1；当 m=4 时，n=4，3，2，1；当 m=3 时，n=3，2，1；当 m=2 时，n=2，1；当 m=1 时，n=1 满足条件的事件数 6+5+4+3+2+1 概率 P=故选 C【点评】向量知识，向量观点在数学物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融
16、数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点 10（5 分）【考点】直线与圆相交的性质 【分析】直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，考查圆上横坐标和纵坐标均为整数的点的个数，结合排列组合知识分类解答【解答】解：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆x2+y2=100 上的整数点共有 12 个，分别为（6，8），（6，8），（8，6），（8，6），（10，0），（0，10），前 8 个点中，过任意一点的圆的切线满足，有 8 条；12 个点中过任意两点，构成 C122=66 条直线，其中有 4 条直线垂直 x 轴，有 4 条直线垂直 y
17、轴，还有 6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有 52 条综上可知满足题设的直线共有52+8=60 条，故选 A【点评】本题主要考查直线与圆的概念，以及组合的知识，既要数形结合，又要分类考虑，要结合圆上点的对称性来考虑过点的直线的特征 是较难问题 易错点：不能准确理解题意，甚至混淆对直线截距式方程认识不明确，认识不到三类特殊直线不能用截距式方程表示；对圆上的整数点探索不准确，或分类不明确，都会导致错误，胡乱选择 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）11（5 分）【考点】反函数 【分析】本题考查对互为反函数的两个函数关系的理解，可有两种方法，其一，求出 y=2xa
18、 的反函数令其与 y=bx+3 的对应系数相等获得，其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系，取特殊点求解【解答】解：法一：函数 y=2xa 的反函数为 y=x+a，与 y=bx+3 对照可得 a=6，b=法二：在 y=bx+3 上取点（0，3），得点（3，0）在 y=2xa 上，故得 a=6；又 y=2x6 上有点（0，6），则点（6，0）在 y=bx+3 由此可得 a=6，b=答案：a=6；b=【点评】本题主要考查反函数的概念及其对称性的应用直接求反函数也可，较为简单 该题的易错点：运算错误导致填写其他错误答案 12（5 分）【考点】复数的基本概念 【分析】本题主要考查复数的基本概念和运算
19、，有一般结论需要写出一个具体结果，属开放性问题在解答过程中要注意本题的易错点：复数运算出错导致结果写错，或审题马虎，只写出 a=2b，不合题意要求【解答】解：由复数运算法则可知 z24bz=a2b24ab+（2ab4b2）i，由题意得 2ab4b2=0（b0），a=2b（a0，b0），则有序实数对（a，b）可以是（2，1）或满足 a=2b 的任意一对非零实数对 故答案为：（2，1）或满足 a=2b 的任意一对非零实数对【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果 13（5 分）【考点】简单线性规划 【
20、分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数 2x+y的最小值【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令 2x+y=z，y=2x+z，显然当平行直线过点时，z 取得最小值为；故答案为：【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解 14（5 分）【考点】n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 【分析】判断是否为独立重复试验的关键是每次试验事件 A 的概率不变，并且每次试验的结果同其他各次试验的
21、结果无关，重复是指试验为一系列的试验，并非一次试验，而是多次，但要注意重复事件发生的概率相互之间没有影响【解答】解：由题意知运动员在三分线投球的命中率是定值，投球 10 次 本题是一个独立重复试验 所求概率 故答案为：【点评】本题考查 n 次独立重复试验中，某事件恰好发生 k 次的概率，直接用公式解决易错点是把“恰好投进 3 个球”错误理解为某三次投进球，忽略“三次”的任意性 15（5 分）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】（1）当 0t0.1 时，可设 y=kt，把点（0.1，1）代入直线方程求得 k，得到直线方程；当 t0.1 时，把点（0.1，1）代入求得 a，曲线方程可得最后综
22、合可得答案（2）根据题意可知 y0.25，把（1）中求得的函数关系式，代入即可求得 t 的范围【解答】解：（I）由题意和图示，当 0t0.1 时，可设 y=kt（k 为待定系数），由于点（0.1，1）在直线上，k=10；同理，当 t0.1 时，可得（II）由题意可得，即得或或 t0.6，由题意至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，在（II）中填写了其他错误答案 三、解答题（共 6 小题，满分 75 分）16（12 分）【考点】三角函数的最值；三角函数的恒等变换及化简求值；解三角形 【分析】（）
23、根据三角形的面积，数量积的范围，推出关系式，然后求出 的取值范围；（）利用二倍角公式、两角差的正弦函数，化简函数 f（）=2sin2为一个角的一个三角函数的形式，根据（）的范围，求出函数的最大值与最小值【解答】解：（）设ABC 中角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则由，0bccos6，可得 0cot1，（）=，即当时，f（）max=3；当时，f（）min=2【点评】本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力 17（12 分）【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数 【分析】（I）条件的表中给出了
24、分组和频数，要完成频率分布表，需要把频率做出来，列出频率分布表，写上每一个频数对应的频率（II）由频率分布表知纤度落在1.38，1.50）中的概率约为 0.30+0.29+0.10，而要求的纤度小于 1.40 的数据有一部分需要把一个分组分成两部分，使得这两部分的概率相等，得到结果（III）要做纤度的期望，需要有各组数据的平均值，同一组数据常用该组区间的中点值做平均值，利用期望的公式，写出这组数据的期望【解答】解：（）（）由频率分布表知纤度落在1.38，1.50）中的概率约为 0.30+0.29+0.10=0.69，纤度小于 1.40 的概率约为（）总体数据的期望约为 1.320.04+1.3
25、60.25+1.400.30+1.440.29+1.480.10+1.520.02=1.4088【点评】本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力 18（12 分）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】法一：（）要证平面 VAB平面 VCD，只需证明平面 VAB 内的直线 AB，垂直平面 VCD 内的两条相交直线 CD、VC 即可；（）过点 C 在平面 VCD 内作 CHVD 于 H，说明CBH 就是直线 BC 与平面 VAB 所成的角求出，使得直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 法二：以 CA，CB，CV
26、 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，（）建立如图所示的空间直角坐标系，证明，推出 AB平面 VCD，即可证明平面 VAB平面 VCD（）求出平面 VAB 的一个法向量，利用，求出使得直线 BC 与平面 VAB 所成的角为的 的值【解答】解法 1：（1）AC=BC=a，ABC 是等腰三角形，又 D 是 AB 的中点，CDAB，又 VC底面 ABC，VCAB于是 AB平面 VCD，又 AB 平面 VAB，平面 VAB平面 VCD （2）过点 C 在平面 VCD 内作 CHVD 于 H，则由（1）知 CH平面 VAB连接 BH，于是CBH 就是直线 BC 与平面 VAB 所成的角，依题意，所
27、以 在 RtCHD 中，；在 RtBHC 中，故当时，直线 BC 与平面 VAB 所成得角为 解法 2：（1）以 CA、CB、CV 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 C（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），于是，从而，即 ABCD 同理，即 ABVD，又 CDVD=D，AB平面 VCD 又 AB 平面 VAB，平面 VAB平面 VCD （2）设平面 VAB 的一个法向量为 n=（x，y，z）则由，得 可取，又，于是=，即，故当时，直线 BC 与平面 VAB 所成得角为 解法 3：（1）以点 D 为原点，以 DC、DB 所在的直线分别为 x
28、 轴、y 轴 建立如图所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0），于是，从而，即 ABDC，同理，即 ABDV 又 DCDV=D，AB平面 VCD 又 AB 平面 VAB，平面 VAB平面 VCD （2）设平面 VAB 的一个法向量为 n=（x，y，z），则由得 取 n=（tan，0，1），又，于是，即 又，故当时，直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 【点评】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力 19（12 分）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】解法 1：（）依题意，点 N 的坐标为 N（0，p），可设
29、 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 的方程为 y=kx+p，与 x2=2py 联立得消去 y 得 x22pkx2p2=0然后由韦达定理结合三角形面积公式进行求解（）假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 y=a，AC 的中点为 O，l 与 AC 为直径的圆相交于点 P，Q，PQ 的中点为 H，则 OHPQ，Q点的坐标为（，y1+），由此入手能够求出抛物线的通径所在的直线 解法 2：（）依题意，点 N 的坐标为 N（0，p），可设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB 的方程为 y=kx+p，与 x2=2py 联立得消去 y 得 x22pkx2p2=0由弦长公式得=，又由点
30、到直线的距离公式得由此能求出ANB 面积的最小值（）假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 y=a，则以 AC 为直径的圆的方程为（x0）（xx1）（yp）（yy1）=0，将直线方程 y=a 代入得 x2x1x+（ap）（ay1）=0，则由此入手能够求出抛物线的通径所在的直线【解答】解：法 1：（）依题意，点 N 的坐标为 N（0，p），可设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 的方程为 y=kx+p，与 x2=2py 联立得，消去 y 得 x22pkx2p2=0 由韦达定理得 x1+x2=2pk，x1x2=2p2 于是=，当 k=0 时，（）假设满足条件的直线 l 存在，其方程为
31、 y=a，AC 的中点为 O，l 与 AC 为直径的圆相交于点 P，Q，PQ 的中点为 H，则 OHPQ，O点的坐标为（），|PH|2=|OP|2|OH|2=，|PQ|2=（2|PH|）2=令，得，此时|PQ|=p 为定值，故满足条件的直线 l 存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线 解法 2：（）前同解法 1，再由弦长公式得=，又由点到直线的距离公式得 从而，当 k=0 时，（）假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 y=a，则以 AC 为直径的圆的方程为（x0）（xx1）+（yp）（yy1）=0，将直线方程 y=a 代入得 x2x1x+（ap）（ay1）=0，则|x1x2|2=设直线 l
32、 与以 AC 为直径的圆的交点为 P（x3，y3），Q（x4，y4），则有 令，得，此时|PQ|=p 为定值，故满足条件的直线 l 存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线 【点评】本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力 20（13 分）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 【分析】（）设出两曲线的公共点坐标，分别求出 f（x）和 g（x）的导函数，把设出点的坐标代入两导函数中得到两关系式，联立两关系式即可解出公共点的横坐标，把求出的横坐标代入得到用 a 表示出 b 的式子，设 h（t）等于表示
33、出的式子，求出 h（t）的导函数，令导函数大于 0 求出 t 的范围即为函数的增区间，令导函数小于 0 求出 x 的范围即为函数的减区间，根据函数的增减性即可求出 h（t）的最大值即为 b 的最大值；（）设 F（x）=f（x）g（x），求出 F（x）的导函数，根据导函数的正负得到 F（x）的单调区间，由 x 大于 0 和函数的增减性得到 F（x）的最小值为 0，即 f（x）g（x）大于等于 0，得证【解答】解：（）设 y=f（x）与 y=g（x）（x0）在公共点（x0，y0）处的切线相同 f（x）=x+2a，由题意 f（x0）=g（x0），f（x0）=g（x0）即由得：x0=a，或 x0=3a
34、（舍去）即有 令，则 h（t）=2t（13lnt）于是当 t（13lnt）0，即时，h（t）0；当 t（13lnt）0，即时，h（t）0 故 h（t）在为增函数，在为减函数，于是 h（t）在（0，+）的最大值为（）设，则 F（x）=故 F（x）在（0，a）为减函数，在（a，+）为增函数，于是函数 F（x）在（0，+）上的最小值是 F（a）=f（a）g（a）=a2+2a23a2lna+a23a2lna=0，故当 x0 时，有 f（x）g（x）0，即当 x0 时，f（x）g（x）【点评】本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力 21（14 分）【考点】用数学
35、归纳法证明不等式；数学归纳法 【分析】解法一：（）直接利用用数学归纳法证明的证明方法证明即可；（）对于 n6，已知，利用指数函数的性质以及放缩法证，m=1，2，n；（）利用（）的结论，以及验证 n=1，2，3，4，5 时等式是否成立，即可求出满足等式 3n+4m+（n+2）m=（n+3）n的所有正整数 n 解法二：（）证：当 x=0 或 m=1 时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明（）同解法一；（）利用反证法证明当 n6 时，不存在满足该等式的正整数 n验证同解法一【解答】解法 1：（）证：用数学归纳法证明：当 x=0 时，（1+x）m1+mx；即 11 成立，x0 时，证：用数学归
36、纳法证明：（）当 m=1 时，原不等式成立；当 m=2 时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，因为 x20，所以左边右边，原不等式成立；（）假设当 m=k 时，不等式成立，即（1+x）k1+kx，则当 m=k+1 时，x1，1+x0，于是在不等式（1+x）k1+kx 两边同乘以 1+x 得（1+x）k（1+x）（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx21+（k+1）x，所以（1+x）k+11+（k+1）x即当 m=k+1 时，不等式也成立 综合（）（）知，对一切正整数 m，不等式都成立（）证：当 n6，mn 时，由（）得，于是=，m=1，2，n（）解：由（）知，当 n6 时，即 3n
37、+4n+（n+2）n（n+3）n即当 n6 时，不存在满足该等式的正整数 n 故只需要讨论 n=1，2，3，4，5 的情形：当 n=1 时，34，等式不成立；当 n=2 时，32+42=52，等式成立；当 n=3 时，33+43+53=63，等式成立；当 n=4 时，34+44+54+64为偶数，而 74为奇数，故 34+44+54+6474，等式不成立；当 n=5 时，同 n=4 的情形可分析出，等式不成立 综上，所求的 n 只有 n=2，3 解法 2：（）证：当 x=0 或 m=1 时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当 x1，且 x0 时，m2，（1+x）m1+mx （）当
38、m=2 时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，因为 x0，所以 x20，即左边右边，不等式成立；（）假设当 m=k（k2）时，不等式成立，即（1+x）k1+kx，则当 m=k+1 时，因为 x1，所以 1+x0又因为 x0，k2，所以 kx20 于是在不等式（1+x）k1+kx 两边同乘以 1+x 得（1+x）k（1+x）（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx21+（k+1）x，所以（1+x）k+11+（k+1）x即当 m=k+1 时，不等式也成立 综上所述，所证不等式成立（）证：当 n6，mn 时，而由（），（）解：假设存在正整数 n06 使等式成立，即有 又由（）可得=，与式矛盾 故当 n6 时，不存在满足该等式的正整数 n 下同解法 1【点评】本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力注意放缩法的应用