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1、 21合情推理与演绎推理 21.1 合情推理 第 1 课时 归纳推理 (老师用书独具)三维目标 1.学问与技能 了解合情推理的含义，生疏归纳推理的基本方法与步骤，能利用归纳进行简洁的推理应用 2过程与方法 通过同学的乐观参与，经受归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义让同学通过观赏一些宏大猜想产生的过程，体会如何利用归纳去猜想和发觉一些新的结论，培育同学归纳推理的思维方式 3情感、态度与价值观 正确生疏合情推理在数学中的重要作用，并体会归纳推理在日常活动和科学发觉中的作用同学通过主动探究、合作学习，激发学习爱好，生疏数学的科学价值、应用价值和文化价值，养成认真观看事物、发觉探求新学问的习惯
2、和良好的思维品质 重点、难点 重点：归纳推理的含义与特点能进行简洁的归纳推理 难点：运用归纳推理得到一般性的结论，做出猜想 (老师用书独具)教学建议 关于归纳推理的教学，建议老师以同学生疏的例子为载体，创设问题情境例如“猜职业”、“哥德巴赫猜想”等引导同学进行观看、分析、归纳推理并借助例题具体说明在数学发觉的过程中猜想、归纳的作用恰当设置探究问题，养成同学的合作学习的意识，培育同学正确进行归纳推理的力量在课堂上渗透数学文化训练，让同学通过数学文化的学习，了解数学进展中起重大作用的历史大事和人物，激发学习数学的爱好 教学流程 创设问题情境，引导同学得出归纳推理的意义和特点通过例 1 及其变式训练
3、，使同学把握数、式中归纳推理的一般规律通过例 2 及其变式训练，使同学把握图形中归纳推理的特点与思路通过例 3及其变式训练，进行简洁实际问题的归纳推理，并体会应用的广泛性完成当堂双基达标，巩固所学学问并进行反馈矫正归纳整理，进行课堂小结，整体生疏本节课所学学问 课标解读 1.了解归纳推理的含义，能用归纳推理进行简洁的推理(重点、难点)2体会归纳推理在数学发觉中的作用，归纳推理结论的真假(易错点)归纳推理【问题导思】1若 a11，a2 2，a3 3，a42，你能猜想出数列an的通项公式 an吗？【提示】an n(nN*)2直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是 180，你能猜想出什么结论
4、？【提示】三角形的内角和都是 180.1推理 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理 2归纳推理(1)定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理(2)思维过程：试验、观看概括、推广猜想一般性结论 3归纳推理的特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围(2)由归纳推理得到的结论具有猜想的性质，结论是否真实，还需经过规律证明和实践检验(3)归纳推理是一种具有制造性的推理.代数中数、式的归纳推理 已知数列an满足 a11，an12an1(n1,2,3)(1)求 a2，a3，a4；(2)归纳猜想
5、通项公式 an，并证明结论的正确性【思路探究】由 a11 求 a2的值，进而求 a3，a4 分析 a1，a2，a3，a4的特征猜想 an数学证明【自主解答】(1)由 a11，且 an12an1(nN*)，令 n1，得 a23，令 n2，n3，进而得 a37，a415，(2)由 a2221，a3231，a4241.可归纳猜想，得 an2n1(nN*)证明如下：由 an12an1，得 an112(an1)an1是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列 an122n12n，因此 an2n1.1在数列中，常用归纳推理猜想通项公式或前 n 项和公式；要认真观看数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项
6、数(序号 n)之间的关系，这是解题的关键 2归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，归纳推理的一般步骤：(1)通过观看个别状况发觉某些共同的特征；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)已知：112；112131；112131415161732；112131152；依据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论【解】1211,3221,7231,15241，猜想不等式的左边共有 2n1 项，最终一项的分母为 2n1，右边为n2，由此可得一般性结论 1121312n1n2(nN*)几何问题中的归纳推理 数一数图 211 中的凸多面体的面数 F、顶点数 V 和棱数 E，然
7、后用归纳推理得出它们之间的关系 图 211【思路探究】先找出凸多面体的面数、顶点数和棱数，观看它们之间有什么关系，再归纳出一般性的结论【自主解答】正方体：F6 V8 E12 三棱柱：F5 V6 E9 五棱柱：F7 V10 E15 四棱锥：F5 V5 E8 两个同底面的四棱锥组成的组合体：F8 V6 E12 通过以上观看发觉 F，V，E 满足 FVE2 所以归纳得：在凸多面体中，面数 F、顶点数 V 和棱数 E 满足以下关系：FVE2.1在几何中随点、线、面等元素的增加，探究点数、线数、面数等满足的关系及相应的线段、交点、图形的增加状况常用归纳推理解决，通过比较，查找规律是解决该类问题的关键 2
8、应用归纳推理，留意两点：从图形的数量规律入手，查找数值变化与数量关系；从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化 平面内有 n 条直线(n3,4,5，)，其中有且只有两条直线平行，任意三条直线不过同一点，记 f(n)表示这 n 条直线的交点个数(1)求 f(3)，f(4)，f(5)；(2)猜想 f(n)的表达式【解】(1)f(3)2，f(4)5，f(5)9.(2)由(1)归纳可知，f(4)f(3)3，f(5)f(4)4f(3)34，所以可以猜想 f(n)f(3)34(n1)n2n12(n3,4,5，)实际问题中的归纳推理 蜜蜂被认为是自然界中最
9、杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形如图 212 为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有 1 个蜂巢，其次个图有 7 个蜂巢，第三个图有 19个蜂巢，按此规律，以 f(n)表示第 n 个图的蜂巢总数 图 212 试给出 f(4)，f(5)的值，并求 f(n)的表达式(不要求证明)【思路探究】依据前三个图形，找出正六边形增加的规律【自主解答】由图形可知：每个图形最外面有 6(n1)个正六边形：f(4)f(3)18191837，f(5)f(4)24372461，由于 f(2)f(1)716，f(3)f(2)19726，f(4)f(3)371936，f(5)f(4)613746，所以当 n
10、2 时，有 f(n)f(n1)6(n1)以上各式相加得 f(n)f(1)6123(n1)，f(n)f(1)6n1n23n23n1.1在本例中，应留意两点：(1)图形的特点，每个图形从宏观上看均为一大正六边形，每一边上均有 n个小正六边形，(2)式的变化，通过式子，寻求 f(n)与 f(n1)的关系，转化成数列问题 2利用归纳推理，可以使我们对很多实际问题总结出一般性的结论，把握事物的本质规律 意大利数学家斐波那契在他的 1228 年版的算经一书中记述了好玩的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子，假如不发生死亡，那么由一对大兔子开头，一年后能有多少对
11、大兔子呢？我们依次给出各个月的大兔子对数，并始终推算下去到无尽的月数，可得数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，这就是斐波那契数列，此数列中，a1a21，当 n3 时，请归纳出 an与 an1间的递推关系式【解】由于 211,312,523,835，逐项观看分析每项与其前几项的关系易得：从第三项起，它的每一项等于它的前面两项之和，即 anan1an2(n3，nN*)归纳不完整致误 对任意的正整数 n，猜想 2n与 n2的大小关系【错解】当 n1 时，2112；当 n2 时，2222；当 n3 时，2332.归纳猜想：当 n1 时，2nn2；当 n2 时，2
12、nn2.【错因分析】对于 2n与 n2，n 仅取 1,2,3 来推断它们的大小关系，这不具有代表性，忽视了对 n3时情形的归纳【防范措施】进行归纳推理时，防止归纳的局限性，可多考查一些特殊情形，从中查找规律，发觉一般性的结论【正解】当 n1 时，2112；当 n2 时，2222；当 n3 时，2332；当 n4 时，2442；当 n5 时，2552；当 n6 时，2662.归纳猜想：当 n1 或 n5 时，2nn2；当 n2 或 4 时，2nn2；当 n3 时，2nn2.1归纳推理是从个别事实中推演出一般性结论的推理方法应用归纳推理可以发觉新事实，获得新结论，为我们学习和争辩供应方向 2我们在
13、进行归纳和猜想时，要擅长从变化的特殊性中查找出不变的本质和规律 3通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越牢靠，它是一种发觉一般性规律的重要方法.1由数列 1,10,100,1 000，猜想该数列的第 n 项可能是_【解析】该数列可整理为 100,101,102,103.【答案】10n1 2如图 213 所示的是由火柴杆拼成的一列图形，第 n 个图形由 n 个正方形组成 通过观看可以发觉：第 4 个图形中，火柴杆有_根；第 n 个图形中，火柴杆有_根 图 213【解析】设 an表示第 n 个图形中的火柴杆数，易知 a14，a2437，a37310，a410313，an3
14、n1.【答案】13 3n1 3(2021陕西高考)观看下列等式：(11)21，(21)(22)2213，(31)(32)(33)23135，照此规律，第 n 个等式可为_【解析】从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持全都，其中左边连乘式中其次个加数从 1 开头，逐项加 1 递增，右边连乘式中从第 二个乘数开头，组成以 1 为首项，2 为公差的等差数列，项数与第几等式保持全都，则照此规律，第 n个等式可为(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)【答案】(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)4已知数列an的首项 a11，且
15、 an1an1an(n1,2,3，)，试用归纳法归纳出这个数列的通项公式 【解】当 n1 时，a11；当 n2 时，a211112；当 n3 时，a31211213；当 n4 时，a41311314.归纳可得，数列an的前四项都等于相应序号的倒数，由此可以猜想，这个数列的通项公式为 an1n(n1,2,3，)一、填空题 1如图 214 所示的是一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排，那么第 36 颗珠子的颜色是_色 图 214【解析】通过观看发觉，每 5 颗珠子为一组，前 3 颗为白色，前 2 颗为黑色，所以 36351571.得第 36 颗珠子肯定是白色的【答案】白 2如图 215 所示，
16、第 n 个图形中，小正六边形的个数为_ 图 215【解析】a17，a27512，a312517，an75(n1)5n2.【答案】5n2 3正整数按下表的规律排列，则上起第 2 005 行，左起第 2 006 列的数应为_ 【解析】第 2 006 行的第一个数为 2 0062，第 2 005 行的第 2 006 列的数是以 2 0062为首项，1 为公差的等差数列的第 2 007 项，该数为 2 0062(1)2 0062 0052 006.【答案】2 0052 006 4(2022江西高考)观看下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10_.【解析】从给出
17、的式子特点观看可推知，等式右端的值，从第三项开头，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则 a10b10123.【答案】123 5依据给出的数塔猜想 123 45697 等于_ 19211 1293111 123941 111 1 2349511 111 12 34596111 111【解析】等号右边应为 n1 个“1”【答案】1 111 111 6定义 A*B、B*C、C*D、D*B 分别对应下列图形 图 216 那么下列图形中，可以表示 A*D、A*C 的分别是_ (1)(2)(3)(4)图 217【解析】由已知图形，可总结出：A“|”，B“”(大)，C“”，D“”(小
18、)，故 A*D 为(2)，A*C 为(4)【答案】(2)，(4)7经计算发觉下列不等式：2 182 10，4.5 15.52 10，3 217 22 10，依据以上不等式的规律，试写出一个对正实数 a，b 都成立的条件不等式：_.【解析】218210，4.515.5210，3 217 2210，若 ab20，则 a b2 10.【答案】若 ab20，则 a b2 10 8(2021镇江高二检测)设函数 f(x)xx2(x0)，观看：f1(x)f(x)xx2，f2(x)f(f1(x)x3x4，f3(x)f(f2(x)x7x8，f4(x)f(f3(x)x15x16，依据以上事实，由归纳推理可得：当
19、 nN*且 n2 时，fn(x)f(fn1(x)_.【解析】函数结果的分母中 x 项系数所组成数列的通项公式，由 1,3,7,15，可推知该数列的通项公式为 an2n1.分母中常数项依次为 2,4,8,16，故其通项公式为 bn2n.又由于函数中分子都是 x，所以当 n2 时，fn(x)f(fn1(x)x2n1x2n.【答案】x2n1x2n 二、解答题 9在ABC 中，不等式1A1B1C9成立，在四边形 ABCD 中，不等式1A1B1C1D162成立，在五边形 ABCDE 中，不等式1A1B1C1D1E253成立，猜想在 n 边形 A1A2An中，其不等式为什么？【解】不等式左边项数分别为 3
20、,4,5 时，不等式右边的数依次为9，162，253，其分子依次为 32,42,52，分母依次为(32)，(42)，(52)，故当不等式左边项数为 n 个时，归纳猜想右边应为n2n2(n3，nN*)，故所求为1A11A21Ann2n2(n3，nN*)10已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11 且 Sn11Sn20(n2)，计算 S1，S2，S3，S4，并猜想 Sn的表达式【解】当 n1 时，S1a11；当 n2 时，1S22S13，S213；当 n3 时，1S32S253，S335；当 n4 时，1S42S375，S457.猜想：Sn2n32n1(nN*)11观看下列等式：cos 22co
21、s21；cos 48cos48cos21；cos 632cos648cos418cos21；cos 8128cos8256cos6160cos432cos21；cos 10mcos101 280cos81 120cos6ncos4pcos21.求 mnp 的值【解】观看等式可知，cos 的最高次项的系数：2,8,32,128构成了公式比为4的等式数列，故m1284512；取 0，则 cos 1，cos 101，代入等式，得 1m1 2801 120np1，即 np350.(1)取 3，则 cos 12，cos 1012，代入等式，得12m(12)101 280(12)81 120(12)6n(
22、12)4p(12)21，即 n4p200.(2)联立(1)(2)，得 n400，p50.故 mnp512(400)50962.(老师用书独具)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种外形来争辩数，比如：他们争辩过图 1 中所示的 1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中所示的 1,4,9,16，这样的数为正方形数则 289，1 024，1 225，1 378 中既是三角形数又是正方形数的是_【思路探究】将三角形数和正方形数分别视作数列，则既是三角形数又是正方形数的数字是上述两数列的公共项【规范解答】记三角形数构成的数列为an，则 a11，a2312，a36
23、123，a4101234，可得通项公式为 an123nnn12.同理可得正方形构成的数列bn的通项公式为 bnn2.将 289,1 024 1225,1 378 分别代入上述两个通项公式，可得使 n 都为正整数的只有 1 225.【答案】1 225 设 n2，nN，(2x12)n(3x13)na0a1xa2x2anxn，将|ak|(0kn)的最小值记为 Tn，则 T20，T3123133，T40，T5125135，Tn，其中 Tn_.【解析】由 T20，T40，猜想 Tn0(n 为偶数)由 T3123133，T5125135，猜想 Tn12n13n(n 为奇数)因此可得 Tn 0，n为偶数，1
24、2n13n，n为奇数.【答案】Tn 0，n为偶数，12n13n，n为奇数.第 2 课时 类比推理 (老师用书独具)三维目标 1.学问与技能 通过对已学学问的回顾，生疏类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发觉中去 2过程与方法 正确生疏合情推理在数学中的重要作用，养成认真观看事物、擅长发觉问题、分析问题、解决问题意识 3情感、态度与价值观 生疏数学在日常生产生活中的重要作用，培育同学学数学，用数学，完善数学的正确数学意识 重点、难点 重点：了解合情推理的含义，理解类比推理的含义，能利用类比进行简洁的推理 难点：类比时寻求合适的类比对象，培育同学“发觉猜想证明”的推理力量 (老师用
25、书独具)教学建议 本节教材内容要求同学结合已学过的数学实例和生活中的实例，对合情推理类比推理进行概括和总结，让同学在学习过程中体会类比推理在数学结论的发觉、证明与数学体系建构中的作用(1)创设恰当的教学问题情境，如鲁班锯的发觉、物理学家惠更斯提出了光波这一科学概念，从而提炼出类比推理的一般过程，概括出类比推理的含义(2)分组沟通，合作学习，讲练结合，将班上同学分成六个小组，分组争辩从具体问题动身观看、分析比较、联想归纳，类比提出猜想，让同学充分感受和体验类比推理的过程 教学流程 创设问题情景，引导同学提炼类比推理的一般过程和含义通过例 1 及其变式训练，使同学把握数列中定义、性质公式的类比通过
26、例 2 及其变式训练，使同学把握平面图形和空间图形的类比规律通过例 3 及其变式训练，理解合情推理应用的广泛性并体会其作用完成当堂双基达标，巩固所学学问并进行学后反馈、矫正归纳整理，进行课堂小结，整体生疏本节课所学学问与思想方法 课标解读 1.结合实例，理解类比推理的含义，能利用类比进行简洁的推理(重点、难点)2了解合情推理的合理性.类比推理【问题导思】已知三角形的如下性质：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的面积等于高与底乘积的12.试依据上述三角形的性质推想空间四周体的性质【提示】(1)四边体任意三个面的面积大于第四个面的面积(2)四周体的体积等于底面积与高乘积的13.依据两个
27、(或两类)对象之间在某些方面的相像或相同，推演出它们在其他方面也相像或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法其思维过程为：观看、比较联想、类推猜想新的结论 合情推理 依据已有的事实、正确的结论、试验和实践的结果，以及个人的阅历和直觉等推想某些结果的推理过程称为合情推理归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理.数列中的类比推理 设等差数列an的前 n 项和为 Sn，则 S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列 类比以上结论有：设等比数列bn的前 n 项积为 Tn，则 T4，_，_，T16T12成等比数列【思路探究】等差数列的性质结论多与和、差有关，等比数列的性质结论多与积
28、、商有关，留意到类比结论中消灭T16T12这一形式与 S16S12对应，易得答案【自主解答】等比数列类比等差数列，其中积类比和，除法类比减法，于是可得类比结论为：设等比数列bn的前 n 项积为 Tn，则 T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列【答案】T8T4 T12T8 1对于数列中的类比推理，需从等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前 n 项和公式探求，充分挖掘事物的本质及内在联系 2类比推理的一般步骤为：(1)找出两类对象之间可以精确 表述的相像性(或全都性)(2)用一类对象的性质去推想另一类对象的性质，从而得出一个猜想(3)检验这个猜想 已知命题：若数列an为等差数列，且
29、ama，anb(mn，m，nN*)，则 amnbnamnm.现已知等比数列bn(bn0，nN*)，且 bma，bnb(m，nN*且 mn)类比上述结论，求 bmn，并说明理由【解】类比得 bmnnmbnam.理由如下：设等比数列bn的公比为 q，则 bmnbmqn.又bmbnb1qm1b1qn1qmnab.q(ab)1mn.因此 bmnbmqna(ab)nmn(bnam)1nmnmbnam.几何中的类比推理 在平面几何里，有勾股定理：设ABC 的两条边 BC，AC 相互垂直，则 BC2AC2AB2.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，争辩三棱锥的侧面积和底面积的关系，可以得出什么样的结论？【思
30、路探究】三角形是由直线段围成的封闭图形，三棱锥(四周体)是由三角形围成的封闭图形，因此三角形的边长之间的关系类比到空间为三棱锥的面的面积之间的关系【自主解答】考虑到直角三角形的两条边相互垂直，所以我们可以选取有 3 个侧面两两垂直的三棱锥，作为直角三角形的类比对象 直角三角形 3 个侧面两两垂直的三棱锥 C90 PDFPDEEDF90 3 条边的长度分别为 a，b，c 4 个面的面积分别为 S1，S2，S3和 S 2 条直角边 a，b 和 1 条斜边 c 3 个“直角面”S1，S2，S3和 1 个“斜面”S 类比勾股定理的结构，猜想在三棱锥中，S2S21S22S23.1解决此类问题，从几何元素
31、的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中 2类比与归纳推理虽然不肯定正确，但都是经过观看、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出合理猜想的推理，为学习和争辩供应了一盏明灯 已知圆的方程是 x2y2r2，则经过圆上一点 M(x0，y0)的切线方程为 xx0yy0r2，类比上述性质，可以得到椭圆x2a2y2b21 类似的性质为_【解析】圆的性质中，经过圆上一点 M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个 x 与 y 分别用 M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换故可得椭圆x2a2y2b21 类似的性质为：过椭圆x2a2y2b21 上一点 P(x0，y0)的切
32、线方程为x0 xa2y0yb21.【答案】过椭圆x2a2y2b21 上一点 P(x0，y0)的切线方程为x0 xa2y0yb21 合情推理的创新应用 我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探究等和数列an的奇数项和偶数项各有什么特点？并加以说明(3)在第(2)问中，若 a12，公和为 5，求 a18和 S21.【思路探究】先据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义，然后再据此定义探究等和数列的奇数项、偶数项及其前 n 项和【自主解答】(1)假如一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数
33、列.(2)由(1)知 anan1an1an2，所以 an2an.所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等(3)由“等和数列”的定义，知 a1a3a5a19a212.a2a4a6a18a203.因此 a183.S21(a1a2)(a3a4)(a19a20)a21 510252.1本题通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，考查同学的类比应用力量 2从类比出的新数列的定义动身，由特殊到一般，归纳出数列规律类比是一个宏大的引路人，在探求学问的过程中，我们要充分运用类比的方法，由已知探究未知 设 f(x)12x 2，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，可求得 f(5)f(4
34、)f(0)f(1)f(5)f(6)的值是_【解析】等差数列运用“倒序相加”求和 令 tf(5)f(4)f(0)f(1)f(5)f(6)，则 tf(6)f(5)f(1)f(0)f(4)f(5)f(x)12x 2 f(1x)121x 22x2 22x2x22x 2，因此 f(x)f(1x)12x 22x22x 21222，故，得 2t12226 2.t3 2.【答案】3 2 误将类比所得结论作为推理依据致错 已知 a1，b1，c1，a2，b2，c2都是非零实数，不等式 a1x2b1xc10，a2x2b2xc20 的解集分别为 M，N，则“a1a2b1b2c1c2”是“MN”成立的什么条件【错解】在
35、方程 a1x2b1xc10 与 a2x2b2xc20 中若“a1a2b1b2c1c2”，则两个方程同解 由a1a2b1b2c1c2知两个不等式同解，故“a1a2b1b2c1c2”是“MN”成立的充要条件【错因分析】错解将方程的同解原理类比到不等式中，忽视了不等式与等式的本质区分【防范措施】类比推理是不严格的，所得结论的正确与否有待用实践来证明，解题时若直接使用类比所得结论进行推理简洁消灭错误，因此要理解好类比对象的本质，忌盲目类比【正解】当a1a2b1b2c1c2时，可取 a1b1c11，a2b2c21，则 M，NR，即a1a2b1b2c1c2D/MN；当 MN时，可取 a1b1c11，a21
36、，b22，c23，则a1a2b1b2c1c2.即 MND/a1a2b1b2c1c2.综上知“a1a2b1b2c1c2”是“MN”成立的既不充分又不必要条件 1进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相像甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误 2 类比推理的特点：(1)类比是由已经解决的问题和已经获得的学问动身，推想正在争辩的事物的属性，提出新问题，作出新发觉(2)类比的结果是猜想性的，不肯定牢靠，但它有发觉功能 3要生疏一些常见的类比推理，如等式与不等式、椭圆与双曲线的类比，特殊是等差数列与等比数列的类比和平面几何与立体几何(包括三角形与四周体、矩形与长
37、方体、圆与球)的类比，需把握它们的类比特点与一些常用结论.1若数列an是等差数列，则通项为 bna1a2ann的数列bn(nN*)也是等差数列类比上述性质，相应地，若数列cn是等比数列，且 cn0(nN*)，则有通项为 dn_的数列dn(nN*)也是等比数列【解析】“和”变“积”，“商”变“开方”【答案】nc1c2cn 2下面使用类比推理恰当的序号是_“若 a3b3，则 ab”类推出“acbc，则 ab”；“(ab)ca(bc)”类推出“(ab)ca(bc)”；“(ab)cacbc”类推出“abcacbc(c0)”；“(ab)nanbn”类推出“(ab)nanbn”【解析】均错【答案】3在平面
38、直角坐标系 Oxy 中，二元一次方程 AxBy0(A，B 不同时为 0)表示过原点的直线类似地：在空间直角坐标系 Oxyz 中，三元一次方程 AxByCz0(A，B，C 不同时为 0)表示_【解析】平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系 Oxyz 中，三元一次方程 AxByCz0(A，B，C 不同时为 0)表示过原点的平面【答案】过原点的平面 4类比圆的下列特征，找出球的相关特征(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；(2)平面内不共线的 3 个点确定一个圆；(3)圆的周长和面积可求【解】(1)在空间中与定点距离等于定长的点的
39、集合是球面；(2)空间中不共面的 4 个点确定一个球；(3)球的表面积与体积可求.一、填空题 1对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四周体的内切球切于四周各正三角形的_【解析】“边的中点”类比为“各面的中心”【答案】中心 2已知bn为等比数列，b52，则 b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为_【解析】乘积类比和，幂类比积，a1a2a3a929.【答案】a1a2a3a929 3在平面上，若两个正三角形的边长的比为 12，则它们的面积比为 14，类似地，在空间内，若两个正四周体的棱长的比为 12，则它们的体积比为_【解析】若两个正四周体的棱长的比为 1
40、2，则它们的体积比为 18.事实上，由平面几何和立体几何的学问，可知很多比值在平面上成平方关系，在空间内成立方关系【答案】18 4在圆中，连结圆心和弦的中点的直线垂直于弦，类比圆的上述结论写出球的相应结论为_【解析】平面图形中的点线关系类比到空间为线面关系，对应得出球的相应结论：在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面【答案】在球中，连接球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面 5由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：(1)“mnnm”类比得“abba”；(2)“(mn)tmtnt”，类比得“(ab)cacbc”；(3)“|mn|m|n|”类比得“|ab|a|b|”；(4)“acb
41、cab”类比得“acbcab”以上的式子中，类比得到的结论正确的序号是_【解析】(1)(2)均正确，(3)(4)不正确，可举反例【答案】(1)(2)6(2021南通高二检测)已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四周体，类似的结论是_【解析】原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积 S12ah312arr13h.类比等体积法，V13Sh413Srrh4.【答案】正四周体的内切球的半径是高的14 7对于大于 1 的自然数 m 的 n 次幂可用奇数进行如图 218 所示的“分裂”，仿此，记 53的“分裂”中的最小数为 a，而 52的“分裂”中最大的数是 b，则 ab_.图 21
42、8【解析】，a21，b9，则 ab30.【答案】30 图 219 8如图 219 所示，对于函数 yx2(x0)图象上任意两点 A(a，a2)，B(b，b2)，线段 AB 必在曲线段AB 的上方，点 C 分向量AB的比为(0)，过 C 作 x 轴的垂线，交曲线段 AB 于 C，则由图象中点 C 在点 C的上方可得不等式a2b21(ab1)2.请分析函数 yln x(x0)的图象，类比上述不等式可以得到的不等式是_【解析】yx2的图象在 x0 时，图象下凹，且 A(a，a2)，B(b，b2)，所以点 C 的纵坐标是a2b21，点 C 与点 C的横坐标都是ab1，而点 C在曲线 yx2上，点 C
43、在点 C上方，所以 yCa2b21yC(ab1)2.yln x 的图象如图所示，图象上凸，yCyC，类比可得 ln aln b1ln ab1(a0，b0)【答案】ln aln b1ln ab1(a0，b0)二、解答题 9已知：等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，有如下的性质：(1)通项 anam(nm)d.(2)若 mnpq，且 m、n、p、qN*，则 amanapaq.(3)若 mn2p，且 m、n、pN*，则 aman2ap.(4)Sn，S2nSn，S3nS2n构成等差数列 类比上述性质，在等比数列bn中，写出相类似的性质【解】设等比数列bn中，公比为 q，前 n 项和为 Sn
44、，(1)通项 anamqnm.(2)若 mnpq，且 m，n，p，qN*，则 amanapaq.(3)若 mn2p，且 m、n、pN*，则 a2paman.(4)Sn，S2nSn，S3nS2n构成等比数列 10在等腰ABC 中，ABAC，设 P 为底边上任意一点，P 到两腰的距离分别为 h1，h2，B 到腰 AC的距离为 h，则 h1h2h，类比到空间：在等腰四周体 ABCD(对棱分别相等)中，有什么类似的结论？并给出证明【解】类比可得到如下结论：在等腰四周体 ABCD 中，设 P 为底面上任意一点，P 到三个侧面的距离分别为 h1，h2，h3，B 到侧面 ACD 的距离为 h，则 h1h2h
45、3h.证明：连接 PA，PB，PC，PD，易知ABCACDABD，记它们的面积都是 S，则四周体 ABCD 的体积 VABCD13Sh113Sh213Sh313Sh.故 h1h2h3h.11如图 2110，在三棱锥 SABC 中，SASB，SBSC，SASC，且 SA、SB、SC 和底面 ABC所成的角分别为 1、2，3，三侧面SBC，SAC，SAB 的面积分别为 S1、S2、S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想 图 2110 【解】在DEF 中，由正弦定理得 dsin Desin Efsin F.于是，类比三角形中的正弦定理，在四周体 SABC 中，猜想S1sin 1S2si
46、n 2S3sin 3成立 (老师用书独具)在公比为 4 的等比数列bn中，若 Tn是数列bn的前 n 项积，则有T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为 4100；类比上述结论，相应的在公差为 3 的等差数列an中，若 Sn是an的前 n 项和(1)写出相应的结论，推断该结论是否正确？并加以证明；(2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)【思路探究】利用等差数列与等比数列之间的类比求解【规范解答】(1)数列 S20S10，S30S20，S40S30也是等差数列，且公差为 300.该结论是正确的(证明略)(2)对于kN*，都有数列 S2kSk，S3kS2k，S4kS3k
47、是等差数列，且公差为 k2d.如图所示，在ABC 中，abcos Cccos B，其中 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，写出对空间四周体性质的猜想 【解】如图所示，在四周体 PABC 中，S1，S2，S3，S 分别表示PAB，PBC，PCA，ABC 的面积，依次表示面 PAB，面 PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小 猜想 SS1cos S2cos S3cos.21.2 演绎推理 (老师用书独具)三维目标 1.学问与技能 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，把握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简洁推理 2过程与方法 演绎推理是严谨的数学思
48、维中必不行少的推理方式，通过已学过的数学实例的讲解让同学生疏到演绎推理在数学思考中的重要作用，培育和提高同学的演绎推理或规律证明的力量这也是高中数学课程的重要目标 3情感、态度与价值观 通过演绎推理与三段论法则的学习，促使同学崇尚理智、规律、科学，提倡求实精神、批判精神严谨的规律思维训练、缜密的思考与推算过程，可促使同学的道德准则合乎理性，形成诚恳、坚韧、谨慎、英勇和一丝不苟等共性品质 重点、难点 重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行演绎推理 难点：“三段论”的推理形式的理解及其在推理中的应用 (老师用书独具)教学建议 1关于演绎推理的概念的教学 关于演绎推理的概念的教学，建议老师结
49、合已学过的数学实例和生活中的实例，让同学分析几个例子的推理过程，明确每个例子的推理形式，体会演绎推理是由一般到特殊的推理，从中挖掘、提炼出演绎推理的含义和推理方法，同时订正推理过程中可能犯的典型错误，挂念同学了解演绎推理的含义，使同学能应用演绎推理解决问题 2关于演绎推理的模式的教学 关于演绎推理的模式的教学，建议老师留意以下几点：(1)结合具体例子说明大前提一般性原理，小前提特殊状况，结论依据一般性原理对特殊状况作出的推断(2)在用三段论证明题目时，要让同学明确演绎推理的基本过程，突出演绎推理中的“大前提”“小前提”和“结论”可先让同学自己写出证明过程，再标明相应的大前提、小前提和结论 教学
50、流程 结合学问点一中的问题给出演绎推理的含义与特点结合学问点二中的问题让同学明确三段论的模式及表示方法通过例 1 及其变式训练，让同学把握把演绎推理写成”三段论”的一般方法通过例 2及其变式训练、例 3 及互动探究，让同学理解、把握“三段论”在代数推理、几何证明中的应用完成当堂双基达标，巩固所学学问并进行反馈矫正归纳整理，进行课堂小结，整体生疏本节课所学学问与思想方法 课标解读 1.理解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简洁推理(重点、难点)2演绎推理与合情推理的区分和联系.演绎推理【问题导思】违法犯罪都是要担当相应的法律责任，盗窃行为都是违法犯罪所以盗窃行为都是要担当相应的法律责任 上述推