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1、x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 过空间一点过空间一点 引三条两两相互垂直的数轴引三条两两相互垂直的数轴,就构成就构成空间直角坐标系空间直角坐标系.o 球面方程球面方程 在空间与一定点在空间与一定点 的距离为一定值的距离为一定值 的点的轨的点的轨迹称为迹称为球面球面.),(cbaA设设 为球面上的任意一点，则为球面上的任意一点，则),(zyxMRMA Rczbyax2222)()()(因此球面方程为因此球面方程为Rczbyax222)()()(即即特别特别, ,当球心在原点时当球心在原点时, ,球面方程为球面方程为222
2、2RzyxMAxyzo常见的曲面方程常见的曲面方程R圆柱面圆柱面222Ryx椭圆抛物面椭圆抛物面22yxzxyzoxzyo.xzy0双曲抛物面双曲抛物面（马鞍面）（马鞍面）)0, 0( 2222babyaxz圆锥面圆锥面222yxzzxyo观察两个例观察两个例子子 例例4-3 一定质量的理想气体一定质量的理想气体,它的压强它的压强P和体积和体积V、绝、绝对温度对温度T之间的关系是之间的关系是VRTP （其中（其中R是比例常数）是比例常数）这两个例子的实质是依赖于多个变量的函数关系这两个例子的实质是依赖于多个变量的函数关系.二、多元函数的概念二、多元函数的概念 例例4-2 病人在进行补液时病人在
3、进行补液时,补液量补液量N与正常血容量与正常血容量V、正常红细胞比容正常红细胞比容(单位容积血液中红细胞所占容积百分单位容积血液中红细胞所占容积百分比比)A及病人红细胞比容及病人红细胞比容B的关系为的关系为)(BAVN1),(yxfz 类似地可定义三元函数类似地可定义三元函数),(zyxfu 其中、其中、 为自变量为自变量, 为因变量为因变量,点集点集 称为函数称为函数的定义域的定义域.xDzy),(21nxxxfu )2( n二元及二元以上的函数称为多元函数二元及二元以上的函数称为多元函数. 元函数记为元函数记为nzz 定义定义4-1 设有三个变量设有三个变量 、 、 ,是是 平面上平面上的
4、一个点集的一个点集.如果对于任意点如果对于任意点,变量按照一变量按照一定的法则总有唯一确定的值和它对应定的法则总有唯一确定的值和它对应,则称变量是变则称变量是变量、的量、的二元函数二元函数,记作记作 xxyzDxoyDyxP ),(y例例4-44-4 求求 的定义域的定义域.)ln(yxz解解 所求定义域为所求定义域为| ),(yxyxD自变量自变量 的取值范围称为函数的的取值范围称为函数的定义域定义域.),(yxxyoxy 无界开区域无界开区域1| ),(22yxyxD122 yx解解 所求定义域为所求定义域为例例4-54-5 求求 的定义域的定义域.)arcsin(22yxzxyo有界闭区
5、域有界闭区域| ),(12yxyxD解解 要使函数有意义要使函数有意义,必须同时满足必须同时满足例例4-64-6 求求 的定义域的定义域.yxyz12所求定义域为所求定义域为0102yxy有界闭区域有界闭区域xyo1y2xy 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz ),(),(| ),(Dyxyxfzzyx 设函数的定义域为设函数的定义域为 ，对于任意取定的，对于任意取定的 ，对应的函数值为对应的函数值为 ，这样，以，这样，以 为横坐标、为横坐标、 为纵坐标、为纵坐标、 为竖坐标在空间就确定一点为竖坐标在空间就确定一点 ，当，当 取遍取遍 上一切点时上一切点时,得到一个空间点集得到一个空
6、间点集Dxyz),(zyxM),(yxDzDyxP ),( 这个点集称为二元函数的图形这个点集称为二元函数的图形.注意注意：二元函数的图形通常是二元函数的图形通常是一张曲面一张曲面.oxyzDpxy),(zyxM三、二元函数的极限与连续三、二元函数的极限与连续 定义定义4-2 设函数设函数 在点在点 的某一邻域内的某一邻域内有定义有定义(点点 可以除外可以除外).如果当如果当 沿任何路径沿任何路径趋近于趋近于 时，函数时，函数 无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数 ,则则称称 当当 时时 ,以以 为极限，为极限，记作记作),(yxfz ),(000yxP),(000yxP),(yxP),(00
7、0yxP),(yxf),(yxf),(),(000yxPyxP（2）定义中）定义中 的方式是任意的的方式是任意的.0PP 注意注意 (1)二元函数的极限运算法则与一元函数类似二元函数的极限运算法则与一元函数类似;1.二元函数的极限二元函数的极限Ayxfyyxx),(lim00或或Ayxfpp),(lim0AA例例4-74-7 求极限求极限 1100 xyxyyxlim多元函数的极限可以应用一元函数多元函数的极限可以应用一元函数求求极极限限的的法法则则解解1100 xyxyyxlim111100 xyxyxyyx)(lim)(lim1100 xyyx2例例4-84-8 证明证明 022200yx
8、yxyxlim解解 因为因为222222220yxyyyxxyxyx又因为又因为02200yxyxlim0lim222yxyxyx所以所以例例4-94-9 证明证明 不存在不存在 2200yxxyyxlim当当k取不同的值时取不同的值时,所得的值不同所得的值不同22220 xkxkxxlim21kk2200yxxykxyxlim证明证明 当当 沿曲线沿曲线 趋于趋于 时时kxy ),(yxp)0 , 0(所以所以 不存在不存在2200yxxyyxlim2.2.二元函数的连续性二元函数的连续性 定义定义4-34-3 如果二元函数如果二元函数 满足满足),(yxfz 则称函数则称函数 在点在点 处
9、处连续连续.),(yxfz ),(000yxP(1) 在点在点 及其邻域内有定义及其邻域内有定义),(000yxP(2) 极限极限 存在存在),(limyxfpp0),(),(lim000yxfyxfpp(3) 如果如果 在区域在区域D内的每一点都连续内的每一点都连续,则称函数则称函数 在区域在区域D内连续内连续.函数的不连续点叫做函数的不连续点叫做间断点间断点.),(yxfz ),(yxfz 例例4-104-10 讨论函数讨论函数00022),(,),(,),(yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性所以函数在所以函数在(0,0)处间断处间断因为因为 不存在不存在解解2200yx
10、xyyxlim例例4-114-11 求函数求函数 的间断点的间断点. .122yxyxz 解解 函数在圆周函数在圆周 上函数没意义上函数没意义,所以圆周所以圆周上上 的点都是函数的间断点的点都是函数的间断点.122 yx122 yx 二元初等函数：二元初等函数：由二元多项式及基本初等函数经过由二元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子所有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子所表示的二元函数叫二元初等函数表示的二元函数叫二元初等函数与一元函数类似与一元函数类似,关于二元函数的连续性有以下结论关于二元函数的连续性有以下结论:(1)有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数;(2)在分母不为零处在分母不为零处,连续函数的商仍为连续函数；连续函数的商仍为连续函数；(3)连续函数的复合函数也是连续函数连续函数的复合函数也是连续函数;(4)二元初等函数在其定义域内是连续的二元初等函数在其定义域内是连续的.3. 二元函数的极限二元函数的极限4. 二元函数的连续性二元函数的连续性2. 二元函数的定义二元函数的定义主要内容主要内容1. 空间解析几何简介空间解析几何简介27 结束语结束语