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1、微分方程的物理背景第1页，本讲稿共13页1.质点的弹性振动质点的弹性振动机动 目录 上页 下页 返回 结束 F(t)yo已确定的自然规律：已确定的自然规律：1.牛顿第二定律牛顿第二定律:F=ma 2.胡克胡克(Hooke.R)定律定律:质点受到的弹性回复力与位移成正比，质点受到的弹性回复力与位移成正比，即即f2=-ky其它事实：其它事实：质点在介质中运动所受阻力与质点运动速度成正比，质点在介质中运动所受阻力与质点运动速度成正比，即即f1=-rv.令质点离开平衡位置的距离为令质点离开平衡位置的距离为y(t),介质中运动所受阻力为介质中运动所受阻力为f1，弹性回复力为，弹性回复力为f2，所受，所受
2、外力为外力为F=f3，各力的数学表示代入牛顿第二定律得：各力的数学表示代入牛顿第二定律得：即得即得再令再令得规范式得规范式第2页，本讲稿共13页特例特例1：真空中落体运动：真空中落体运动机动 目录 上页 下页 返回 结束 当当r=k=0,即介质阻尼与弹性约束为即介质阻尼与弹性约束为0，且，且F=mg,则微分方程为则微分方程为再若再若t=0时，时，v(0)=v0,y(0)=y0 则得则得特例特例2：简谐振动：简谐振动当当r=0，F=0,则微分方程为则微分方程为可以验证方程的解为可以验证方程的解为第3页，本讲稿共13页机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.RLC 2.RLC 交变电路交变电路CR
3、U(t)L已确定的事实已确定的事实：1.1.欧姆定律欧姆定律：2.2.楞次定律楞次定律:3.Kirchhoff3.Kirchhoff定律定律:其它事实：其它事实：令电流令电流i=i(t)，电阻的电势降，电阻的电势降uR=uR(t)，电感的电势降，电感的电势降uL=uL(t)，电容的电势降，电容的电势降uC=uC(t)，电容电荷，电容电荷Q=Q(t)，电路输入电压，电路输入电压U=U(t),根据根据KirchhoffKirchhoff定律有定律有即得即得再令再令得规范式得规范式这说明有阻尼的机械振动与这说明有阻尼的机械振动与RLC电路，其运动变化机理，在数学上是统一电路，其运动变化机理，在数学上
4、是统一的。的。第4页，本讲稿共13页机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.3.冷却与衰变冷却与衰变例例1.11.1一温度为一温度为500500的物体置于的物体置于2020的环境中，的环境中，2 2分钟后温度降为分钟后温度降为400400，问，问1010分钟分钟后温度降至多少？后温度降至多少？冷却定律冷却定律：物体温度下降速率和物体与环境温差成正比物体温度下降速率和物体与环境温差成正比令温度为令温度为T=T(t),将冷却定律表示成数学形式即得将冷却定律表示成数学形式即得其中其中k为比例常数，从而得为比例常数，从而得t 与与 T的微元关系的微元关系两边积分得两
5、边积分得根据初始数据根据初始数据t=0,T=500以及以及t=2,T=400即得即得C=480,在表达式在表达式中代入中代入t=10得得第5页，本讲稿共13页第二节 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.2 1.2 放射性衰变放射性衰变已确定规律：放射性物质的放射速率与质量本身成正比已确定规律：放射性物质的放射速率与质量本身成正比令放射性物质的质量为令放射性物质的质量为m=m(t),将放射律表示成数学形式即得将放射律表示成数学形式即得其中其中k为比例常数，从而得为比例常数，从而得t 与与 m 的微元关系的微元关系两边积分得两边积分得令初始数据为令初始数据为t=t0,m=m0 即得即得从而放射过
6、程为从而放射过程为第6页，本讲稿共13页机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.4.人口增长人口增长（1 1）马尔萨斯人口律：）马尔萨斯人口律：若人口的生存环境宽松，食物充裕，则其增长率与人口基数成正比。若人口的生存环境宽松，食物充裕，则其增长率与人口基数成正比。设某地区人口总数为设某地区人口总数为N=N(t),由马尔萨斯人口律得由马尔萨斯人口律得从而得从而得t 与与 N 的微元关系的微元关系两边积分得两边积分得令初始数据令初始数据t=t0,N=N0即得即得第7页，本讲稿共13页（2 2）LogisticLogistic人口律：人口律：在人口群体中，由于生存
7、竞争而产生一个与人口平方成正比的负增长率。在人口群体中，由于生存竞争而产生一个与人口平方成正比的负增长率。设某地区人口总数为设某地区人口总数为N=N(t),由由Logistic律得律得令令ab,N(t0)=N0解得解得otNN0第8页，本讲稿共13页5.5.溶液淡化溶液淡化例例1.3.1.3.容器内有容器内有100100升浓度升浓度1010的盐溶液，若以的盐溶液，若以3 3升升/秒的匀速往容器中注入净水，秒的匀速往容器中注入净水，同时又以同时又以2升升/秒的速度将搅匀后的溶液排出，问过程开始后秒的速度将搅匀后的溶液排出，问过程开始后1分钟时溶液的浓度？分钟时溶液的浓度？溶液淡化是一不均匀的过程
8、，须用微元法来分析！溶液淡化是一不均匀的过程，须用微元法来分析！设时刻为设时刻为t t时溶液的含盐量为时溶液的含盐量为x=x(t),x=x(t),任选时间微元区间任选时间微元区间t,t+dt,t,t+dt,由于由于dtdt充分小，充分小，因此微元时间间隔内过程可视为均匀的。根据微分的定义即得因此微元时间间隔内过程可视为均匀的。根据微分的定义即得 根据厨师数据根据厨师数据x(0)=10,x(0)=10,即得溶液淡化的数学模型：即得溶液淡化的数学模型：求解后得：求解后得：，1 1分钟后分钟后 ，浓度为，浓度为 第9页，本讲稿共13页6.6.二体运动（行星绕日运动）二体运动（行星绕日运动）Keple
9、rKepler三律（被称为三律（被称为“太空宪法太空宪法”）：）：（A A）行星绕日运动轨道是椭圆，太阳是轨道的一焦点上；）行星绕日运动轨道是椭圆，太阳是轨道的一焦点上；（B B）太阳与行星的连线（经线）在相同时间间隔内扫过相同的面积；）太阳与行星的连线（经线）在相同时间间隔内扫过相同的面积；（C C）行星公转周期的平方与它到太阳平均距离的立方成正比。）行星公转周期的平方与它到太阳平均距离的立方成正比。精确解释精确解释建立行星绕日运动的数建立行星绕日运动的数学模型学模型万有引力定律：行星受到太阳的引力万有引力定律：行星受到太阳的引力f f与矢径与矢径r r的平方成反比，与行星质量的平方成反比，
10、与行星质量m m与太阳质量与太阳质量M M的乘的乘积成正比，引力方向与矢径方向相反。积成正比，引力方向与矢径方向相反。运用牛顿第二定律，表示成数学表达式得：运用牛顿第二定律，表示成数学表达式得：其中其中u ur r表示单位矢径。表示单位矢径。第10页，本讲稿共13页xPo令令 这里这里 表示动点表示动点P P的极坐标的极坐标此时矢径为此时矢径为记记表示矢径方向的单位向量，表示矢径方向的单位向量，表示与矢径正交的单位矢量表示与矢径正交的单位矢量则有如下关系式：则有如下关系式：令令 v=v(t)v=v(t)表示表示 U(t)U(t)的瞬时速度，则有的瞬时速度，则有令令 a=a(t)a=a(t)表示
11、表示 v(t)v(t)的瞬时加速度，则有的瞬时加速度，则有简记简记则有则有第11页，本讲稿共13页代入牛顿第二定律得代入牛顿第二定律得由于两个单位向量的正交性即得由于两个单位向量的正交性即得这就是二体运动方程这就是二体运动方程由极坐标表示的行星绕日运动的微分方程。由极坐标表示的行星绕日运动的微分方程。第12页，本讲稿共13页试建立具有下列性质的曲线满足的微分方程。试建立具有下列性质的曲线满足的微分方程。1 1，曲线上任意点的切线与该点的径向夹角为，曲线上任意点的切线与该点的径向夹角为 。2 2，曲线上任意点的切线介于两个坐标之间的部分等于定长，曲线上任意点的切线介于两个坐标之间的部分等于定长a.a.3.3.容器内有容器内有100100升浓度升浓度2020的盐溶液，若以的盐溶液，若以3 3升升/秒的匀速往容器中注入秒的匀速往容器中注入33的溶液的溶液 ，同时又以，同时又以2升升/秒的速度将搅匀后的溶液排出，将溶液稀释的定量过程用微分方秒的速度将搅匀后的溶液排出，将溶液稀释的定量过程用微分方程来描述。程来描述。第13页，本讲稿共13页