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1、几类简单的微分方程2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系1第1页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系2积分问题积分问题微分方程问题微分方程问题推广推广第第6节节 几类简单的微分方程几类简单的微分方程本节仅讨论几类能直接利用积分方法求解的简单微分本节仅讨论几类能直接利用积分方法求解的简单微分方程及其应用方程及其应用.ch7.ch7章对微分方程的理论及其求解将进章对微分方程的理论及其求解将进行较为系统的介绍行较为系统的介绍第2页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系3第第6节节 几类简单的微分方程几类简单的微分方程6
2、.1 几个基本概念几个基本概念6.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程6.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程6.4 变量代换法变量代换法6.5 可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程6.6 应用举例应用举例第3页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系4解解6.1、几个基本概念、几个基本概念第4页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系5解解第5页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系6代入条件后知代入条件后知故故开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需第6页，本讲稿共68页2008年1
3、2月17日南京航空航天大学 理学院 数学系7微分方程微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程.例例实质实质:联系自变量联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数未知函数以及未知函数的某些导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.分类分类1 1:常微分方程常微分方程,偏微分方程偏微分方程.第7页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系8一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶(n)微分方程微分方程分类分类2 2:微分方程的阶微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为高阶导
4、数的阶数称为微分方程的阶微分方程的阶.第8页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系9分类分类3 3:线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程.分类分类4 4:单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组.如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程.第9页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系10微分方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.微分方程的解的分类微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解:微分方程的解中含有任意常数微分方程的
5、解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶且任意常数的个数与微分方程的阶数相同数相同.第10页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系11(2)(2)特解特解:确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.通解的图象通解的图象:积分曲线族积分曲线族.初始条件初始条件:用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.第11页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系12过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题
6、:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.第12页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系13解解第13页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系14所求特解为所求特解为补充补充:微分方程的初等解法微分方程的初等解法:初等积分法初等积分法.求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)第14页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系156.2 6.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程第15页，本讲稿共68页2008年1
7、2月17日南京航空航天大学 理学院 数学系16定义定义分离变量法步骤分离变量法步骤:1.分离变量分离变量;2.两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.第16页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系17可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法解法为微分方程的解为微分方程的解.第17页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系18例例4 4求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分第18页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系19例例5解解第19页，本讲稿共68页2008年12月17日南
8、京航空航天大学 理学院 数学系20一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.例如例如线性的线性的;6.3 6.3 一阶线形微分方程一阶线形微分方程第20页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系21齐次方程的通解为齐次方程的通解为1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)第21页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系222.线性非齐次方程线性非齐次方程讨论讨论两边积分两边积分非齐方程通解形
9、式非齐方程通解形式与齐方程通解相比与齐方程通解相比:第22页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系23常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换第23页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系24对应齐次方程通解齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解 解非齐次方程解非齐次方程用用常数变易法常数变易法:则则故原方程的通解故原方程的通解即即即即作变换作变换两端积分得两端积分得第24页，本讲稿共68页2
10、008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系25解解例例1 1第25页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系26求一连续可导函数求一连续可导函数使其满足下列方程使其满足下列方程:提示提示:令令则有则有利用公式可求出利用公式可求出例例2第26页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系276.4 6.4 变量代换法变量代换法2 2 伯努利方程伯努利方程1 齐次方程齐次方程3 其他的变量替换法举例其他的变量替换法举例第27页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系286.4 6.4 变量代换法变量代换
11、法的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.(2)解法解法作变量代换作变量代换代入原式代入原式可分离变量的方程可分离变量的方程(1)(1)定义定义1 齐次方程齐次方程第28页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系29例例 1 1求解微分方程求解微分方程微分方程的解为微分方程的解为解解第29页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系30伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式方程为方程为线性微分方程线性微分方程.方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.2 伯努利方程伯努利方程解法解法:需经过变量代换化为线性
12、微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.第30页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系31求出通解后，将求出通解后，将代入即得代入即得代入上式代入上式第31页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系32解解例例2第32页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系33解解代入原方程代入原方程原方程的通解为原方程的通解为3 其他的变量替换法举例其他的变量替换法举例第33页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系34通解为通解为解解第34页，本讲稿共68页2008年12月17日南京
13、航空航天大学 理学院 数学系35EX3.1第35页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系361解解代入原方程代入原方程原方程的通解原方程的通解第36页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系37解解分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为第37页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系383.解解第38页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系39(h,k为待为待例例5 5 求解求解可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程作变换作变换原方程化为原方程化为令令,解出解出h
14、,k(齐次方程齐次方程)定常数定常数),第39页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系40求出其通解后求出其通解后,即得即得原方程的通解原方程的通解.原方程可化为原方程可化为令(可分离变量方程可分离变量方程)第40页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系41解解代入原方程得代入原方程得例例方程变为方程变为第41页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系42分离变量分离变量,得得得原方程的通解得原方程的通解第42页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系436.5 6.5
15、可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程1、型型降阶降阶n阶降到阶降到n-1阶阶2、型型3、型型第43页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系44型型代入原方程代入原方程,得得解法：解法：特点：特点：P(x)的的(n-k)阶方程阶方程可得通解可得通解.第44页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系45解解代入原方程代入原方程解线性方程解线性方程,得得两端积分两端积分,得得原方程通解为原方程通解为例例1第45页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系46型型求得其解为求得其解为原方程通解为原方程通解为特点：特点
16、：解法：解法：第46页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系47解解代入原方程得代入原方程得原方程通解为原方程通解为例例2第47页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系486.66.6、微分方程应用举例、微分方程应用举例应用微分方程解决实际问题的基本步骤：应用微分方程解决实际问题的基本步骤：（1）分析问题，建立起实际问题的数学分析问题，建立起实际问题的数学模型模型常微分方程常微分方程（组）（组）（2）求解与分析这一数学模型，即求出求解与分析这一数学模型，即求出相应的常微分方程（组）的解，或相应的常微分方程（组）的解，或是精确解或近
17、似解，其中还包括分是精确解或近似解，其中还包括分析解的特性析解的特性第48页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系49（3）用所得的数学结果（解的形式和数用所得的数学结果（解的形式和数值定性分析等）回过头去解决实际值定性分析等）回过头去解决实际问题，从而预测某些自然现象甚至问题，从而预测某些自然现象甚至社会现象中的特定性质，以便达到社会现象中的特定性质，以便达到能动地能动地改变世界解决实际问题的目的。改变世界解决实际问题的目的。1.根据规律列方程，根据规律列方程，2.微分分析法（微元法），微分分析法（微元法），3.模拟近似法。模拟近似法。基基本本方方法法第49页
18、，本讲稿共68页例例1解解衰变规律衰变规律第50页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系51例例2解解第51页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系52第52页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系53流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积例例3解解重力加速度重力加速度第53页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系54设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔水面的高度由水面的高度由h降至降至,比较比较(1)和和(2)得得:第54页，本讲稿共68页可分离变量可分离变量所求
19、规律为所求规律为第55页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系56AB例例4 4第56页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系57解解第57页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系58第58页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系61OxyATS例例5 5解解第61页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系62OxyATS第62页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系63第63页，本讲稿共68页2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系64注意注意第64页，本讲稿共68页