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1、1/862022022 2 年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）专题专题 6 几何综合类比探究变化型问题几何综合类比探究变化型问题【真题再现】【真题再现】1（2021江苏淮安中考真题）【知识再现】学完全等三角形一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称 HL 定理）”是判定直角三角形全等的特有方法【简单应用】如图（1），在ABC 中，BAC90，ABAC，点 D、E 分别在边 AC、AB 上若 CEBD，则线段 AE 和线段 AD 的数量关系是【拓展延伸】在ABC 中，BAC（90180），ABACm，点
2、 D 在边 AC 上（1）若点 E 在边 AB 上，且 CEBD，如图（2）所示，则线段 AE 与线段 AD 相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由（2）若点 E 在 BA 的延长线上，且 CEBD试探究线段 AE 与线段 AD 的数量关系（用含2/86有 a、m 的式子表示），并说明理由【答案】【简单应用】AEAD；【拓展延伸】（1）相等，证明见解析；（2）AEAD2ACcos（180），理由见解析【解析】【分析】简单应用：证明 RtABDRtACE（HL），可得结论拓展延伸：（1）结论：AEAD如图（2）中，过点 C 作 CMBA 交 BA 的延长线于 M，过点 N 作 BN
3、CA 交 CA 的延长线于 N证明CAMBAN（AAS），推出 CMBN，AMAN，证明 RtCMERtBND（HL），推出 EMDN，可得结论（2）如图（3）中，结论：AEAD2mcos（180）在 AB 上取一点 E，使得 BDCE，则 ADAE过点 C 作 CTAE 于 T证明 TETE，求出 AT，可得结论【详解】简单应用：解：如图（1）中，结论：AEAD理由：AA90，ABAC，BDCE，RtABDRtACE（HL），ADAE故答案为：AEAD拓展延伸：（1）结论：AEAD理由：如图（2）中，过点 C 作 CMBA 交 BA 的延长线于 M，过点 N 作 BNCA 交 CA 的延长线
4、于 NMN90，CAMBAN，CABA，CAMBAN（AAS），CMBN，AMAN，MN90，CEBD，CMBN，3/86RtCMERtBND（HL），EMDN，AMAN，AEAD（2）如图（3）中，结论：AEAD2mcos（180）理由：在 AB 上取一点 E，使得 BDCE，则 ADAE过点 C 作 CTAE 于 TCEBD，CEBD，CECE，CTEE，ETTE，ATACcos（180）mcos（180），AEADAEAE2AT2mcos（180）【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，解题的关键在于能够熟练寻找全等三角形解决问题.2（2
5、021江苏镇江中考真题）如图 1，ABCDEF90，AB，FE，DC 为铅直方向的边，AF，ED，BC 为水平方向的边，点 E 在 AB，CD 之间，且在 AF，BC之间，我们称这样的图形为“L 图形”，记作“L 图形 ABCDEF”若直线将 L 图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该 L 图形的面积平分线【活动】小华同学给出了图 1 的面积平分线的一个作图方案：如图 2，将这个 L 图形分成矩形 AGEF、矩形 GBCD，这两个矩形的对称中心 O1，O2所在直线是该 L 图形的面积平分线请用无刻度的直尺在图 1 中作出其他的面积平分线（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）4/86【
6、思考】如图 3，直线 O1O2是小华作的面积平分线，它与边 BC，AF 分别交于点 M，N，过 MN 的中点 O 的直线分别交边 BC，AF 于点 P，Q，直线 PQ（填“是”或“不是”）L 图形 ABCDEF的面积平分线【应用】在 L 图形 ABCDEF 形中，已知 AB4，BC6（1）如图 4，CDAF1该 L 图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点 P，Q，求 PQ 长的最大值；该 L 图形的面积平分线与边 AB，CD 分别相交于点 G，H，当 GH 的长取最小值时，BG的长为（2）设CDAFt（t0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边AB，CD 相交的面积
7、平分线，直接写出 t 的取值范围【答案】【活动】见解析；【思考】是；【应用】（1）10；34；（2）13t23【解析】【分析】活动如图 1，根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心 O1，O2所在直线是该 L 图形的面积平分线；思考如图 2，证明OQNOPM（AAS），根据割补法可得直线 PQ 是 L 图形 ABCDEF 的面积平分线；应用（1）建立平面直角坐标系，分两种情况：如图 31 和 32，根据中点坐标公式和待定5/86系数法可得面积平分线的解析式，并计算 P 和 Q 的坐标，利用两点的距离公式可得 PQ 的长，并比较大小可得结论；当 GHAB 时，GH 最小，设 BG
8、x，根据面积相等列方程，解出即可；（2）如图 5，由已知得：CDtAF，直线 DE 将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边 AB，CD 相交的面积平分线，列不等式可得 t 的取值【详解】解：【活动】如图 1，直线 O1O2是该 L 图形的面积平分线；【思考】如图 2，AB90，AFBC，NQOMPO，点 O 是 MN 的中点，ONOM，在OQN 和OPM 中，NQOMPONOQMOPONOW ，OQNOPM（AAS），SOQNSOPM，S梯形ABMNSMNFEDC，S梯形ABMNSOPMSMNFEDCSOQN，即 SABPO
9、NSCDEFQOM，6/86SABPON+SOQNSCDEFQOM+SOPM，即 S梯形ABPQSCDEFQP，直线 PQ 是 L 图形 ABCDEF 的面积平分线故答案为：是；【应用】（1）如图 3，当 P 与 B 重合时，PQ 最大，过点 Q 作 QHBC 于 H，L 图形 ABCDEF 的面积=46-（4-1）（6-1）=9，PQ 是 L 图形 ABCDEF 的面积平分线，梯形 CDQP 的面积=12（DQ+BC）CD=92，即12（DQ+6）1=92，DQ=CH=3，PH=6-3=3，QH=CD=1，由勾股定理得：PQ=2231=10；PQ 长的最大值为10；如图 4，当 GHAB 时
10、 GH 最短，过点 E 作 EMAB 于 M，设 BGx，则 MG1x，根据上下两部分面积相等可知，6x（41）1+（1x）6，7/86解得 x34，即 BG34；故答案为：34；（2）CDAFt（t0），CDtAF，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边 AB，CD 相交的面积平分线，如图 5，直线 DE 将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边 AB，CD 相交的面积平分线，即（4tAF）AF6tAF，46AFt，0AF6，04t66，1233t 故答案为：13t23【点睛】本题是四边形的综合题，考查了应用
11、与设计作图，矩形的性质和判定，四边形面积的平分，三角形全等的性质和判定等知识，并结合平面直角坐标系计算线段的长，明确面积平分线的画法，并熟练掌握矩形面积平分线是过对角线交点的性质是解题的关键3（2021江苏南通中考真题）如图，正方形ABCD中，点 E 在边AD上（不与端点 A，D重合），点 A 关于直线BE的对称点为点 F，连接CF，设ABE8/86（1）求BCF的大小（用含的式子表示）；（2）过点 C 作CGAF，垂足为 G，连接DG判断DG与CF的位置关系，并说明理由；（3）将ABE绕点 B 顺时针旋转90得到CBH，点 E 的对应点为点 H，连接BF，HF当BFH为等腰三角形时，求sin
12、的值【答案】(1)45+(2)DG/CF理由见解析(3)55【解析】【分析】(1)作辅助线 BF，用垂直平分线的性质，推导边相等、角相等再用三角形内角和为180算出BCF(2)作辅助线 BF、AC，先导角证明CFG是等腰直角三角形、ADC是等腰直角三角形 再证明ADM AGC、DGC AFC，最后用内错角相等，两直线平行，证得 DG/CF(3)BFH为等腰三角形，要分三种情况讨论：FH=BHBF=FHBF=BH，根据题目具体条件，舍掉了、种，第种用正弦函数定义求出比值即可【详解】(1)解：连接 BF，设 AF 和 BE 相交于点 N点 A 关于直线 BE 的对称点为点 FBE 是 AF 的垂直
13、平分线BEAF，AB=BF9/86BAFBFA=ABE=90-=BAFBFA=180-90-90-=EBF 四边形 ABCD 是正方形AB=BC，=90ABC=90-2，FBCABBCBF BFCBCF 180，902BFCBCFFBCFBC 180902=452BFCBCF (2)位置关系：平行理由：连接 BF，AC，DG设 DC 和 FG 的交点为点 M，AF 和 BE 相交于点 N由(1)可知，90，ABEEBFBAFBFA 45BFCBCF 9045135AFCAFBCFB 18045CFGAFC CGAG90FGC18045GCFFGCCFGCFG CGF是等腰直角三角形12CGCF
14、四边形 ABCD 是正方形90，BADADCBCDADCD ADC是等腰直角三角形1，452DCACDAC10/8645BCABE垂直平分 AF90ANE 180NAEANEAEN 在ADM和CGM中，90ADCAGCAMDCMG ADM CGMMCGGAD 45，45BCABCF=ACFBCFBCA 在DGC和AFC中，1，2DCCGDCGACFACFC DGC AFC135AFCDGC 1359045DGADGCAGC 45DGACFG CF/DG(3)BFH为等腰三角形有三种情况：FH=BHBF=FHBF=BH，要分三种情况讨论：当 FH=BH 时，作MHBF于点 M由(1)可知：AB=
15、BF，ABEEBF 四边形 ABCD 是正方形，90，90ABBCABCBAE设 AB=BF=BC=a将ABE绕点 B 顺时针旋转90得到CBH，CBHABEBHBE 90290FBHABCABFCBH 11/86FH=BH90HBFBFH 1802FHBFBHBFH BFH是等腰三角形，BHHFHMBF1，22aBHMFHMBMMFBF 在ABE和MHB中，90BAEBMHBHMABE ABE MHB1BMBHAEBEBM=AE=2a22225+=22aaBEAEABa5=5AEsinBE当 BF=FH 时，设 FH 与 BC 交点为 OABE绕点 B 顺时针旋转90得到CBHABECBH
16、由(1)可知：2ABF902FBC 90290FBHFBCCBH BFFH90FBHFHB 18090BOHCBHBHF 12/86此时，BOH与BCH重合，与题目不符，故舍去当 BF=BH 时，由(1)可知：AB=BF设 AB=BF=a四边形 ABCD 是正方形AB=BC=aBF=BHBF=BH=BC=a而题目中，BC、BH 分别为直角三角形 BCH 的直角边和斜边，不能相等，与题目不符，故舍去故答案为：55【点睛】本题考查了三角形内角和定理(三角形内角和为180)、平行线证明(内错角相等，两直线平行)、相似三角形证明(两组对应角分别相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形
17、相似)、等腰直角三角形三边比例关系(1：1：2)、正弦函数定义式(对边：斜边)4（2021江苏无锡中考真题）已知四边形ABCD是边长为 1 的正方形，点 E 是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，90AEF，设BEm（1）如图 1，若点 E 在线段BC上运动，EF交CD于点 P，AF交CD于点 Q，连结CF，13/86当13m 时，求线段CF的长；在PQEV中，设边QE上的高为 h，请用含 m 的代数式表示 h，并求 h 的最大值；（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为 y，请直接写出 y 与 m 的关系式【答案】（1）2
18、3；2hmm，h最大值=14；（2）32222211(0)22211()222mmmmmymmmm【解析】【分析】（1）过点 F 作 FMBC，交 BC 的延长线于点 M，先证明ABEEMF，可得 FM=13，CM=13，进而即可求解；由BAECEP，得 CP=2mm，把ADQ绕点 A 顺时针旋转90得ABG，可得 EQ=DQ+BE，利用勾股定理得 DQ=11mm，EQ=211mm，QP=31mmm，结合三角形面积公式，即可得到答案；（2）以点 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，则 E(m，0)，A(0，1)，F(1+m，m)，从而求出 AE 的解析式为：y=1mx+1
19、，AF 的解析式为：y=11mmx+1，EF 的解析式为：y=mx-m2，再分两种情况：当 0m12时，当 m12时，分别求解即可【详解】解：（1）过点 F 作 FMBC，交 BC 的延长线于点 M，在等腰直角三角形AEF中，90AEF，AE=FE，在正方形ABCD中，B=90，BAE+AEB=FEM+AEB，BAE=FEM，又B=FME，ABEEMF，14/86FM=BE=13，EM=AB=BC，CM=BE=13，CF=22112333；BAE=FEC，B=ECP=90，BAECEP，CPCEBEAB，即：11CPmm，CP=2mm，把ADQ绕点 A 顺时针旋转 90得ABG，则 AG=AQ
20、，GAB=QAD，GB=DQ，EAF=45，BAE+QAD=BAE+GAB=90-45=45，即：GAE=EAF=45，ABG=ABE=90，B、G、E 三点共线，又AE=AE，GAEEAQ，EQ=EG=GB+BE=DQ+BE，在Rt CEQ中，222CECQQE，即：22211mDQmDQ，DQ=11mm，EQ=DQ+BE=11mm+m=211mm，QP=1-11mm-(2mm)=31mmm，1122QPESQP CEQE h，即：31mmm(1-m)=211mmh，2hmm=21124m，即 m=12时，h最大值=14；（3）以点 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，
21、则 E(m，0)，A(0，1)，15/86直线 m 过 AB 的中点且垂直 AB，直线 m 的解析式为：x=12，过点 F 作 FMx 轴于点 M，由（1）可知：ABEEMF，即 FM=BE，EM=AB，F(1+m，m)，设 AE 的解析式为：y=kx+b，把 E(m，0)，A(0，1)代入上式，得01kmbb，解得：11kmb，AE 的解析式为：y=1mx+1，同理：AF 的解析式为：y=11mmx+1，EF 的解析式为：y=mx-m2，当 0m12时，如图，G(12，3122mm)，N(12，12m-m2)，y=3122mm-(12m-m2)=3222122mmmm，当 m12时，如图，G
22、(12，3122mm)，N(12，212mm)，y=3122mm-212mm=22122mmm，综上所述：32222211(0)22211()222mmmmmymmmm16/86【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，添加辅助线构造全等三角形，建立坐标系，把几何问题用代数的方法解决，是解题的关键5（2020 年扬州第 27 题）如图 1，已知点 O 在四边形 ABCD 的边 AB 上，且 OAOBOCOD2，OC 平分BOD，与 BD 交于点 G，AC 分别与 BD、OD 交于点 E、F（1）求证：OCAD；（2）如图 2，若 DEDF
23、，求?的值；（3）当四边形 ABCD 的周长取最大值时，求?的值【分析】（1）由等腰三角形的性质及角平分线的定义证得ADODOC，则可得出结论；（2）证明AOD 和ABD 为等腰直角三角形，得出?，证明ADEAOF，由相似三角形的性质可得出结论；17/86（3）设 BCCDx，CGm，则 OG2m，由勾股定理得出 4（2m）2x2m2，解得：m?，可用 x 表示四边形 ABCD 的周长，根据二次函数的性质可求出 x2 时，四边形 ABCD 有最大值，得出ADFDOC60，DAE30，由直角三角形的性质可得出答案【解析】（1）证明：AOOD，OADADO，OC 平分BOD，DOCCOB，又DOC
24、+COBOAD+ADO，ADODOC，COAD；（2）解：如图 1，OAOBOD，ADB90，设DAC，则ACODACOAOD，DAOC，ODAOAD2，DFE3，DFDE，DEFDFE3，490，22.5，DAO45，AOD 和ABD 为等腰直角三角形，AD?AO，?，DEDF，18/86DFEDEF，DFEAFO，AFOAED，又ADEAOF90，ADEAOF，?（3）解：如图 2，ODOB，BOCDOC，BOCDOC（SAS），BCCD，设 BCCDx，CGm，则 OG2m，OB2OG2BC2CG2，4（2m）2x2m2，解得：m?，OG2?，ODOB，DOGBOG，G 为 BD 的中点
25、，又O 为 AB 的中点，AD2OG4?，四边形 ABCD 的周长为 2BC+AD+AB2x+4?4?2x+8?10，?0，x2 时，四边形 ABCD 的周长有最大值为 10BC2，BCO 为等边三角形，BOC60，19/86OCAD，DAOCOB60，ADFDOC60，DAE30，AFD90，?，DF?DA，?6（2020 年苏州第 26 题）问题 1：如图，在四边形 ABCD 中，BC90，P 是BC 上一点，PAPD，APD90求证：AB+CDBC问题 2：如图，在四边形 ABCD 中，BC45，P 是 BC 上一点，PAPD，APD90求?t?t?的值【分析】（1）由“AAS”可知BA
26、PCPD，可得 BPCD，ABPC，可得结论；（2）过点 A 作 AEBC 于 E，过点 D 作 DFBC 于 F，由（1）可知 EFAE+DF，由等腰直角三角形的性质可得 BEAE，CFDF，AB?AE，CD?DF，即可求解【解析】证明：（1）BAPD90，BAP+APB90，APB+DPC90，BAPDPC，又 PAPD，BC90，BAPCPD（AAS），BPCD，ABPC，BCBP+PCAB+CD；（2）如图 2，过点 A 作 AEBC 于 E，过点 D 作 DFBC 于 F，由（1）可知，EFAE+DF，20/86BC45，AEBC，DFBC，BBAE45，CCDF45，BEAE，CF
27、DF，AB?AE，CD?DF，BCBE+EF+CF2（AE+DF），?t?t?7（2020年南京第26题）如图，在ABC和ABC中，D、D分别是AB、AB上一点，?t?t?t?ttt（1）当?t?t?t?t?t?ttt时，求证ABCABC证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格（2）当?t?t?t?t?t?tt?t时，判断ABC 与ABC是否相似，并说明理由【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可（2）过点 D，D分别作 DEBC，DEBC，DE 交 AC 于 E，DE交 AC于 E首先证明CEDCED，推出CEDCED，再证明ACBACB即可解决问题【解析】（1）证明
28、：?t?t?t?ttt，?t?t?t?ttt，?t?t?t?t?t?ttt，?t?t?t?t?t?t，ADCADC，AA，21/86?t?t?t?ttt，ABCABC故答案为：?t?t?t?t?t?t，AA（2）结论：ABCABC理由：如图，过点 D，D分别作 DEBC，DEBC，DE 交 AC 于 E，DE交 AC于 EDEBC，ADEABC，?t?t?，同理，?t?t?ttt?tttt?t?tt?t?t，?t?t?t?ttt，?t?tttt?t，?tt?t?tt?t，同理，?tt?t?t，?t?t?tt?t?t，即?t?t?t?t，?t?t?t?t，?t?t?t?t?t?tt?t，?t?t
29、?tt?t?t，DCEDCE，CEDCED，DEBC，CED+ACB180，22/86同理，CED+ACB180，ACBACB，?t?t?t?ttt，ABCABC8（2020 年连云港第 27 题）（1）如图 1，点 P 为矩形 ABCD 对角线 BD 上一点，过点 P 作EFBC，分别交 AB、CD 于点 E、F若 BE2，PF6，AEP 的面积为 S1，CFP的面积为 S2，则 S1+S212；（2）如图 2，点 P 为 ABCD 内一点（点 P 不在 BD 上），点 E、F、G、H 分别为各边的中点设四边形 AEPH 的面积为 S1，四边形 PFCG 的面积为 S2（其中 S2S1），求
30、PBD 的面积（用含 S1、S2的代数式表示）；（3）如图 3，点 P 为 ABCD 内一点（点 P 不在 BD 上），过点 P 作 EFAD，HGAB，与各边分别相交于点 E、F、G、H设四边形 AEPH 的面积为 S1，四边形 PGCF 的面积为 S2（其中 S2S1），求PBD 的面积（用含 S1、S2的代数式表示）；（4）如图 4，点 A、B、C、D 把O 四等分请你在圆内选一点 P（点 P 不在 AC、BD上），设 PB、PC、t?围成的封闭图形的面积为 S1，PA、PD、?围成的封闭图形的面积为 S2，PBD 的面积为 S3，PAC 的面积为 S4，根据你选的点 P 的位置，直接写
31、出一个含有 S1、S2、S3、S4的等式（写出一种情况即可）【分析】（1）如图 1 中，求出PFC 的面积，证明APE 的面积PFC 的面积即可（2）如图 2 中，连接 PA，PC，在APB 中，因为点 E 是 AB 的中点，可设 SAPESPBEa，同理，SAPHSPDHb，SPDGSPGCc，SPFCSPBFd，证明 S四边形AEPH+S四边形PFCGS四边形PEBF+S四边形PHDGS1+S2，推出 SABD?S平行四边形ABCDS1+S2，根据 S23/86PBDSABD（S1+SPBE+SPHD）S1+S2（S1+a+S1a）S2S1可得结论（3）如图 3 中，由题意四边形 EBGP
32、，四边形 HPFD 都是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可（4）分四种情形：如图 41 中，结论：S2S1S3+S4设线段 PB，线段 PA，弧 AB 围成的封闭图形的面积为 x，线段 PC，线段 PD，弧 CD 的封闭图形的面积为 y由题意：S1+x+S4S1+y+S3，推出 xyS3S4，由题意 S1+S2+x+y2（S1+x+S4），可得 S2S1xy+2S4S3+S4其余情形同法可求【解析】（1）如图 1 中，过点 P 作 PMAD 于 M，交 BC 于 N四边形 ABCD 是矩形，EFBC，四边形 AEPM，四边形 MPFD，四边形 BNPE，四边形 PNCF 都是矩形，BEP
33、NCF2，SPFC?PFCF6，SAEPSAPM，SPEBSPBN，SPDMSPFD，SPCNSPCF，SABDSBCD，S矩形AEPMS矩形PNCF，S1S26，S1+S212，故答案为 12（2）如图 2 中，连接 PA，PC，在APB 中，点 E 是 AB 的中点，可设 SAPESPBEa，同理，SAPHSPDHb，SPDGSPGCc，SPFCSPBFd，24/86S四边形AEPH+S四边形PFCGa+b+c+d，S四边形PEBF+S四边形PHDGa+b+c+d，S四边形AEPH+S四边形PFCGS四边形PEBF+S四边形PHDGS1+S2，SABD?S平行四边形ABCDS1+S2，SP
34、BDSABD（S1+SPBE+SPHD）S1+S2（S1+a+S1a）S2S1（3）如图 3 中，由题意四边形 EBGP，四边形 HPFD 都是平行四边形，S四边形EBGP2SEBP，S四边形HPFD2SHPD，SABD?S平行四边形ABCD?（S1+S2+2SEBP+2SHPD）?（S1+S2）+SEBP+SHPD，SPBDSABD（S1+SEBP+SHPD）?（S2S1）（4）如图 41 中，结论：S2S1S3+S4理由：设线段 PB，线段 PA，弧 AB 围成的封闭图形的面积为 x，线段 PC，线段 PD，弧CD 的封闭图形的面积为 y由题意：S1+x+S4S1+y+S3，xyS3S4，
35、S1+S2+x+y2（S1+x+S4），S2S1xy+2S4S3+S4同法可证：图 42 中，有结论：S1S?S3+S4图 43 中和图 44 中，有结论：|S1S2|S3S4|25/869（2019 年宿迁中考第 28 题）如图，在钝角ABC 中，ABC30，AC4，点 D 为边 AB 中点，点 E 为边 BC 中点，将BDE 绕点 B 逆时针方向旋转度（0180）（1）如图，当 0180 时，连接 AD、CE求证：BDABEC；（2）如图，直线 CE、AD 交于点 G在旋转过程中，AGC 的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将BDE 从图位置绕点 B
36、逆时针方向旋转 180，求点 G 的运动路程【分析】（1）如图利用三角形的中位线定理，推出 DEAC，可得t?t?tt?，在图中，利用两边成比例夹角相等证明三角形细相似即可（2）利用相似三角形的性质证明即可（3）点 G 的运动路程，是图1 中的t?的长的两倍，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算即可【解析】（1）如图中，由图，点 D 为边 AB 中点，点 E 为边 BC 中点，DEAC，t?t?tt?，t?t?t?t?，DBEABC，DBAEBC，DBAEBC（2）AGC 的大小不发生变化，AGC30理由：如图中，设 AB 交 CG 于点 O26/86DBAEBC，DABECB，DAB+AOG+
37、G180，ECB+COB+ABC180，AOGCOB，GABC30（3）如图1 中设 AB 的中点为 K，连接 DK，以 AC 为边向左边等边ACO，连接OG，OB以 O 为圆心，OA 为半径作O，AGC30，AOC60，AGC?AOC，点 G 在O 上运动，以 B 为圆心，BD 为半径作B，当直线与B 相切时，BDAD，ADB90，BKAK，DKBKAK，BDBK，27/86BDDKBK，BDK 是等边三角形，DBK60，DAB30，BOG2DAB60，t?的长?t?，观察图象可知，点 G 的运动路程是t?的长的两倍?t?点评：本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，弧长公式，等
38、边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会正确寻找点的运动轨迹，属于中考压轴题10（2019 年连云港中考第 27 题）问题情境：如图 1，在正方形 ABCD 中，E 为边 BC 上一点（不与点 B、C 重合），垂直于 AE 的一条直线 MN 分别交 AB、AE、CD 于点 M、P、N 判断线段 DN、MB、EC 之间的数量关系，并说明理由问题探究：在“问题情境”的基础上（1）如图 2，若垂足 P 恰好为 AE 的中点，连接 BD，交 MN 于点 Q，连接 EQ，并延长交边 AD 于点 F求AEF 的度数；（2）如图 3，当垂足 P 在正方形 ABCD
39、 的对角线 BD 上时，连接 AN，将APN 沿着 AN翻折，点 P 落在点 P处，若正方形 ABCD 的边长为 4，AD 的中点为 S，求 PS 的最小值问题拓展：如图 4，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 M、N 分别为边 AB、CD 上的点，将正方形 ABCD 沿着 MN 翻折，使得 BC 的对应边 BC恰好经过点 A，CN 交 AD 于点 F 分别过点 A、F 作 AGMN，FHMN，垂足分别为 G、H若 AG?，请直接写出 FH 的长【分析】问题情境：过点 B 作 BFMN 分别交 AE、CD 于点 G、F，证出四边形 MBFN为平行四边形，得出 NFMB，证明ABEBCF
40、得出 BECF，即可得出结论；问题探究：（1）连接 AQ，过点 Q 作 HIAB，分别交 AD、BC 于点 H、I，证出DHQ28/86是等腰直角三角形，HDHQ，AHQI，证明 RtAHQRtQIE 得出AQHQEI，得出AQE 是等腰直角三角形，得出EAQAEQ45，即可得出结论；（2）连接 AC 交 BD 于点 O，则APN 的直角顶点 P 在 OB 上运动，设点 P 与点 B 重合时，则点 P与点 D 重合；设点 P 与点 O 重合时，则点 P的落点为 O，由等腰直角三角形的性质得出ODAADO45，当点 P 在线段 BO 上运动时，过点 P 作 PGCD 于点 G，过点 P作 PHC
41、D 交 CD 延长线于点 H，连接 PC，证明APBCPB 得出BAPBCP，证明 RtPGNRtNHP得出 PGNH，GNPH，由正方形的性质得出PDG45，易得出 PGGD，得出 GNDH，DHPH，得出PDH45，故PDA45，点 P在线段 DO上运动；过点 S 作 SKDO，垂足为 K，即可得出结果；问题拓展：延长 AG 交 BC 于 E，交 DC 的延长线于 Q，延长 FH 交 CD 于 P，则 EGAG?，PHFH，得出 AE5，由勾股定理得出 BE?t?3，得出 CEBCBE1，证明ABEQCE，得出 QE?AE?，AQAE+QE?，证明AGMABE，得出 AM?t，由折叠的性质
42、得：ABEB3，BB90，CBCD90，求出 BM?tt?t，AC1，证明AFCMAB，得出 AF?，DF4?，证明DFPDAQ，得出 FP?，得出 FH?FP?【解析】问题情境：解：线段 DN、MB、EC 之间的数量关系为：DN+MBEC；理由如下：四边形 ABCD 是正方形，ABEBCD90，ABBCCD，ABCD，过点 B 作 BFMN 分别交 AE、CD 于点 G、F，如图 1 所示：四边形 MBFN 为平行四边形，NFMB，BFAE，BGE90，CBF+AEB90，BAE+AEB90，CBFBAE，在ABE 和BCF 中，t?t?t?t?t?t?，ABEBCF（ASA），BECF，2
43、9/86DN+NF+CFBE+EC，DN+MBEC；问题探究：解：（1）连接 AQ，过点 Q 作 HIAB，分别交 AD、BC 于点 H、I，如图 2 所示：四边形 ABCD 是正方形，四边形 ABIH 为矩形，HIAD，HIBC，HIABAD，BD 是正方形 ABCD 的对角线，BDA45，DHQ 是等腰直角三角形，HDHQ，AHQI，MN 是 AE 的垂直平分线，AQQE，在 RtAHQ 和 RtQIE 中，?t?，RtAHQRtQIE（HL），AQHQEI，AQH+EQI90，AQE90，AQE 是等腰直角三角形，EAQAEQ45，即AEF45；（2）连接 AC 交 BD 于点 O，如图
44、 3 所示：则APN 的直角顶点 P 在 OB 上运动，设点 P 与点 B 重合时，则点 P与点 D 重合；设点 P 与点 O 重合时，则点 P的落点为O，AOOD，AOD90，ODAADO45，当点 P 在线段 BO 上运动时，过点 P 作 PGCD 于点 G，过点 P作 PHCD 交 CD延长线于点 H，连接 PC，点 P 在 BD 上，APPC，在APB 和CPB 中，?t?t?t?t?，APBCPB（SSS），BAPBCP，BCDMPA90，30/86PCNAMP，ABCD，AMPPNC，PCNPNC，PCPN，APPN，PNA45，PNP90，PNH+PNG90，PNH+NPH90，
45、PNG+NPG90，NPGPNH，PNGNPH，由翻折性质得：PNPN，在PGN 和NHP中，?t?t?t?tt，PGNNHP（ASA），PGNH，GNPH，BD 是正方形 ABCD 的对角线，PDG45，易得 PGGD，GNDH，DHPH，PDH45，故PDA45，点 P在线段 DO上运动；过点 S 作 SKDO，垂足为 K，点 S 为 AD 的中点，DS2，则 PS 的最小值为?；问题拓展：解：延长 AG 交 BC 于 E，交 DC 的延长线于 Q，延长 FH 交 CD 于 P，如图 4：则 EGAG?，PHFH，AE5，在 RtABE 中，BE?t?3，CEBCBE1，BECQ90，AE
46、BQEC，31/86ABEQCE，?t?3，QE?AE?，AQAE+QE?，AGMN，AGM90B，MAGEAB，AGMABE，?t，即?，解得：AM?t，由折叠的性质得：ABEB3，BB90，CBCD90，BM?tt?t，AC1，BAD90，BAMCFA，AFCMAB，?ttt?t，解得：AF?，DF4?，AGMN，FHMN，AGFH，AQFP，DFPDAQ，?，即?，解得：FP?，FH?FP?32/86点评：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角
47、形全等和三角形相似是解题的关键由题意可得：B在以 P 为圆心半径长为 6 的圆上运动，当 PH 的延长线交圆 P 于点 B时面积最大，此时 BH6?，SACB的最大值?8（6?）4?24点评：本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题【专项突破】【专项突破】1（2021江苏无锡一模）（1）请仅用无刻度的直尺作图：如图 1，菱形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 中点，以 EF 为边作一个矩形；如图 2，菱形 ABCD 中，E 是对角线 BD 上一点（BEDE），
48、以 AE 为边作一个菱形（保留作图痕迹，不写做法）（2）尺规作图：如图 3，已知四边形 ABCD，请你在 CD 边上求作一点 P，使得ADP 的面积等于ADB 的面积的一半（要求：利用无刻度直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）33/86【答案】（1）见解析；见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连接 AC，BD 交于点 O，连接 EO，延长 EO 交 CD 于 G，连接 FO，延长 FO 交 BC于 H，连接 EH，GH，FG 即可；连接 AC 交 BD 于 O，延长 AE 交 BC 于 Q，连接 QO，延长 QO 交 AD 于 P，连接 CP 交 BD 于 F，连接 AF，CF，EC
49、 即可；(2)作BTADBT/AD 交 CD 于 T，作线段 DT 的垂直平分线 MN 交 DT 于点 P，连接 AP即可【详解】解：（1）如图 1 中，矩形 EFGH 即为所求作；如图 2 中，菱形 AECF 即为所求作（2）如图 3 中，APD 即为所求作【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，34/86解题的关键是熟练掌握基本知识2（2021江苏淮安二模）如图 1，平面内有一点 P 到ABC 的三个顶点的距离分别为 PA、PB、PC，若有222PAPBPC，则称点 P 为ABC 关于点 A 的勾股点类似地，若222PBPAPC，则称点 P
50、为ABC 关于点 B 的勾股点(1)【知识感知】如图 2，在 45 的网格中，每个小正方形的长均为 1，点 A、B、C、D、E、F、G 均在小正方形的顶点上，则点D是ABC关于点_的勾股点；在点E、F、G三点中只有点_是ABC关于点 A 的勾股点(2)【知识应用】如图 3，E 是矩形 ABCD 内一点，且点 C 是ABE 关于点 A 的勾股点，求证：CE=CD；(3)【知识拓展】矩形 ABCD 中，AB=5，BC=6，E 是矩形 ABCD 内一点，且点 C 是ABE 关于点 A 的勾股点，若ADE 是等腰三角形，求 AE 的长【答案】(1)B；F(2)见解析(3)10或6 105【解析】【分析