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1、高二数学归纳推理和类比推理本讲稿第一页，共三十五页哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想世界近代三大数学难题之一世界近代三大数学难题之一1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的的偶数都是两个素数（只能被偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数）之和。和它本身整除的数）之和。如如633，1257等等。等等。猜想猜想(a)任何一个任何一个6之偶数，都可以表示成两个奇质数之之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。和。(b)任何一个任何一个9之奇数，都可以表示成三个奇质数之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。之和。更多资源更多资源有人对有人对33108以内且大过以内且大过6之
2、偶数一一进行验算，之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(a)都成立。都成立。本讲稿第二页，共三十五页目前最佳的结果是中国数学家陈景润于目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证年证明的，称为陈氏定理明的，称为陈氏定理(ChensTheorem).“任何充份任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积仅仅是两个质数的乘积”,通常都简称这个结果为大通常都简称这个结果为大偶数可表示为偶数可表示为“1+2”的形式。的形式。1920年，挪威的布朗证明了年，挪威的布朗证明了“9+9”。1924年，德国的拉特马赫证明了年，德
3、国的拉特马赫证明了“7+7”。1932年，英国的埃斯特曼证明了年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠明珠”。到。到了了20世纪世纪20年代，才有人开始向它靠近。年代，才有人开始向它靠近。本讲稿第三页，共三十五页1637年，法国数学家费马提出：年，法国数学家费马提出：“将一个立方将一个立方数分为两个立方数的和，一个四次幂分为两个四次数分为两个立方数的和，一个四次幂分为两个四次幂的和，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个幂的和，或者一般地将一个高于二
4、次的幂分为两个同次的幂的和，这是不可能的同次的幂的和，这是不可能的.”费马猜想费马猜想数论中最著名的世界难题之一数论中最著名的世界难题之一300多年来，这个问题吸引了很多优秀数学家，法多年来，这个问题吸引了很多优秀数学家，法国科学院曾于国科学院曾于1816年和年和1850年两次悬赏征解，德国也年两次悬赏征解，德国也于于1908年悬赏十万马克征解。年悬赏十万马克征解。经过三百多年来历代数学家的不断努力，剑桥大经过三百多年来历代数学家的不断努力，剑桥大学怀尔斯终于学怀尔斯终于1995年正式彻底解决这一大难题年正式彻底解决这一大难题.本讲稿第四页，共三十五页1852年，弗南西斯年，弗南西斯格思里搞地
5、图着色工作时，发格思里搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”世界近代三大数学难题之一世界近代三大数学难题之一四色猜想四色猜想1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作个小时，作了了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。亿判断，终于完成了四色定理的证明。不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还
6、不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。在寻找一种简捷明快的书面证明方法。本讲稿第五页，共三十五页这种由某类事物的这种由某类事物的部分部分对象具有某些特征，推出该对象具有某些特征，推出该类事物的类事物的全部全部对象都具有这些特征的推理，或者由对象都具有这些特征的推理，或者由个别个别事实概括出事实概括出一般一般结论的推理，称为结论的推理，称为归纳推理归纳推理（简称（简称归纳归纳）.归纳推理归纳推理部分整体部分整体个别个别一般一般不完全归纳推理得到的结论是否正确还有待严格不完全归纳推理得到的结论是否正确还有待严格的证明的证明,但它可以为我们的研究但它可以为我们
7、的研究提供一种方向提供一种方向.归纳法又分为归纳法又分为不完全归纳法不完全归纳法和和完全归纳法完全归纳法.本讲稿第六页，共三十五页例例1.已知数列已知数列an的第的第1项项a1=1，且，且（n=1,2,),试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式.分别把分别把n=1,2,3,4代入代入得得:归纳归纳:可用可用数学归纳法数学归纳法证明这证明这个猜想是正确的个猜想是正确的.取倒数得：取倒数得：解法解法2、构造法、构造法本讲稿第七页，共三十五页例例2.如图如图,在圆内画一条线段在圆内画一条线段,将圆分成两部分将圆分成两部分;画两条画两条线段线段,彼此最多分割成彼此最多分割成4条线段条线段
8、,同时将圆分割成同时将圆分割成4部分部分;画三条线段画三条线段,彼此最多分割成彼此最多分割成9条线段条线段,同时将圆分割成同时将圆分割成7部分部分.那么那么(1)在圆内画四条线段在圆内画四条线段,彼此最多分割成彼此最多分割成条线段条线段?同同时将圆分割成时将圆分割成部分部分?本讲稿第八页，共三十五页(2)猜想猜想:圆内两两相交的圆内两两相交的n(n2)条线段条线段,彼此最多分彼此最多分割成割成条线段条线段?同时将圆分割成同时将圆分割成部分部分?累加得累加得:本讲稿第九页，共三十五页例例3.有三根针和套在一根针上的若干金属片有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则按下列规则,把金属片从一根
9、针上全部移到另一根针上把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动一个金属片每次只能移动一个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测试推测:把把n个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针号针,最少需要最少需要移动多少次移动多少次?本讲稿第十页，共三十五页n=1时时,本讲稿第十一页，共三十五页n=2时时,n=1时时,本讲稿第十二页，共三十五页n=3时时,n=2时时,n=1时时,本讲稿第十三页，共三十五页n=2时时,n=1时时,n=3时时,本讲稿第十四页，共三十五页n=4时时,n=3时时,n=2时时,n=1时时,本讲稿第十五页，共三
10、十五页n=4时时,n=3时时,n=2时时,n=1时时,归纳归纳:本讲稿第十六页，共三十五页例、数列例、数列an满足满足a1=1，an+1=2an+1，求通，求通项公式项公式an.an+1+1=2（an+1）数列数列an+1是首项为是首项为2公比为公比为2的的等比数列等比数列构造法构造法本讲稿第十七页，共三十五页(2004春季上海春季上海)根据图中根据图中5个图形及相应点的个数的变个图形及相应点的个数的变化规律化规律,试猜测第试猜测第n个图形中有个图形中有个点个点.(1)(2)(3)(4)(5)练习练习本讲稿第十八页，共三十五页(2005年广东年广东)设平面内有设平面内有n条直线条直线(n3),
11、其中有且仅有两其中有且仅有两条直线互相平行条直线互相平行,任意三条直线不过同一点任意三条直线不过同一点.若用若用f(n)表表示这示这n条直线交点的个数条直线交点的个数,则则f(4)=,当当n4时时,f(n)=.(用用n表示表示)累加得累加得:本讲稿第十九页，共三十五页(2001年上海年上海)已知两个圆已知两个圆x2+y2=1:与与x2+(y-3)2=1,则由则由式减去式减去式可得上述两圆的对称轴方程式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求即要求得到一个更一般的命题得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题而已知命
12、题应成为所推广命题的一个特例的一个特例,推广的命题为：推广的命题为：设圆的方程为设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2与与(x-c)2+(y-d)2=r2（ac或或bd),则由则由式减去式减去式可得上述两圆的对称轴式可得上述两圆的对称轴方程方程.本讲稿第二十页，共三十五页小结小结2.归纳推理的一般步骤归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题一般性命题(猜想猜想).1.什么是归纳推理什么是归纳推理（简称（简称归纳归纳）?部分整体部分整体个别个别一般一般
13、本讲稿第二十一页，共三十五页练习练习1.已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn,且且计算计算S1,S2,S3,S4,并猜想并猜想Sn的表达式的表达式.猜想猜想:计算得计算得:本讲稿第二十二页，共三十五页复习复习2.归纳推理的一般步骤归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题一般性命题(猜想猜想).1.什么是归纳推理什么是归纳推理?部分整体部分整体特殊特殊一般一般本讲稿第二十三页，共三十五页1.1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿工匠鲁班类比带齿的草叶和
14、蝗虫的牙齿,发明了锯发明了锯2.2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明发明了潜水艇了潜水艇.3.3.科学家对火星进行研究科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多发现火星与地球有许多类似的特征类似的特征:1)1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星;2)2)有大气层有大气层,在一年中也有季节变更在一年中也有季节变更;3)3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存知生物的生存,等等等等.科学家科学家猜想猜想;火星上也可能有生命存在火星上也可能有生命存在.4.4.利用平面向量的
15、基本定理类比利用平面向量的基本定理类比得到得到空间向量的基空间向量的基本定理本定理.本讲稿第二十四页，共三十五页由两类对象具有某些类似特征和其中一类对由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这推出另一类对象也具有这些特征的推理称为些特征的推理称为类比推理类比推理.(.(简称简称:类比类比)类比推理的几个特点类比推理的几个特点1.1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在推测正在研究的事物的属性研究的事物的属性,是以是以旧旧有的认识为基础有的认识为基础,类比出类比出新新的结果的结果.2.2.类比是从一种事
16、物的类比是从一种事物的特殊特殊属性推测另一种事物的属性推测另一种事物的特特殊殊属性属性.3.3.类比的结果是猜测性的类比的结果是猜测性的不一定可靠不一定可靠,但它却有发但它却有发现的功能现的功能.类比推理类比推理本讲稿第二十五页，共三十五页圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距距圆心较近的弦较长圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0)为圆心为圆心,r,r为半径的圆为半径的圆的方程为的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2=r
17、=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线垂直于中点的连线垂直于弦弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面(圆面圆面)的圆的圆心的连线垂直于截面心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相与球心距离不相等的两截面面积不相等等,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0)为球心为球心,r,r为半径为半径的球的方程为的球的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2+(z-+(z-z z0 0)2 2=r=r2 2利用圆的性质类比得出球的性质利用圆
18、的性质类比得出球的性质球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积本讲稿第二十六页，共三十五页平面向量空间向量若若 ，则则若若 ，则则利用利用平面向量平面向量的性质类比得的性质类比得空间向量空间向量的性质的性质本讲稿第二十七页，共三十五页等差数列等比数列定义通项公式前n项和利用等差数列性质类比等比数列性质利用等差数列性质类比等比数列性质本讲稿第二十八页，共三十五页等差数列等比数列中项性质n+m=p+q时时,am+an=ap+aqn+m=p+q时时,aman=apaq任意实数任意实数a、b都有等差都有等差中项中项，为，为当且仅当当且仅当a、b同号时才有同号时才有等比中项
19、等比中项，为，为成等差数列成等差数列成等比数列成等比数列下标等差下标等差,项等差项等差下标等差下标等差,项等比项等比本讲稿第二十九页，共三十五页例例1.(2003年新课程年新课程)在平面几何里在平面几何里,有勾股定理有勾股定理:“设设ABC的两边的两边AB、AC互相垂直，则互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是以得出的正确结论是“设三棱锥设三棱锥A-BCD的三个侧面的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则两两互相垂直，
20、则.DABC本讲稿第三十页，共三十五页（2004广东，广东，15）由图由图(1)有面积关系有面积关系:则由图则由图(2)有体积关系有体积关系:图图(1)图图(2)本讲稿第三十一页，共三十五页平面与空间中的余弦定理平面与空间中的余弦定理平面：平面：三角形三角形ABC中，中，空间：空间：四面体四面体A-BCD中，中，设二面角设二面角B-AC-D，C-AD-B，D-AB-C的大小依次为的大小依次为本讲稿第三十二页，共三十五页例例2：(2005年全国年全国)计算机中常用的十六进位制是逢计算机中常用的十六进位制是逢16进进1的计算制，采用数字的计算制，采用数字0-9和字母和字母A-F共共16个计数符号，
21、个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；这些符号与十进制的数的对应关系如下表；十六进位十进位例如用例如用16进位制表示进位制表示+1，则，则（）十六进位9十进位9101112131415E E本讲稿第三十三页，共三十五页归纳推理和类比推理的共同点归纳推理和类比推理的共同点归纳推理归纳推理和和类比推理类比推理都是根据已有的事实都是根据已有的事实,经过观察经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为猜想的推理，我们把它们统称为合情推理合情推理.从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想合情推理合情推理本讲稿第三十四页，共三十五页作业作业P93-94A组组5.B组组更多资源更多资源本讲稿第三十五页，共三十五页