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1、一、集合1、集合概念 所谓集合(或集)是具有某种特定性质的事物的全体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.由有限个元素组成的集合，可用列举出它的全体的方法来表示.凡事物a是集合A的元素记作：；凡事物a不是集合A的元素记作：；第1页/共68页 由无穷多个元素组成的集合，通常用如下记号表示：设M是具有某种性质P的元素x全体组成的，就可表示成：第2页/共68页以后如果没有特别声明，提到的数都是实数.全体自然数的集合记作 N，即 全体实数的集合记作 R，为排除零的实数集 为全体正实数的集.全体正整数的集合为全体整数的集合记作 Z，即全体有理数的集合记作 Q第3页/共68页数集:元素都是数的集合.子集:
2、设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作 (读作A包含于B)或 (读作 B 包含 A).相等:如果集合A与集合B互为子集，即 且 ,就称集合A与B相等，记作A=B.例如，设A=1,2，B=2,1，C=x|x2-3x+2=0则A=B=C.第4页/共68页真子集：若 且 ，则称A是B的真子集，记作空集:不含任何元素的集合称为空集，记作 .且规定空集为任何集合的子集，即第5页/共68页 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集(简称交)，记作A B，即 A B=x|x A 且 x B;2、集合的运算 集合的基本运算有以下几种：并、交、差.设A、B是
3、两个集合，由所有属于A或者属于B 的集合，称为A与B的并集(简称并)，记作A B，即 A B=x|x A或 x B；由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集(简称差)，记作AB，即 AB=x|x A且 x B.第6页/共68页 有时，我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行，所研究的其他集合 A 都是 I 的子集.此时，我们称集合I为全集或基本集，IA为A的余集或补集，记作 .例如，在实数集 R 中，集合A=x|01.第7页/共68页集合的并、交、余运算满足下列法则。(1)交换律 ，；(2)结合律()(），()(B C)；(4)对偶律 (A B)c=Ac Bc，(A B)c
4、=Ac Bc.(3)分配律(A B)C=(A C)(B C)，(A B)C=(A C)(B C)；第8页/共68页3、区间和邻域 区间是用得较多的一类数集，设 a 和 b 都是实数，且 a b.数集 x|ax b称为开区间，记作(a,b)，即 (a,b)=x|ax b.a 和 b 称为开区间(a,b)的端点，这里 a (a,b),b (a,b).第9页/共68页 数集 x|a x b.称为闭区间，记作 a,b，即 a,b=x|a x b.a 和 b 也称为闭区间a,b的端点，这里a a,b，b a,b.第10页/共68页 类似地可说明：a,b)=x|a x b,(a,b =x|ax b.a,b
5、)和(a,b 都称为半开区间.以上这些区间都称为有限区间.数 b a 称这些区间的长度.第11页/共68页 类似地可以表示无限区间，例 a,+)=x|x a,(,b)=x|xy 按这个规则，每一个x值有无穷多个y与之对应.函数定义中对应规则要求对每一个x值只有一个确定的y值与之对应，所以此例也不是函数关系.第29页/共68页例8 y=x与是不是相同的函数关系?两个函数定义域不同,因此是不同的函数关系.y=x是定义在 的函数关系；则在x=0处没有确定的y值与之对应，其定义域是 ；第30页/共68页例9 研究y=x与 是不是相同的函数关系.y=x与 都是定义在 上的函数关系,但是对应规则不同：对于
6、y=x,当x0 时,y0，x0 时，y0；因此是两个不同的函数.第31页/共68页即须使第32页/共68页第33页/共68页2、函数的几种特性(1)函数有界性：设函数f(x)的定义域为D，数集X D.如果存在数 ，使得 f(x)对任一 都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而 称为函数f(x)在X上的一个上界.如果存在数 使得 对任一 都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而 称为函数f(x)在X上的一个下界.如果存在数 M，使得第34页/共68页对任一 都成立，则称函数f(x)在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界。第35页/共68页则称函数f(x)在区间I上是单调减少的
7、.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.(2)函数的单调性：设函数f(x)的定义域为D，区间I D.如果对于区间I上任意两点 及 ,当 时，恒有 则称函数f(x)在区间I上单调增加的；如果对于区间I上任意两点 及 ，当 时，恒有第36页/共68页单调增加 单调增加函数的图形是沿x轴正向逐渐上升的单调减少 单调减少函数的图形是沿x轴正向逐渐下降的第37页/共68页第38页/共68页(3)函数的奇偶性：设函数f(x)的定义域D关于原点对称如果对于任一x D,f(-x)=f(x)恒成立，则称f(x)为偶函数如果对于任一x D。f(-x)=-f(x)恒成立，则称f(x)为奇函数第39页/共68页偶函
8、数的图形关于y轴是对称的.因为若f(x)是偶函数，则f(x)=f(x)，所以如果A(x,f(x)是图形上的点，则与它关于y轴对称的点 也在图形上.偶函数第40页/共68页 奇函数的图形关于原点是对称的.因为若f(x)是奇函数，则f(x)=f(x)，所以如果A(x,f(x)是图形上的点，则与它关于原点对称的点 也在图形上.第41页/共68页第42页/共68页第43页/共68页第44页/共68页(4)函数的周期性：设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个正数 l，使得对于任一 x D 有 ，且 f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l 称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期就
9、是指最小正周期.第45页/共68页 设函数 是单射，则它存在逆映射 ，称此映射 为函数f 的反函数.按此定义，对每个 ，有唯一的 ,使得 f(x)=y，于是有3、反函数与复合函数(1)反函数的概念这就是说，反函数 的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的.第46页/共68页 函数 y=f(x)，x为自变量，y为因变量，定义域为D(f)，值域为z(f)；函数 ，y为自变量，x为因变量，定义域为 z(f)，值域为D(f)；习惯上用x表示自变量，用y表示因变量.因此我们将 ，改写为以x为自变量、以y为因变量的函数关系 ，这时我们说 是 y=f(x)的反函数.第47页/共68页将上式中的x换成y，将
10、y换成x，因此得出y=3x-1的反函数是 .第48页/共68页(2)复合函数的概念 设函数 y=f(u)的定义域为 ，函数u=g(x)在D 上有定义，且 ，则由下式确定的函数 y=f g(x)，称为函数 u=g(x)和函数 y=f(u)构成的复合函数，它的定义域为D，变量u 称为中间变量.第49页/共68页4、函数的运算 设函数f(x),g(x)的定义域依次为 、,D=，可以定义这两个函数的下列运算：第50页/共68页例17 设函数f(x)的定义域为(l，l)，证明必存在(l，l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得 f(x)=g(x)+h(x).证：先分析如下：假若这样的g(x)、h(x
11、)存在，使得 f(x)=g(x)+h(x)(1)且 g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x)于是有 f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)(2)利用(1)、(2)式，就可作出g(x)、h(x).这就启发我们作如下证明：第51页/共68页第52页/共68页5、初等函数它的定义域随 而定，但不论 为何值，在 内总有定义，而且图形经过(1,1)点.幂函数：称为幂函数,函数第53页/共68页指数函数:函数指数函数.定义域是区间 ，值域为 ，当a1 时，函数单调增加，当0a0，又a0=1,所以指数函数的图形总在x轴的上方，且通过点(0,1).y=ax与y=a-x的图形关于y轴对称.第
12、54页/共68页 定义域为 ，图形总在x轴的正方向，且通过点(0,1).函数y=logax(a0，)称为对数函数，它是指数函数的反函数.对数函数：科技应用中常用以常数e为底的对数函数：y=loge x称为自然对数函数，简记作 y=lnx第55页/共68页 若a1，对数函数logax是单调增加的，在开区间(0,1)函数值为负，而在区间 内函数值为正.若0a1，对数函数logax是单调减少的，在开区间(0,1)函数值为正，而在区间 内函数值为负.第56页/共68页 指数函数y=ax的图形与对数函数y=logax的图形是关于直线y=x对称.第57页/共68页三角函数：函数 y=sin x称为正弦函数
13、；函数 y=cos x称为余弦函数；它们的周期为 ,定义域 ,值域1,1.sin x为奇函数,cos x为偶函数.第58页/共68页 函数 y=tan x称为正切函数；函数 y=cot x 称为余切函数；周期 ,值域 .tan x的定义域为cot x的定义域为正切函数和余切函数都是以 为周期的周期函，它们都是奇函数.第59页/共68页反三角函数：函数 arcsin x 称为反正弦函数，是sin x 的反函数；函数 arccos x 称为反余弦函数，是cos x 的反函数；第60页/共68页函数 arccot x 称为反余切函数，是cot x 的反函数；函数 arctan x 称为反正切函数，是
14、tan x 的反函数；四个反三角函数的首字母为大写，它们都是多值函数.第61页/共68页 按下列区间取其一段,称为主值分支(单值函数),分别记作：第62页/共68页 以上这五种函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.应用上常遇到以e为底的指数函数y=和y=所产生的双曲函数以及它们的反函数反双曲函数.它们的定义如下：第63页/共68页双曲正弦的定义域为；它是奇函数，它的图形通过原点且关于原点对称.在区间 内它是单调增加的.当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于曲线 ；在第三象限内接近于曲线 .双曲正
15、弦 sh x=,第64页/共68页双曲余弦 ch x=,双曲余弦的定义域为；它是偶函数，它的图形通过点(0,1)且关于y轴对称.在区间 内它是单调减少的；在区间 内它是单调增加的.ch 0=1是这函数的最小值.当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于曲线 ，在第二象限内接近于曲线 .第65页/共68页双曲正切 th x=,双曲正切的定义域为 ，它是奇函数，它的图形通过原点对称.在区间 内它是单调增加的.它的图形夹在y=1和y=1之间；当x绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于直线y=1，而在第三象限内接近于直线y=1.第66页/共68页 双曲函数 y=sh x,y=ch x(x 0),y=th x 的反函数依次记为 反双曲正弦 y=arsh x,反双曲余弦 y=arch x,反双曲正切 y=arth x.这些反双曲函数都可通过自然对数函数来表示.根据双曲线的定义，可证下列四个公式：sh(x+y)=sh xch y+ch xsh y;sh(x y)=sh xch y ch xsh y;ch(x+y)=ch xch y+sh xsh y;ch(x y)=ch xch y sh xsh y;第67页/共68页感谢您的观看！第68页/共68页