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1、为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能弹塑性力学为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能课程安排授课方式：讲座,讨论,练习考试方式：闭卷或开卷为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能参考书目应用弹塑性力学，徐秉业、刘信声、著，北京：清华大学出版社，1995岩土塑性力学原理，郑颖人、沈珠江、龚晓南著，北京：中国建筑工业出版社，2002弹塑性力学引论，杨桂通编著，北京：清华大学出版社，20
2、04弹性与塑性力学，陈惠发、A.F.萨里普著，北京：建筑工业出版社，2004为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能目录一、绪论二、矢量张量三、应力分析四、应变分析五、本构方程六、弹塑性力学问题七、能量原理及变分法八、塑性极限分析为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能一、绪论1.1基本概念1.2弹塑性力学的发展历史1.3塑性力学的主要内容1.4塑性力学的研究方法1.5与初等力学理论的联系1.6弹塑性力学的发展趋势为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想
3、和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能1.1基本概念弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性和弹塑性物体变形规律的一门科学。应用于机械、土木、水利、冶金、采矿、建筑、造船、航空航天等广泛的工程领域。目的：（1）确定一般工程结构受外力作用时的弹塑性变形与内力的分布规律；（2）确定一般工程结构物的承载能力；（3）为进一步研究工程结构物的振动、强度、稳定性等力学问题打下必要的理论基础。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能弹塑性力学的基本假设（1）物体是连续的，其应力、应变、位移都可用连续函数
4、表示。（2）变形是微小的，忽略变形引起的几何变化。即连续介质和小变形假设。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能弹性和塑性变形的特点弹性变形的特点:应力应变之间具有一一对应的关系，且在许多情况下可以近似地按线性关系处理。塑性变形的特点：应力应变关系不再一一对应，且一般是非线性的为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能单轴应力应变曲线弹性、塑性线性、非线性为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室
5、育人功能典型的塑性本构模型理想弹塑性模型强化弹塑性模型软化弹塑性模型为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能1）理想弹塑性模型为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能2）强化弹塑性模型为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能3）软化弹塑性模型为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能弹塑性力学基本方程弹塑性力学的基本方程
6、是：（1）平衡方程；（2）几何方程。（3）本构方程。前两类方程与材料无关，塑性力学与弹性力学的主要区别在于第三类方程为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能1.2弹塑性力学发展历史1678年胡克（R.Hooke）提出弹性体的变形和所受外力成正比的定律。19世纪20年代，法国的纳维（C.I.M.H.Navier）、柯西（A.I.Cauchy）和圣维南（A.J.C.B.deSaintVenant）等建立了弹性理论1864年特雷斯卡（H.Tresca）提出最大剪应力屈服条件。1871年列维（M.Levy）将塑性应力应变关系推广到三
7、维情况。米赛斯（R.vonMises）提出形变能屈服条件。普朗特（L.Prandtl）和罗伊斯（A.Reuss）提出塑性力学中的增量理论为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能岩土塑性理论形成早期研究：1773年Coulomb提出土质破坏条件，其后推广为Mohr-Coulomb准则；1857年Rankine研究半无限体的极限平衡，提出滑移面概念；1903年Ktter建立滑移线方法；1929年Fellenius提出极限平衡法；1943年Terzaghi发展了Fellenius的极限平衡法；19521955年Drucker和Pr
8、ager发展了极限分析方法；1965年Sokolovskii发展了滑移线方法。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能形成独立学科：岩土塑性力学最终形成于20世纪50年代末期；1957年Drucker指出要修改Mohr-Coulomb准则，以反映平均应力或体应变所导致的体积屈服；1958年剑桥大学的Roscoe等提出土的临界状态概念，于1963年提出剑桥粘土的弹塑性本构模型，开创了土体实用计算模型从1970年前后至今岩土本构模型的研究十分活跃，建立的岩土本构模型也很多。1982年Zienkiewicz提出广义塑性力学的概念，
9、指出岩土塑性力学是传统塑性力学的推广。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能1.3塑性力学的主要内容（1）建立屈服条件。对于给定的应力状态和加载历史，确定材料是否超出弹性界限而进入塑性状态，即材料是否屈服（2）判断加载、卸载。加载和卸载中的应力应变规律不同，需要建立准则进行判断。（3）描述加载（或变形）历史。应变不仅取决应力状态，还取决于达到该状态的历史，在加载过程中必须对其历史进行记录。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能1.4塑性力学的研究方法宏
10、观塑性理论以若干宏观实验数据为基础，提出某些假设和公设，从而建立塑性力学的宏观理论。特点是：数学上力求简单，力学上能反映试验结果的主要特性。实验数据加以公式化，并不深入研究塑性变形过程的物理化学本质。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能细微观塑性理论从细微观的层次来看，具有内部细微结构，如位错、微裂纹和微孔洞等。从细微结构的改变过程推求宏观塑性变形性质为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能宏观塑性理论的求解方法精确解法。满足弹塑性力学中全部数学方程的
11、解；近似解法。采用合理简化假设，获得近似结果。如差分法、有限元法、加权残值法等。实验方法。采用机电方法、光学方法、声学方法等来测定应力和应变的分布规律。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能精确解法对形状简单的物体比较有效，但对复杂形状的物体难以列出方程；有限元数值解法是近似方法，将列出方程的难度转移到复杂几何形状的模拟上。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能1.5与初等力学理论的联系材料力学、结构力学从研究对象、基本任务来看，弹塑性力学与它们都是相
12、同的；从处理问题的方法来看，都是从静力学、几何学、本构关系三个方面进行分析。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能区别研究问题的范围：材料力学仅研究杆状构件，结构力学主要研究杆状构件组成的结构系统，弹塑性力学涉及各种固体结构。研究问题的深度：材料力学和结构力学主要局限于弹性阶段，而弹塑性力学研究从弹性阶段到塑性阶段，直至最后破坏的整个过程。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能研究问题的简化程度：材料力学和结构力学除了采用与弹塑性力学相同的一些基本假定
13、外，还要对杆件的应力分布和变形状态作一些附加的假定。如梁横力弯曲的平截面假定等，得到的结果比较近似。而弹塑性力学则不作该假定。总的来看，弹塑性力学的研究范围更加广泛、研究问题更加深入，得到的结果更加精确。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能1.6弹塑性力学的发展趋势由早期的精确解法占主导地位到如今的数值近似解法占主导地位。由线性问题向非线性问题不断扩展，并且研究开裂过程，多组分材料、多场耦合问题。由研究型的软件逐渐发展成商品化软件，如ANSYS、ADINA等。以后的趋势是功能更加完善，使用更加方便，与其它软件进行集成。为
14、深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能二、矢量和张量2.1基本概念2.2矢量2.3张量为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能2.1基本概念讨论应力、应变和本构方程时，通常采用矢量和张量符号。具有表达简洁的特点。坐标系规定：采用右手螺旋直角坐标系，熟悉记法为x轴、y轴、z轴，按规则记法为x1轴、x2轴、x3轴。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能2.2.1矢量代数矢量既有大小又有方向
15、，在坐标系中通常用箭头表示。对空间任一点，坐标是（v1，v，v），可以表示为矢量或。由单位矢量叠加有：或简洁写为：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能若两矢量和相等，可表示为：可简洁表示为：下标i没有特别指明，认为它代表了三种可能下标中的任一个。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能两个矢量与之和由平行四边形法则得到，为分量之和：或简洁表示为：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功
16、能2.2.2标量积矢量有两种乘法，即标量积（点积或内积）和矢量积（叉积）。矢量U和V的标量积定义为：|U|表示矢量U的绝对长度，为矢量U和V的夹角。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能标量积的计算式为：两个垂直矢量的点积为零。一个矢量长度的平方由它与自身的点积得到。应用：力F作用在一运动速度为V的物体上，功率由点积（）求出。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能2.2.3矢量积两矢量的积为垂直于两矢量平面且按右手螺旋法则确定的一个矢量，该矢量长度等于
17、。标记为：W的大小等于由U和V组成的平行四边形的面积。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能矢量积的计算式为为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能矢量叉积不满足交换律和结合律：一个矢量与其自身的矢量积为零矢量。应用：力F作用于位置矢量为r的点A，则力F绕原点的力矩为：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能2.2.4三重积三重标量积：称为三重标量积或框积，是以U、V、W为边的平行六面
18、体的体积或体积的负值。可用U，V，W来表示。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能三重矢量积：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能2.2.5标量场和矢量场函数称为一个标量场，梯度构成矢量场，垂直于=常数的表面。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能矢量的散度：矢量的旋度：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
19、2.3张量1.3.1指标记法和求和约定1.3.2符号（Kronecker符号）1.3.3符号（交错张量）1.3.4坐标变换1.3.5笛卡尔张量1.3.6张量性质为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能2.3.1指标记法和求和约定矢量V用指标记法为，指标可以自由挑选。规则1：如果在一个表达式或方程的一项中，一种下标只出现一次，称之为“自由指标”。规则2：如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两次，则称之为“哑标”，它表示从1到3进行求和。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神
20、,充分发挥中小学图书室育人功能规则3：在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数多于两次，则是错误的。在下标中，用一个逗号表示微分，如：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能2.3.2符号（Kronecker符号）克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的缩写形式，即由求和约定可得到为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能由于所以，将应用于只是将j用i置换，因此符号通常称为置换算子。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会
21、精神,充分发挥中小学图书室育人功能2.3.3符号（交错张量）符号有33或27个元素，取值为1，-1，0。从下标为自然顺序1，2，3开始，如果交换次数为偶数，则元素为1，为奇数，则为-1，如果下标出现重复，则值为0。可从图解判断：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能叉积证明：对分量1，对于表达式由于下标1，j，k必须互不相同，所以可能的组合有1，j=2，k=3和1，j=3，k=2，因而同理可对其它分量计算，合并得证。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功
22、能三重标量积可写为对交错张量和克罗内尔符号，有下列关系式：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能可用指标方法证明：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能2.3.4坐标变换假设和是共原点的两个笛卡尔右手坐标系的轴，矢量V在两个坐标系中的分量分别为和，则有称为方向余弦，即与轴夹角的余弦。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能方向余弦表新坐标轴老坐标轴为深入学习习近平新时代中国特色社会主
23、义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能注意的元素不对称。由的定义有：所以为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能或该式隐含6个等式：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能两坐标系中的点的坐标变换为和i为新坐标轴，j为旧坐标轴。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能2.3.5笛卡尔张量张量的名称起源于它与应力（张力）有关的历史。新坐标系中每一个新矢量
24、的分量是原来分量的一个线性组合，这种变换很规则方便且有很多用途。根据线性变换的思想来定义张量。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能标量不受坐标变换的影响，定义为零阶张量，分量数=30=1。满足，这些矢量称为一阶张量，分量数=31=3。满足，称为二阶张量，分量数=32=9。满足，称为三阶张量，分量数=33=27。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能如此可以推广到更高阶张量。虽然所有的矢量都是张量，但并不是所有的矩阵都必定是张量，如工程应变分量不构成一
25、个张量。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能2.3.6张量性质相等当两个张量对应的分量相等时，则定义它们相等。相加两个同阶张量的和（或差）仍是一个同阶张量，其分量为两个张量对应分量的和（或差）。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能相乘一个张量与一个标量的乘积为一同阶的张量。张量相乘构成一个新张量，其阶数是原张量的阶数之和。如为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能缩并将两个指标赋
26、给相同的字母，则张量进行缩并。如对三阶张量，有缩并后，这是对一阶张量的变换规则。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能对称与斜对称对张量，如果，则称之为对称张量；如果，则称之为斜对称张量。任何一个二阶张量都可唯一分解成一个对称张量与一个斜对称张量之和，即为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能各向同性如果一个张量的分量在所有坐标系中都具有相同的值，则它是各向同性的。张量都是各向同性的。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教
27、育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能商法则对于，如果在任一坐标系中对任何张量，有：c是一标量，则是一个张量。证明：由于c是标量为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能由于于是得到为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能对任意矢量有，为一矢量；对任意张量有，为一张量；那么为一张量。对任意矢量有，c为一标量，那么为一张量。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例题2-1如果是一个标量，
28、试证明（a）是一个一阶张量；（b）是一个二阶张量；（c）是一个标量（零阶张量）；为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能三、应力分析3.1 一点的应力状态3.2 主应力3.3 最大剪应力3.4 Mohr应力图3.5 偏应力张量3.6 八面体应力为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能3.7 应力的几何表示3.8 平衡方程为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能3.1 一点的应力状态材料质
29、点 从宏观尺度上看它无限小；但微观尺度上看它无限大，它包含大量稀疏分布的分子、原子；材料质点的力学行为是这些大量分子、原子力学行为的统计平均。应力矢量T(n)=定义为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能坐标分量 T(n)=Txex+Ty ey+Tzez ex，ey和ez表示坐标轴的单位基矢量，Tx、Ty 和Tz是应力矢量沿坐标轴分量。法线方向和切线方向分量 沿法线方向的应力分量称为正应力，沿切线方向的应力分量称为剪应力。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育
30、人功能性质：同一点的T(n)与所取截面的法线方向n有关，所有这些不同截面上的应力矢量构成该点的应力状态 只有三个面上的应力矢量是独立的；外法线为n微面上的应力矢量为：T(n)=T(n)为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能应力张量zyzyxxyxz 微六面体 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能三个坐标面上的应力矢量 T(ex)xex+xyey+xzez T(ey)yxex+yey+yzez T(ez)zxex+zyey+zez以上9个分量，构成应力
31、张量在笛卡尔坐标系下的分量为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能张量表示 用1、2、3取代下标x、y、z，应力正、负号规定 正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负；负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能Cauchy公式（斜面应力公式）已知三个互相垂直面上的应力矢量，求任意一斜面上的应力矢量，由四面体平衡条件导出。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中
32、小学图书室育人功能由微四面体的平衡条件得：T(n)dS+T(ex)ldS+T(ey)mdS+T(ez)ndS+Xdh dS/3=0 T(n)T(ex)l+T(ey)m+T(ez)n将斜面应力矢量T(n)沿坐标轴方向分解 T(n)Txex+Tyey+Tzez 斜截面公式 Txxl+yxm+zxn Tyxyl+ym+zyn Tzxzl+yzm+zn张量表示：Tj=ij ni为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能求斜截面的各种应力（1）正应力 n=T(n)n=Txl+Tym+Tzn nxl2+ym2+zn2+2xylm+2yzm
33、n+2zxnl ijninj（2)剪应力确定力边界条件例题3-1求在面上的法向正应力和切向剪应力 解为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能应力分量的坐标变换 exeyezl11l12l13l21l22l23l31l32l33 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能3.2 主应力在主平面上，无剪切应力在主平面上，无剪切应力 T(n)n 或 Tx
34、l Ty m Tz n (x)l+yxm+zxn0 xy l+(y)m+zyn0 xzl+yzm+(z)n0 l2+m2+n2=1 非零解条件为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能特征方程 3I12+I2I3=0不变量 I1=x+y+z=kk I2=xy+xz+yz()=(ijij)主应力性质 （1）主平面相互垂直 （2）极值性为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能3.3 最大剪应力以应力主轴建立坐标系，在法线为n的斜截面上，应力矢量为 T(n)T(e
35、1)l+T(e2)m+T(e3)nl1e1+m2e2+n3e3 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能斜截面上的正应力 n=T(n)n=l21+m22+n23应力矢量的模为 =(l1)2+(m2)2+(n3)2斜截面上的剪应力是 =(l1)2+(m2)2+(n3)2(l21+m22+n23)2 当斜截面方向l、m、n变化时，剪应力n随之变化。求上式的极值可得最大剪应力为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能约束条件 l2+m2+n2=1条件极值 无条件极
36、值 F=(l2+m2+n2 1)为引进拉格朗日乘子 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 lmnn000010000200003000为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能最大剪应力 规定123 所在平面 与2平行而与1和3的角度分别为450 并非纯剪面，存在正应力为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能纯剪切状态一个应力状态成为纯剪切状态的充分必要条件是必要性直接从定义得到，充分
37、性证明采用连续性判断。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能3.4 Mohr应力图每个截面上有正应力和剪应力，建立平面坐标系 截面上的应力对应坐标系的一个点截面上的正应力和剪应力 (l1)2+(m2)2+(n3)2截面上的正应力 n=T(n)n=l21+m22+n23 l2+m2+n2=1以上三个式子联立求解方向余弦 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学
38、图书室育人功能为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能平面应力Mohr圆消去 ，得用斜截面应力公式，得到法向应力和切向应力，并用倍角公式变形得为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能主应力 时，由此可决定方向为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能3.5 偏应力张量静水压力状态偏应力状态定义平均应力0=(x+y+z)为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育
39、大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能两种应力状态用张量表示ij=sij+0ij 其中ij是Kronecker符号，定义为 ij=1，当ij ij=0，当ij，为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能关于静水压力状态 任意一个面都是主平面 主应力值均相等 在应力圆上是一个点 静水压力张量是各向同性张量为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能偏应力张量sij的主值 s3+J1 s2+J2 s+J3=0 J1=skk=sx+sy+sz=0 J2=sijsij=
40、(xy)2+(yz)2+(xz)2+6()=(12)2+(23)2+(13)2为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能3.6 八面体应力为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能八面体 每个面的外法线为 n=le1+me2+ne3=(e1+e2+e3)称为等倾面等倾面上的应力 8=(1+2+3)为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能八面体剪应力和最大剪应力是决定金属屈服准则的两个最重要的
41、剪应力。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能3.7 应力的几何表示将三个主应力作为坐标，某点的应力状态表示为三维应力空间中的一点。静水状态轴：过原点且与坐标轴有相等夹角的直线。偏平面：垂直于静水状态轴的平面。平面：过原点的偏平面。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能对任意应力空间点 分解：静水轴上：偏平面上：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能三个应力主轴在偏平面上投影，构成
42、互为 夹角的三个坐标轴。NP在单位矢量 的投影：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能与应力张量主值关系 s1=10 s2=20 s3=30 两者方向相同为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能等效应力 J2=sijsij/2=(12)2+(23)2+(13)2 单轴拉伸时，应力状态为1=，2=3=0，为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能应力洛德参数（Lode)：为深入学习习近平新
43、时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能3.8平衡方程为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能在x=0的面上，应力是x、xy、xz 在x=dx面上的应力 由x方向的平衡为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能由y、z方向的平衡指标记法为：对运动情况：Navier于1827年首次导出。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能力矩平衡：绕z
44、轴 (xydydz)dx(yxdxdz)dy=0 xyyx 绕x和y方向的形心轴取矩 yz=zy xz=zx为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能静力学边界条件xl+yxm+zxnxyl+ym+zynxzl+yzm+zn为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例3-2 如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为，试写出边界条 件。解：在x=0上，l=1，m=0，(x)x=0(1)+(yx)x=00=y (xy)x=0(1)+(y)x=00=0 (x)x=0
45、=y (xy)x=0=0 在斜边上 l=cos，m=sin x cos yx sin=0 xycos y sin=0为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能4.1 位移和应变 4.2 应变张量4.3 应变与位移的关系4.4 位移的分解第4章 应变分析为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能4.5 主应变4.6 体积应变4.7 应变张量的分解4.8 应变协调方程为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图
46、书室育人功能4.1 位移和应变连续体内任意两点的相对位置改变时，此物体被称为有变形或有应变。物体发生位移，应变由位移得到。对物体中足够小的区域，认为该区域的应变是均匀的。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能u(x、y、z)=rx Rx v(x、y、z)=ry Ry w(x、y、z)=rz Rz位移为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能应变 考察物体内任意一微小线段长度的相对改变 正（线）应变方向的相对改变 剪（角）应变为深入学习习近平新时代中国特色社
47、会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能4.2应变张量三个方向线元的应变决定该点的应变状态取与坐标轴相平行的三个方向为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能对称张量张量的剪切应变分量 实际的剪切应变工程剪应变和张量剪应变的区别为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能4.3 应变与位移的关系（几何方程）为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能OA和OB
48、两线元的长度分别为OA=dx，OB=dy。设O点的位移是u(x，y)和v(x，y)，A点的位移是u(x+dx，y)、v(x+dx，y)，B点的位移是u(x，y+dy)、v(x，y+dy)。，为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能根据定义，导出xy平面内的应变分量 考虑小变形假定为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能其他应变分量几何方程张量表示位移梯度应变张量是位移梯度的对称化为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精
49、神,充分发挥中小学图书室育人功能4.4位移的分解A点位移是：u(x、y、z)，v(x、y、z)，w(x、y、z)，B点位移是：u=u(x+dx、y+dy、z+dz)v=v(x+dx、y+dy、z+dz)w=w(x+dx、y+dy、z+dz)为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能Taylor级数将B点位移相对A点展开 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能矩阵表示为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中
50、小学图书室育人功能转动矢量 xexyeyzez刚体转动：以 方向的直线为转轴，且转角为为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能位移分解（1）随A点平动；ABAB（2）相对A点刚体转动；ABAB（3）纯变形。ABAB。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能4.5主应变将应力计算公式中的应力分量用应变分量替换，例如求主应变的特征方程对于非零解条件行列式展开得为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室