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1、特征方程2.当当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取 u=x,则得因此原方程的通解为1第1页/共11页特征方程3.当当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为2第2页/共11页小结小结:特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.3第3页/共11页若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广推广:4第4页/共11页例例1.的通解.解解:特征方程特征根:因此原方程的通解为
2、例例2.求解初值问题解解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为5第5页/共11页例例3.的通解.解解:特征方程特征根:因此原方程通解为例例4.解解:特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解6第6页/共11页例例5.解解:特征方程:特征根为则方程通解:7第7页/共11页内容小结内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.8第8页/共11页思考与练习思考与练习 求方程的通解.答案答案:通解为通解为通解为第八节 9第9页/共11页备用题备用题为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为10第10页/共11页11感谢您的欣赏！第11页/共11页