《随机过程2(2.1)学习.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机过程2(2.1)学习.pptx（44页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、Brown 运动的背景介绍运动的背景介绍l1827年英国植物学家发现布朗运动l1905年由爱因斯坦基于物理定律导出这个年由爱因斯坦基于物理定律导出这个现象的数学描述现象的数学描述.l相比之下数学上的描述比较慢，因为准确地数相比之下数学上的描述比较慢，因为准确地数学描述这个模型非常困难学描述这个模型非常困难.l1900年巴舍利耶在他的博士论文中推测到布年巴舍利耶在他的博士论文中推测到布朗运动的一些结果朗运动的一些结果l1918年年Wiener在博士论文以及后来的文章中给出该在博士论文以及后来的文章中给出该理论简明的数学公式理论简明的数学公式l此后该课题得到了巨大的发展,被一些列的物理学家完善第1
2、页/共44页l 布朗运动解释为布朗运动解释为随机游动的极限随机游动的极限l W(t)表示质点在表示质点在时刻时刻t的位置的位置，则，则W(t)也表示也表示质点直到质点直到t所作的位移，因此在时间所作的位移，因此在时间(s,t)内，它所内，它所做的位移是做的位移是W(t)-W(s),由于在时间由于在时间(s,t)内质点受内质点受到周围分子的大量碰撞，每次碰撞都产生一个小到周围分子的大量碰撞，每次碰撞都产生一个小的位移，故的位移，故W(t)-W(s)是大量小位移的和，由是大量小位移的和，由中中心极限定理它服从正态分布心极限定理它服从正态分布l 介质处于介质处于平衡状态平衡状态，因此质点在一小区间上
3、，因此质点在一小区间上位移的位移的统计规律只与区间长度有关统计规律只与区间长度有关，而与开始，而与开始观察的时刻无关观察的时刻无关l由于分子运动的由于分子运动的独立性和无规则性独立性和无规则性，认为质点，认为质点在不同时间内受到的碰撞是独立的，故所产生的在不同时间内受到的碰撞是独立的，故所产生的位移也是独立的位移也是独立的第2页/共44页（Brown motion）称称实实S.P.W(t),t0是是Wiener过程过程,如果如果是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量的也称为的也称为标准标准运动运动（）随机过程具有连续的样本轨道（）随机过程具有连续的样本轨道二二.布朗运动的定义布朗运动的定义第
4、3页/共44页Wiener过程过程称称实实S.P.W(t),t0是参数为是参数为2 2的的Wiener过程过程,如果如果是平稳的独立增量过程是平稳的独立增量过程第4页/共44页一、直线上的随机游动 设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔t 时时间，等概率地向左或向右移动间，等概率地向左或向右移动x的距离。以的距离。以X(t)表表示时刻示时刻t粒子的位置，则粒子的位置，则其中其中如果步长为如果步长为x的第的第i步向右步向右如果步长为如果步长为x的第的第i步向左步向左且且Xi相互独立。相互独立。布朗运动定义的来源第5页/共44页因为因为所以所以当当 时，应有时，应
5、有令令则当则当 时，有时，有注：若注：若 当当 时时，当当 时时，一维Brown运动可看作质点在直线上作简单随机游动的极限.第6页/共44页三三 Brown运动的数字特征运动的数字特征定理定理设设 W(t),t0是参数为是参数为2的的Wiener过程过程.则则证明证明(1)由定义由定义,显然成立显然成立.(2)由由(1)易知有易知有第7页/共44页对对s0,0,t 0,0,不妨设不妨设 st,t,则则独立性第8页/共44页例例1 SBM是正态过程是正态过程证明证明 设设 W(t),t0是参数为是参数为1的的Wiener过程过程.则对任意的则对任意的n1,1,以及任意的以及任意的W(t1),W(
6、t2),W(tn)是n维随机变量由由Wiener过程的定义知过程的定义知相互独立相互独立所以所以是是n维正态随机变量维正态随机变量.第9页/共44页又由于又由于所以所以是是n维正态变量维正态变量.所以所以W(t),t0是正态过程是正态过程.第10页/共44页的联合密度函数为的联合密度函数为其中其中这是因为在这是因为在W(t1)=x1的条件下，的条件下，W(t2)的条件密度的条件密度函数为函数为由此可以看出由此可以看出 服从服从n维正态分布维正态分布。例2:求布朗运动W(t)的联合概率密度解：设W(t)是标准布朗运动，对任意的t1t20和固定的时间和固定的时间指标指标t0,有有W(at)=a1/
7、2W(t)3.时间可逆性时间可逆性 B(t)=W(T)-W(T-t)则则B=B(t),0tT也是一个标准也是一个标准Brown运运动动第15页/共44页对称性的证明对称性的证明：显然显然 -W(0)=0是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量第16页/共44页 上式表明，给定初始条件上式表明，给定初始条件W(t0)=x0，对于任意，对于任意的的t0，布朗运动在，布朗运动在t0+t时刻的位置高于或低于初时刻的位置高于或低于初始位置的概率相等。这种性质称为布朗运动的对始位置的概率相等。这种性质称为布朗运动的对称性称性。布朗运动W(t)的对称性在W(t0)=x0的条件下，W(t0+t)的条件密度函数
8、为第17页/共44页令令自相似性证明自相似性证明要证要证X服从正态分布服从正态分布第18页/共44页时间可逆性证明：显然显然 B(0)=W(T)-W(T-0)=0即即是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量第19页/共44页4.平移不变性：平移不变性：B(t)=W(t+a)-W(a)，t0,a是常数，则是常数，则B(t)是是BM5.尺度不变性：尺度不变性：是标准BM6.马氏性：马氏性：布朗运动是马氏过程布朗运动是马氏过程第20页/共44页因为布朗运动是独立增量过程，所以，因为布朗运动是独立增量过程，所以，W(t+s)-W(s)与过程在时刻与过程在时刻s之前的值独立。之前的值独立。第21页/共4
9、4页 例例5 设设W(t)，t0是标准布朗运动，是标准布朗运动，求求E(W(2)W(3),E(W(2)W(3),E(W(2)W(4)W(3).解解（1）第22页/共44页（2）（3）第23页/共44页7，布朗运动的轨道在任何区间上都不是单调的。8，布朗运动的轨道在任何点都不是可微的。9，布朗运动的轨道在任何区间上都是无限变差的。10，对于任意的t，布朗运动在0,t上的二次变差等于t。二次变差的定义二次变差的定义定义定义：设函数设函数f(t)在在0，T上有定义，在上有定义，在0，T上定上定义一个剖义一个剖 分分则相应于剖分则相应于剖分f(t)的二次变差定义为的二次变差定义为第24页/共44页二次
10、变差函数是随机微积分中最基本的定义之一 是伊藤积分等的研究对象和分析工具，对现代分析数学和金融数学产生了深远的影响 第25页/共44页性质性质8.Brown运动样本轨道的不可微性运动样本轨道的不可微性定理定理3.2.1 设设对于固定的时刻对于固定的时刻t0,定义增量定义增量那么对于任意固定的那么对于任意固定的和时刻和时刻有有第26页/共44页第27页/共44页第28页/共44页 例6 设W(t)是布朗运动，求W(1)+W(2)+W(3)+W(4)的分布。解 令则则X是多元正态分布是多元正态分布,具有零均值具有零均值,协方差矩阵为协方差矩阵为第29页/共44页令令则则而而所以所以,第30页/共4
11、4页补充：布朗运动的首达时与最大值补充：布朗运动的首达时与最大值第31页/共44页最大值与首中时的分布特性最大值与首中时的分布特性关键的结论关键的结论第32页/共44页一、首中时及其分布一、首中时及其分布设设B(t),t0为标准布朗运动，为标准布朗运动，B(0)=0，令令Ta=inft;t0,B(t)=a，则，则Ta表示首次击中表示首次击中a的时刻的时刻（首中时）。（首中时）。下面求下面求Ta的分布函数的分布函数P(Tat).由全概公式有由全概公式有三.首中时、最大值变量及反正弦律第33页/共44页显然显然又由布朗运动的对称性知，在又由布朗运动的对称性知，在Tat的条件下，的条件下，即即B(T
12、a)=a时，时，B(t)a与与B(t)a是等可能的，是等可能的，即即于是当于是当a 0时，有时，有第34页/共44页推论推论1：P(Ta)=1（布朗运动的常返性布朗运动的常返性）第35页/共44页推论2：ETa=+布朗运动的零常返性第36页/共44页推论3：由布朗运动的对称性，有T-a与Ta有相同的分布，即 P(T-at)=P(Tat).所以，对任意的a有第37页/共44页 由推论由推论1和推论和推论2知，布朗运动以概率知，布朗运动以概率1迟早会击迟早会击中中a，但它的平均时间却是无穷的。并且布朗运动从，但它的平均时间却是无穷的。并且布朗运动从任何一点出发击中任何一点出发击中a的概率都是的概率
13、都是1。性质。性质P(Ta)=1称为布朗运动的常返性。称为布朗运动的常返性。二、最大值及其分布称为布朗运动在称为布朗运动在0,t中的最大值。中的最大值。利用利用可得可得第38页/共44页类似地可得到布朗运动在类似地可得到布朗运动在0,t中的最小值中的最小值的分布。的分布。三、反正弦律三、反正弦律 对任意的对任意的t1t2，记事件，记事件0(t1,t2)=至少有一个至少有一个t (t1,t2),使得使得B(t)=0 =在在(t1,t2)内，内，B(t)=0至少有一个零点至少有一个零点，由，由全概公式有全概公式有第39页/共44页由布朗运动的连续性、对称性及马尔可夫性知由布朗运动的连续性、对称性及马尔可夫性知定理：定理：记记0(t1,t2)=至少有一个至少有一个t (t1,t2),使得使得B(t)=0在在t (t1,t2)内没有一个内没有一个t,使得使得B(t)=0，则则第40页/共44页第41页/共44页令u=t1v2，则上式化为第42页/共44页特别，当t1=xt,t2=t,0 x1时，有第43页/共44页感谢您的观看！第44页/共44页