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1、1.1 状态变量及状态空间表达式1 状态描述一个系统得过去、现在和将来的状况2 状态变量足以表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量注1.1-1：一个用n阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动也就被揭示无遗。例如微分方程：注1.1-2：状态变量的个数等于系统独立储能元件的个数。第第2页页/共共88页页第1页/共88页1.1 状态变量及状态空间表达式3 状态矢量如果n个状态变量用 表示，并把这些状态看作是 的分量，则 就称作状态矢量：4 状态空间以状态变量 为坐标轴构成的n维空间，称为状态空间。随着时间的推移，将在状态空间中描述出一条轨迹，称为
2、状态轨迹。第第3页页/共共88页页第2页/共88页1.1 状态变量及状态空间表达式5 状态方程描述系统状态与输入之间关系的一阶微分方程组：6 输出方程描述系统输出与状态、输入之间关系的表达式：7 状态空间表达式状态方程+输出方程，构成一个系统完整的动态描述：第第4页页/共共88页页第3页/共88页1.1 状态变量及状态空间表达式例1.1-1 求R-L-C电路的状态空间表达式，输出为电容两端电压图1.1-1 R-L-C电路1 选择状态变量例题 1.1【解答】状态变量个数：独立储能元件个数。所以选择电容C两端电压，和流经电感L的电流。第第5页页/共共88页页第4页/共88页1.1 状态变量及状态空
3、间表达式2 列写一阶微分方程例题 1.1-1【解答】3 列写状态方程和输出方程（1）状态方程第第6页页/共共88页页第5页/共88页1.1 状态变量及状态空间表达式例题 1.1-1【解答】3 列写状态方程和输出方程（2）输出方程4 列写状态空间表达式第第7页页/共共88页页第6页/共88页1.1 状态变量及状态空间表达式8 状态空间表达式的一般形式状态矩阵输入矩阵直接转移矩阵输出向量输出矩阵状态向量输入向量第第8页页/共共88页页第7页/共88页1.1 状态变量及状态空间表达式8 状态空间表达式的一般形式（1）SISO（2）MIMO第第9页页/共共88页页第8页/共88页1.1 状态变量及状态
4、空间表达式9 状态空间表达式系统框图注1.1-3：从状态空间表达式与系统框图可以看出，状态空间方法既表征了输入对系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响。所以状态空间表达式是对系统的一种完全描述。第第10页页/共共88页页第9页/共88页 本章结构第1章 控制系统的状态空间表达式1.1 状态变量及状态空间表达式1.2 状态空间表达式的模拟结构图1.3 状态空间表达式的建立（一）1.4 状态空间表达式的建立（二）1.5 状态变量的线性变换1.6 从状态空间表达式求传递函数1.7 离散时间系统的状态空间表达式1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论第第11页页/共共88页
5、页第10页/共88页1.2 状态空间表达式的模拟结构图1 作用采用模拟结构图来反映系统各状态变量之间的信息传递关系。2 三类基本框图第第12页页/共共88页页第11页/共88页1.2 状态空间表达式的模拟结构图例1.2-1 设一阶系统状态方程为 则其状态图为例1.2-2 设三阶系统状态空间表达式为 第第13页页/共共88页页第12页/共88页1.2 状态空间表达式的模拟结构图第第14页页/共共88页页第13页/共88页 本章结构第1章 控制系统的状态空间表达式1.1 状态变量及状态空间表达式1.2 状态空间表达式的模拟结构图1.3 状态空间表达式的建立（一）1.4 状态空间表达式的建立（二）1
6、.5 状态变量的线性变换1.6 从状态空间表达式求传递函数1.7 离散时间系统的状态空间表达式1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论第第15页页/共共88页页第14页/共88页1.3 状态空间表达式的建立（一）1 由系统框图建状态空间表达式用状态空间法分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式，一般有3种途径：（1）由系统方块图来建立（2）从机理特性出发建立（3）由高阶微分方程和传递函数建立例1.3-1 系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式第第16页页/共共88页页第15页/共88页1.3 状态空间表达式的建立（一）例1.3-1 系统方块图如下，输入为u，输出
7、为y，试求其状态空间表达式例题 1.3-1【解答】求解步骤：1 选择状态变量2 列写状态方程3 列写输出方程4 写成状态空间表达式第第17页页/共共88页页第16页/共88页1.3 状态空间表达式的建立（一）例1.3-1 系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式1 选择状态变量每一个方块的后面，除比例环节。2 列写状态方程3 列写输出方程4 列写状态空间形式x3x2x1第第18页页/共共88页页第17页/共88页1.3 状态空间表达式的建立（一）例1.3-2 系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式例1.3-3 系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间
8、表达式第第19页页/共共88页页第18页/共88页1.3 状态空间表达式的建立（一）例1.3-3 系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式z-p第第20页页/共共88页页第19页/共88页1.3 状态空间表达式的建立（一）2 从机理特性出发建状态空间表达式一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系统的状态方程。弹簧-质量-阻尼器系统电路系统系统第第21页页/共共88页页第20页/共88页1.3 状态空间表达式的建立（一）例1.3
9、-4 如图1.3-4所示的电路，试以电压u为输出，以电容C上的电压uc为输出变量，列写其状态空间表达式图1.3-4 电路系统系统例题 1.3-4【解答】1 选择状态变量电路的贮能元件有电感L1，L2和电容C。考虑到i1、i2、uc这三个变量是独立的，故可确定为系统的状态变量。第第22页页/共共88页页第21页/共88页1.3 状态空间表达式的建立（一）2 列写状态方程根据基尔霍夫定律列写电路方程现在令x1=i1，x2=i2，x3=uc，将上式写成矩阵形式即为状态方程第第23页页/共共88页页第22页/共88页1.3 状态空间表达式的建立（一）3 列写输出方程由于前面已指出电容上的电压uc为输出
10、变量，故系统的输出方程为4 整理成状态空间表达式第第24页页/共共88页页第23页/共88页1.3 状态空间表达式的建立（一）例1.3-5 如图1.3-5所示，输入为外力F(t)，输出为位移y(t)，小车质量为m，试建立机械位移系统的状态空间表达式例题 1.3-5【解答】1 选择状态变量选择位移y(t)，速度y(t)为系统的状态变量。图1.3-5 弹簧-质量-阻尼器系统第第25页页/共共88页页第24页/共88页1.3 状态空间表达式的建立（一）2 列写状态方程根据牛顿运动学定律列写运动方程现在令x1=y，x2=，将上式写成矩阵形式即为状态方程3 列写输出方程4 整理成状态空间表达式第第26页
11、页/共共88页页第25页/共88页 本章结构第1章 控制系统的状态空间表达式1.1 状态变量及状态空间表达式1.2 状态空间表达式的模拟结构图1.3 状态空间表达式的建立（一）1.4 状态空间表达式的建立（二）1.5 状态变量的线性变换1.6 从状态空间表达式求传递函数1.7 离散时间系统的状态空间表达式1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论第第27页页/共共88页页第26页/共88页1.4 状态空间表达式的建立（二）在经典控制理论中，系统的模型采用微分方程或传递函数来表示，表示的是系统输入-输出之间的关系。这一节将讲解如何从微分方程或传递函数来得到系统的状态空间表达式，控制上将这种
12、问题称为实现问题。（1）能控标准型（2）能观标准型（3）对角标准型（4）Jordan（约旦）标准型第第28页页/共共88页页第27页/共88页1.4 状态空间表达式的建立（二）1 能控标准型考虑由下式定义的系统（单变量线性定常，）(1)m=0系统的传递函数为：系统的传递函数为：第第29页页/共共88页页第28页/共88页1.4 状态空间表达式的建立（二）1 能控标准型(1)m=0系统模拟结构图为：系统状态方程为：输出方程为：第第30页页/共共88页页第29页/共88页1.4 状态空间表达式的建立（二）1 能控标准型(1)m=0系统状态空间表达式为：第第31页页/共共88页页第30页/共88页1
13、.4 状态空间表达式的建立（二）例1.4-1 系统的输入输出微分方程为：列写其状态方程和输出方程例题 1.4-1【解答】1 直接按能控标准型列写第第32页页/共共88页页第31页/共88页1.4 状态空间表达式的建立（二）1 能控标准型(2)m0系统的传递函数为：设待实现系统的传递函数为：第第33页页/共共88页页第32页/共88页1.4 状态空间表达式的建立（二）1 能控标准型(2)m0第第34页页/共共88页页第33页/共88页1.4 状态空间表达式的建立（二）1 能控标准型(2)m0第第35页页/共共88页页第34页/共88页1.4 状态空间表达式的建立（二）1 能控标准型(2)m0推广
14、到n阶，状态空间表达式为：第第36页页/共共88页页第35页/共88页1.4 状态空间表达式的建立（二）2 能观标准型第第37页页/共共88页页第36页/共88页1.4 状态空间表达式的建立（二）例1.4-2 系统的输入输出微分方程为：列写其状态方程和输出方程例题 1.4-2【解答】1 直接按能控标准型列写第第38页页/共共88页页第37页/共88页1.4 状态空间表达式的建立（二）3 对角标准型当系统的传递函数如下表示时：考虑分母多项式中只含相异根的情况。第第39页页/共共88页页第38页/共88页1.4 状态空间表达式的建立（二）3 对角标准型状态变量的拉普拉斯变换为第第40页页/共共88
15、页页第39页/共88页1.4 状态空间表达式的建立（二）4 约旦标准型当系统的传递函数如下表示时：考虑分母多项式中含有重根的情况。第第41页页/共共88页页第40页/共88页1.4 状态空间表达式的建立（二）4 约旦标准型第第42页页/共共88页页第41页/共88页1.4 状态空间表达式的建立（二）4 约旦标准型设n阶系统只有一个独立的n重极点s1.则G(s)由部分分式法展开为其中，设状态变量为：第第43页页/共共88页页第42页/共88页1.4 状态空间表达式的建立（二）4 约旦标准型第第44页页/共共88页页第43页/共88页1.4 状态空间表达式的建立（二）例1.4-3 系统的输入输出传
16、递函数为：列写其对角标准型状态方程和输出方程例题 1.4-3【解答】1 化为真有理式第第45页页/共共88页页第44页/共88页1.4 状态空间表达式的建立（二）2 列写对角标准型第第46页页/共共88页页第45页/共88页1.4 状态空间表达式的建立（二）例1.4-4 系统的输入输出传递函数为：列写其能控、能观、对角标准型状态方程和输出方程能控标准型对角标准型能观标准型第第47页页/共共88页页第46页/共88页 本章结构第1章 控制系统的状态空间表达式1.1 状态变量及状态空间表达式1.2 状态空间表达式的模拟结构图1.3 状态空间表达式的建立（一）1.4 状态空间表达式的建立（二）1.5
17、 状态变量的线性变换1.6 从状态空间表达式求传递函数1.7 离散时间系统的状态空间表达式1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论第第48页页/共共88页页第47页/共88页1.5 状态变量的线性变换1 线性变换的概念如前所述，一个n阶系统必有n个状态变量。然而，这n个状态变量的选择却不是唯一的。但它们之间存在着线性变换关系。（1）定义：状态 x与z的变换，称为状态的线性变换 由于状态变量是状态空间中的一组基底。因此，状态变换的实质就是状态空间基底（坐标）的变换。线性变换关系为：或注：T为非奇异矩阵第第49页页/共共88页页第48页/共88页1.5 状态变量的线性变换1 线性变换的概念
18、（2）基本关系式：设一个n阶系统，状态矢量为x,其状态空间表达式为 现取线性变换为 ,其中:是 阶非奇异阵。代入上述表达式，得第第50页页/共共88页页第49页/共88页1.5 状态变量的线性变换例1.5-1 第第51页页/共共88页页第50页/共88页1.5 状态变量的线性变换第第52页页/共共88页页第51页/共88页1.5 状态变量的线性变换第第53页页/共共88页页第52页/共88页1.5 状态变量的线性变换第第54页页/共共88页页第53页/共88页1.5 状态变量的线性变换第第55页页/共共88页页第54页/共88页1.5 状态变量的线性变换2 系统特征值的不变性及系统的不变量（1
19、）系统的特征值：对于线性定常系统，系统的特征值是一个重要的概念，它决定了系统的基本特性。对于系统：系统的特征值就是系统矩阵A的特征值。系统的特征方程为：系统的特征多项式为：若：第第56页页/共共88页页第55页/共88页1.5 状态变量的线性变换2 系统特征值的不变性及系统的不变量（2）系统不变性与特征值的不变性尽管 与 形式不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。第第57页页/共共88页页第56页/共88页1.5 状态变量的线性变换2 系统特征值的不变性及系统的不变量（3）特征值向量（矢量）例1.5-2 第第58页页/共共88页页第57页/共88页1.5 状态变量的线性变
20、换第第59页页/共共88页页第58页/共88页1.5 状态变量的线性变换第第60页页/共共88页页第59页/共88页1.5 状态变量的线性变换3 状态空间表达式变换成约旦标准型约旦标准型包括两种情况，一种是对角型，一种是标准型。对于系统：A特征值无重根A特征值有重根第第61页页/共共88页页第60页/共88页1.5 状态变量的线性变换3 状态空间表达式变换成约旦标准型（1）A特征值无重根步骤1 求A的特征值2 求特征值对应的特征向量3 定义转化矩阵为：4 求新的状态表达式第第62页页/共共88页页第61页/共88页1.5 状态变量的线性变换例1.5-3 解答例1.5-3 将下面系统化为对角标准
21、型1 求A的特征值得到：第第63页页/共共88页页第62页/共88页1.5 状态变量的线性变换2 求特征值对应的特征向量当 时由 同理：3 定义转化矩阵为：第第64页页/共共88页页第63页/共88页1.5 状态变量的线性变换4 求新的状态表达式第第65页页/共共88页页第64页/共88页1.5 状态变量的线性变换3 状态空间表达式变换成约旦标准型（2）A特征值有重根步骤1 求A的特征值2 求特征值对应的特征向量3 定义转化矩阵为：4 求新的状态表达式第第66页页/共共88页页第65页/共88页1.5 状态变量的线性变换例1.5-4 第第67页页/共共88页页第66页/共88页1.5 状态变量
22、的线性变换第第68页页/共共88页页第67页/共88页1.5 状态变量的线性变换第第69页页/共共88页页第68页/共88页1.5 状态变量的线性变换第第70页页/共共88页页第69页/共88页1.5 状态变量的线性变换例1.5-3 解答例1.5-5 将A化为对角标准型线性无关的两个向量第第71页页/共共88页页第70页/共88页1.5 状态变量的线性变换求的：注1.5-1：A有重特征值，但A仍有n个独立的特征向量注1.5-2：A有重特征值，但A的独立特征矢量个数小于系统的阶数n第第72页页/共共88页页第71页/共88页1.5 状态变量的线性变换3 状态空间表达式变换成约旦标准型（3）A为能
23、控标准型 A的特征值无重根时 Vandermonde范德蒙德矩阵第第73页页/共共88页页第72页/共88页1.5 状态变量的线性变换3 状态空间表达式变换成约旦标准型 A的特征值有重根时 以有三重根为例 A的特征值有共轭复根时第第74页页/共共88页页第73页/共88页1.5 状态变量的线性变换例1.5-3 解答例1.5-6 将A化为约旦标准型第第75页页/共共88页页第74页/共88页 本章结构第1章 控制系统的状态空间表达式1.1 状态变量及状态空间表达式1.2 状态空间表达式的模拟结构图1.3 状态空间表达式的建立（一）1.4 状态空间表达式的建立（二）1.5 状态变量的线性变换1.6
24、 从状态空间表达式求传递函数1.7 离散时间系统的状态空间表达式1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论第第76页页/共共88页页第75页/共88页1.6 从状态空间表达式求传递函数1 传递函数 在经典理论中，我们常用传递函数来表示SISO线性定常系统输入输出间的传递特性。其定义是：零初始条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比第第77页页/共共88页页第76页/共88页1.6 从状态空间表达式求传递函数1 传递函数使用Laplace变换，并假设初始条件为零故U-X间的传递函数为：故U-Y间的传递函数为：第第78页页/共共88页页第77页/共88页1.6 从状态空间表达式求传递函数1
25、 传递函数对于双输入双输出系统(见下图)。按输入的叠加性，将输出分别用两个方程表示出第第79页页/共共88页页第78页/共88页1.6 从状态空间表达式求传递函数例1.6-1 已知状态空间表达式：求其传递函数例1.6-1 解答第第80页页/共共88页页第79页/共88页1.6 从状态空间表达式求传递函数2 子系统互连主要有3种形式，并联、串联和反馈形式，下面以两个子系统的联结为例，推导等效的传递函数。第第81页页/共共88页页第80页/共88页1.6 从状态空间表达式求传递函数2 子系统互连（1）并联。相同输入第第82页页/共共88页页第81页/共88页1.6 从状态空间表达式求传递函数2 子
26、系统互连（1）并联。相同输入传递函数为：状态空间为：第第83页页/共共88页页第82页/共88页1.6 从状态空间表达式求传递函数2 子系统互连（2）串联。第第84页页/共共88页页第83页/共88页1.6 从状态空间表达式求传递函数2 子系统互连（3）反馈第第85页页/共共88页页第84页/共88页1.6 从状态空间表达式求传递函数第第86页页/共共88页页第85页/共88页1.6 从状态空间表达式求传递函数第第87页页/共共88页页第86页/共88页1 理解状态空间表达式的基本概念2 状态空间表达式的模拟结构图3 状态空间表达式建立的3种方法 由系统方块图来建立 从机理特性出发建立 由高阶微分方程和传递函数建立4 能控、对角、约旦标准型建立5 由状态空间求传递函数本章要点总结第第88页页/共共88页页第87页/共88页感谢您的观看！第88页/共88页