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1、第7章 内力和应力本讲稿第一页，共十六页1总体坐标系下的单元节点位移总体坐标系下的单元节点位移 总体坐标系下单元节点位移向量总体坐标系下单元节点位移向量 e与整个结构的节点位与整个结构的节点位移向量移向量 的对应关系，可通过的对应关系，可通过IS数组联系。根据第数组联系。根据第14章章IS数数组的定义，单元内部编号为组的定义，单元内部编号为I的节点位移，对应的结构整体位移的节点位移，对应的结构整体位移编号为编号为IS(I)，所以所以 I=1,2,NFD (16.1)2局部坐标下的单元节点位移局部坐标下的单元节点位移已知单元总体坐标系下的节点位移已知单元总体坐标系下的节点位移 以后，可利用坐标变
2、以后，可利用坐标变换求出局部坐标系下单元的节点位移换求出局部坐标系下单元的节点位移 (16.2)式中式中R为坐标变换矩阵。为坐标变换矩阵。本讲稿第二页，共十六页16.1.2 16.1.2 单元节点力单元节点力 根据结构设计的需要，对于杆单元和梁单元一般是以内力作为承根据结构设计的需要，对于杆单元和梁单元一般是以内力作为承载能力的依据，所以需要计算和输出单元节点力。节点力是在单元局载能力的依据，所以需要计算和输出单元节点力。节点力是在单元局部坐标系下定义的，它们分别对应于轴力、剪力和弯矩等内力。部坐标系下定义的，它们分别对应于轴力、剪力和弯矩等内力。1 1杆单元杆单元 杆单元节点力与节点位移之间
3、的关系，由局部坐标系下杆单元节点力与节点位移之间的关系，由局部坐标系下的单元刚度矩阵联系的单元刚度矩阵联系(16.3)2 2梁单元梁单元 梁单元上若有非节点荷载作用，节点力还需在式梁单元上若有非节点荷载作用，节点力还需在式(16.3)的的基础上叠加各非节点荷载引起的固端反力基础上叠加各非节点荷载引起的固端反力，即，即本讲稿第三页，共十六页(16.4)16.1.3 16.1.3 单元应力单元应力 1杆单元 对于桁架杆单元，通常计算输出单元（杆段）轴力对于桁架杆单元，通常计算输出单元（杆段）轴力N和正应力和正应力 的数值。由图的数值。由图2.1关于杆单元局部坐标系下节点力的定义，可知轴力关于杆单元
4、局部坐标系下节点力的定义，可知轴力N等等于于j节点的节点力，即节点的节点力，即(16.5)所以，轴向正应力为所以，轴向正应力为(16.6)本讲稿第四页，共十六页2平面应力单元平面应力单元 平面应力单元的应力向量平面应力单元的应力向量 通过弹性矩阵通过弹性矩阵D和应变向量相联系，和应变向量相联系，而应变向量又和应变矩阵而应变向量又和应变矩阵B、节点位移向量节点位移向量 e联系在一起，即联系在一起，即(16.7)式中式中S=DB称为称为应力矩阵。应力矩阵。对于三角形单元，应变和应力在单元内为常量，一般认为它对于三角形单元，应变和应力在单元内为常量，一般认为它是三角形形心处的应力代表值。是三角形形心
5、处的应力代表值。对于三角形某一顶点上的应力对于三角形某一顶点上的应力可由相关单元应力的算术平均值来表示可由相关单元应力的算术平均值来表示。对于八节点等参单元，。对于八节点等参单元，应力在单元内是变化的，所以需要计算指定点的应力。通常计算单应力在单元内是变化的，所以需要计算指定点的应力。通常计算单元内高斯积分点的应力，也可以计算八个节点的应力，随需要而定。元内高斯积分点的应力，也可以计算八个节点的应力，随需要而定。本讲稿第五页，共十六页 强度计算的依据不是式强度计算的依据不是式(16.7)所示的正应力和剪应力，而是由所示的正应力和剪应力，而是由此产生的主应力或等效应力。这是二向应力状态，由材料力
6、学理论此产生的主应力或等效应力。这是二向应力状态，由材料力学理论可得主应力和主方向分别为可得主应力和主方向分别为(16.8)和和(16.9)是较大主应力是较大主应力 与与x轴的夹角，由莫尔应力圆分析可知：轴的夹角，由莫尔应力圆分析可知：当当 时，时，90；当；当 时，时，90；当当 =时，时，0、2 =-90，0、2 =90 。本讲稿第六页，共十六页将应力将应力 、和和0按代数值的大小排序，得到第一、第二和按代数值的大小排序，得到第一、第二和第三主应力第三主应力 、和和 。第一主应力为最大主应力、第三主。第一主应力为最大主应力、第三主应力为最小主应力，第二主应力可由应力的第一不变量计应力为最小
7、主应力，第二主应力可由应力的第一不变量计算出来，即：算出来，即：(16.10)由三个主应力可以计算相应的由三个主应力可以计算相应的Tresca等效应力（第三强度理论）等效应力（第三强度理论）和和Mises等效应力（第四强度理论）：等效应力（第四强度理论）：(16.11)本讲稿第七页，共十六页16.2 程序设计程序设计 16.2.1 变量说明变量说明NL2 ：局部坐标系下单元自由度局部坐标系下单元自由度（桁架杆单元（桁架杆单元=2；梁单元；梁单元=6）PPE(NL2)：局部坐标系下单元节点力局部坐标系下单元节点力UPE(NL2)：局部坐标系下单元节点位移局部坐标系下单元节点位移UE(NFD)：总
8、体坐标系下单元节点位移总体坐标系下单元节点位移S(3,6)：平面应力三角形单元的应力矩阵平面应力三角形单元的应力矩阵S=DB S(3,16)：平面八节点等参单元应力矩阵平面八节点等参单元应力矩阵S=DB SS(8)、TT(8)：平面八节点等参单元标准单元的八个节点上平面八节点等参单元标准单元的八个节点上的的 值。值。ST(3)：平面应力单元的应力向量平面应力单元的应力向量本讲稿第八页，共十六页16.2.2 程序段程序段1梁杆单元梁杆单元 DO 800 IE=1 ,NE 对单元循环对单元循环 CALL KEP(NN,NA,IE,MEA,AEU,AAI,X,Y,AKEP)计算局部单元刚度计算局部单
9、元刚度 CALL CR(NN,IE,MEA,X,Y,R)计算坐标变换矩阵计算坐标变换矩阵R（空间桁架有空间桁架有z坐标）坐标）CALL FIS(IE,MEA,NF,ND,NFD,IS)计算计算IS数组数组 DO 750 I=1,NFD 单元自由度循环单元自由度循环 NI=IS(I)单元位移向量与整体位移向量的关系单元位移向量与整体位移向量的关系 UE(I)=P(NI)从整体位移向量中分离出单元位移从整体位移向量中分离出单元位移 750 CONTINUE CALL DOT(NL2,NFD,1,R,UE,UPE)计算局部坐标系下的单元节点位移计算局部坐标系下的单元节点位移 CALL DOT(NL2
10、,NL2,1,AKEP,UPE,PPE)计算局部坐标系下的单元节点力计算局部坐标系下的单元节点力 本讲稿第九页，共十六页 梁单元叠加固端反力梁单元叠加固端反力，形成最后节点力向量，形成最后节点力向量 DO 760 I=1,NFD 760 PPE(I)=PPE(I)+POP(I)固端力向量在此之前应予以计算固端力向量在此之前应予以计算 杆单元杆单元 ：NA1=MEA(IE,3)IE号杆单元的截面编号号杆单元的截面编号 AO=AAI(NA1)单元截面面积单元截面面积 STRESS=PPE(2)/AO 杆单元横截面上的应力杆单元横截面上的应力 输出内力、应力等结果输出内力、应力等结果800 CONT
11、INUE 本讲稿第十页，共十六页2平面应力三角形单元平面应力三角形单元 DO 800 IE=1,NE 对单元循环对单元循环 CALL KE(NN,IE,MEA,AEU,X,Y,T,B,D,AKE)计算计算B、D矩阵矩阵 CALL FIS(IE,MEA,NF,ND,NFD,IS)计算计算IS数组数组 DO 750 I=1,NFD 对单元自由度循环对单元自由度循环 NI=IS(I)单元位移与整体位移的对应关系单元位移与整体位移的对应关系 UE(I)=P(NI)从整体位移向量中分离出单元位移从整体位移向量中分离出单元位移 750 CONTINUE CALL DOT(3,3,6,D,B,S)计算应力矩
12、阵计算应力矩阵S CALL DOT(3,6,1,S,UE,ST)计算应力向量计算应力向量 C1=(ST(1)+ST(2)/2.0 计算主应力计算主应力 C2=SQRT(ST(1)-ST(2)*2/4.0+ST(3)*2)PSI=C1+C2 PSJ=C1-C2 S1=AMAX1(PSI,PSJ,0.0)S3=AMIN1(PSI,PSJ,0.0)S2=ST(1)+ST(2)-S1-S3 C3=(S1-S2)*2+(S2-S3)*2+(S3-S1)*2 SEQ4=SQRT(C3/2.0)计算等效应力计算等效应力本讲稿第十一页，共十六页IF (ST(1).NE.ST(2)THEN 计算主方向计算主方向
13、 ANGLE=ATAN(-2*ST(3)/(ST(1)-ST(2)IF (ST(1).LT.ST(2)THEN 又分两种情况又分两种情况 IF (ANGLE.GT.0.0)THEN ANGLE=3.1415926-ANGLE ELSE ANGLE=3.1415926+ANGLE ENDIF ELSE ENDIF ELSE ANGLE=3.1415926/2.0 IF (ST(3).GT.0.0)ANGLE=-ANGLE ENDIF ALPHA=(ANGLE/2.0)*180.0/3.1415926 输出主应力、主方向和等效应力输出主应力、主方向和等效应力 800 CONTINUE 本讲稿第十二
14、页，共十六页3.平面八节点等参单元节点应力计算平面八节点等参单元节点应力计算 SUBROUTINE STR COMMON/SOL1/NN,NE,NM,NC COMMON/SHU3/AEU(10,3)COMMON/SHU4/P(1000)COMMON/BMDMP/BMATX(3,16),DMATX(3,3)COMMON/SHU1/MEA(200,9)DIMENSION S(3,16),ST(3),VE(16),IS(16)DIMENSION SS(8),TT(8)DATA SS/-1.,1.,1.,-1.,0.,1.,0.,-1./DATA TT/-1.,-1.,1.,1.,-1.,0.,1.,
15、0./CALL ZERO(3,3,DMATX)CALL ZERO(3,16,BMATX)本讲稿第十三页，共十六页DO 800 IE=1,NE 对单元循环对单元循环 WRITE(2,850)IE NM1=MEA(IE,9)YOUNG=AEU(NM1,1)POISS=AEU(NM1,2)THICK=AEU(NM1,3)CALL MODPS(YOUNG,POISS)计算弹性矩阵计算弹性矩阵D CALL FIS(IE,IS)计算计算IS数组数组 DO 750 I=1,16 对单元自由度循环对单元自由度循环 NI=IS(I)单元位移与整体位移的对应关系单元位移与整体位移的对应关系 VE(I)=P(NI)
16、从整体位移向量中分离出单元位移从整体位移向量中分离出单元位移750 CONTINUE 本讲稿第十四页，共十六页 DO 300 I=1,8 对单元内的节点循环对单元内的节点循环 EXISP=SS(I)ETASP=TT(I)K=MEA(IE,I)CALL SFR2(EXISP,ETASP)计算形函数及其导数值计算形函数及其导数值 CALL JACOB2(IE,DJACB)计算雅可比矩阵计算雅可比矩阵J CALL BMATPS 计算应变矩阵计算应变矩阵B CALL DOT(3,3,16,DMATX,BMATX,S)计算应力矩阵计算应力矩阵S CALL DOT(3,16,1,S,VE,ST)计算应力向量计算应力向量 WRITE(2,880)I,K,ST(1),ST(2),ST(3)输出节点编号及节点应力输出节点编号及节点应力300 CONTINUE 800 CONTINUE880 FORMAT(I5,5X,I5,5X,F15.5,5X,F15.5,5X,F15.5)850 FORMAT(/10X,第第,I3,个单元的节点应力个单元的节点应力/2X,局部编号局部编号,2X,$整体编号整体编号,5X,U方向应力方向应力,12X,V方向应力方向应力,12X,剪应力剪应力)RETURN END 本讲稿第十五页，共十六页本讲稿第十六页，共十六页