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1、分析动力学基础1第1页，此课件共45页哦动力学普遍方程动力学普遍方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程的首次积分拉格朗日方程的首次积分2023/1/82第2页，此课件共45页哦运用矢量力学分析非自由质点系，必然会运用矢量力学分析非自由质点系，必然会遇到约束力多，方程数目多，求解烦琐，能否遇到约束力多，方程数目多，求解烦琐，能否建立不含未知约束力的动力学方程？建立不含未知约束力的动力学方程？将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为第二类拉氏方程，实现用最少数目方程，描述第二类拉氏方程
2、，实现用最少数目方程，描述动力系统动力系统。2023/1/83第3页，此课件共45页哦 一一.方程的一般形式方程的一般形式动力学普遍方程或动力学普遍方程或达朗贝尔拉格朗日原理达朗贝尔拉格朗日原理理想约束，不论约束完整，定常与否均适用理想约束，不论约束完整，定常与否均适用9-1 9-1 动力学普遍方程动力学普遍方程2.2.直角坐标形式：直角坐标形式：1.1.矢量形式：矢量形式：2023/1/84第4页，此课件共45页哦3.3.广义坐标形式广义坐标形式设完整约束系统有设完整约束系统有K个自由度，可取个自由度，可取 广义坐标广义坐标.广义主动力广义主动力广义惯性力广义惯性力注意注意注意注意:包含了惯
3、性力虚功包含了惯性力虚功!2023/1/85第5页，此课件共45页哦例例1 1 图示为离心式调速器图示为离心式调速器已知：已知：m1,m2,l,求：求：()的关系。的关系。BAClll ll 答：答：m1gm2gm1g2023/1/86第6页，此课件共45页哦例例2 2 已知已知求求a?答答:2023/1/87第7页，此课件共45页哦2023/1/88第8页，此课件共45页哦例例3 已知重量已知重量 轮纯滚轮纯滚,水平面光滑水平面光滑,求三求三棱柱加速度。棱柱加速度。2023/1/89第9页，此课件共45页哦解解:加惯性力，受力如图。加惯性力，受力如图。选选 广义坐标。广义坐标。由由有有即即
4、(a)又由又由 有有2023/1/810第10页，此课件共45页哦式式(a)代入代入(b),可得可得令令 时，牵连惯性力时，牵连惯性力 并不为零；并不为零；令令 时，相对惯性力时，相对惯性力 并不为零，并不为零，两者相互独立。两者相互独立。(b)即即注意注意:2023/1/811第11页，此课件共45页哦 例例例例4 4 均质圆柱均质圆柱1与与薄壁圆筒薄壁圆筒2用绳相连，并多圈缠绕圆筒用绳相连，并多圈缠绕圆筒(绳绳与滑轮与滑轮A的重量不计的重量不计)。已知。已知 试求运动过程中轮心试求运动过程中轮心C与轮心与轮心O的加速度大小。的加速度大小。图(a)2023/1/812第12页，此课件共45页
5、哦图图(b)取两轮转角取两轮转角 为为广义坐标，其受力与运广义坐标，其受力与运动分析，如图动分析，如图(b)所示，所示，令令 ，由，由(a)有有(b)解解:自由度自由度k=2=22023/1/813第13页，此课件共45页哦将式将式(a)及及代入代入(b)式式，得(c)再令由由有有 联立联立(c)和和(d)式，可得式，可得即即(d)图图(b)2023/1/814第14页，此课件共45页哦1.1.本题中如何求绳的张力及圆柱纯滚的条件本题中如何求绳的张力及圆柱纯滚的条件?2.2.用动力学普遍定理如何求解用动力学普遍定理如何求解?3.3.计入滑轮计入滑轮A质量质量,结果有何变化结果有何变化?图(b)
6、思考思考思考思考2023/1/815第15页，此课件共45页哦 不便计算，拉格朗日方程利用两个经典不便计算，拉格朗日方程利用两个经典微分关系。将微分关系。将 能量化能量化 从而导出拉氏从而导出拉氏方程。方程。9-2 拉格朗日方程拉格朗日方程对于完整的约束系统，动力学普遍方程的广义坐标形式为对于完整的约束系统，动力学普遍方程的广义坐标形式为1)1)“同时消点同时消点”2)2)“交换关系交换关系”（求导）（求导）2023/1/816第16页，此课件共45页哦一、拉氏方程的一般形式一、拉氏方程的一般形式一、拉氏方程的一般形式一、拉氏方程的一般形式第二类拉氏方程，以第二类拉氏方程，以t为自变量，为自变
7、量，为未知函数的为未知函数的二阶常微分方程组，二阶常微分方程组，2k个积分常量，须个积分常量，须2k个初始条个初始条件件2023/1/817第17页，此课件共45页哦OARrMM例例1 1 均质杆均质杆OA质量为质量为m1、可绕轴、可绕轴O转动转动,大大齿轮半径为齿轮半径为R，小齿轮质量为小齿轮质量为m2，半径为，半径为r，其上作用一常力偶，其上作用一常力偶M，设机构处于水平，设机构处于水平面。面。求：该杆的运动方程。求：该杆的运动方程。答：答：2023/1/818第18页，此课件共45页哦例例2 2 已知：已知：m1,m2,R,f,F 。求：求：板的加速度板的加速度a。F FCR答：答：Ox
8、x2023/1/819第19页，此课件共45页哦解解:本系统为完整约束，主动力非有本系统为完整约束，主动力非有势，采用基本形式的拉氏方程求解。势，采用基本形式的拉氏方程求解。例例例例.如图所示，铰盘半径为如图所示，铰盘半径为R，转动惯量为，转动惯量为J，其上作用力偶矩为其上作用力偶矩为M的力偶，重物质量分别为的力偶，重物质量分别为 不计摩擦与滑轮质量，求铰盘的角加速度不计摩擦与滑轮质量，求铰盘的角加速度 判断系统的自由度，判断系统的自由度，取广义坐标。取广义坐标。本题中，本题中，取，取 为广义坐标，为广义坐标，2023/1/820第20页，此课件共45页哦计算系统的计算系统的T与与 则有则有2
9、023/1/821第21页，此课件共45页哦代入拉氏方程，得系统的运动微分方程。代入拉氏方程，得系统的运动微分方程。代入代入 中，得中，得(a)代入代入 中，得中，得(b)解方程，求加速度。解方程，求加速度。，得，得 2023/1/822第22页，此课件共45页哦二、势力场中的拉氏方程二、势力场中的拉氏方程 若主动力有势若主动力有势 则有则有 引入拉格朗日函数引入拉格朗日函数 注意到注意到2023/1/823第23页，此课件共45页哦例例.图示两均质圆轮沿斜面纯滚，均质杆图示两均质圆轮沿斜面纯滚，均质杆AB与两轮心铰与两轮心铰接。已知接。已知 试求系统微振动微分方程及圆频率试求系统微振动微分方
10、程及圆频率 。2023/1/824第24页，此课件共45页哦，代入拉氏方程代入拉氏方程 中，有中，有 解解解解:系统自由度为系统自由度为1。取轮心。取轮心B沿斜面位移沿斜面位移x为为广义坐标。平衡位置为零势能位置，则任意广义坐标。平衡位置为零势能位置，则任意x位置时，位置时，系统的拉氏函数系统的拉氏函数:2023/1/825第25页，此课件共45页哦与简谐振动微分方程与简谐振动微分方程 对比可知对比可知振动圆频率振动圆频率 即即 为所求微分方程。为所求微分方程。2023/1/826第26页，此课件共45页哦 例例 与刚度为与刚度为 k 的弹簧的弹簧相连的滑块相连的滑块A，质量为，质量为m1,可
11、在光滑水平面上滑动。可在光滑水平面上滑动。滑块滑块A上又连一单摆，摆上又连一单摆，摆长长l，摆锤质量为，摆锤质量为m2 ，试，试列出该系统的运动微分方程。列出该系统的运动微分方程。答：答：2023/1/827第27页，此课件共45页哦例例如图所示，物如图所示，物A重为重为，物，物B重为重为，弹簧，弹簧刚度系数为刚度系数为k，其，其O端固定于物端固定于物A上，另一端与物上，另一端与物B相连。系统由相连。系统由静止开始运动，不计摩擦与弹簧质量，静止开始运动，不计摩擦与弹簧质量，且弹簧在初瞬时无变形，试求运动中物且弹簧在初瞬时无变形，试求运动中物A的加速度。的加速度。2023/1/828第28页，此
12、课件共45页哦解：系统处于势力场中，自由度为解：系统处于势力场中，自由度为2，取，取A的绝对位的绝对位移移，B的相对位移的相对位移 (弹簧的绝对伸长量弹簧的绝对伸长量)为广义坐为广义坐标。标。取系统的初始位置为零势能位置。在任意时刻取系统的初始位置为零势能位置。在任意时刻t,2023/1/829第29页，此课件共45页哦将以上各项代入下列拉氏方程将以上各项代入下列拉氏方程得得(a)(b)2023/1/830第30页，此课件共45页哦由式由式(a)和式和式(b)消去消去，得，得(c)其中其中由式由式(c)解得解得由由 时，时，得，得 故故(d)2023/1/831第31页，此课件共45页哦将式将
13、式(d)代入式代入式(c)，再将式，再将式(c)和和(d)代入式代入式(b)得得率为率为 。顺便指出，由式顺便指出，由式(c)和和(d)可知，物可知，物B相对于物相对于物A作在作在常力作用下的简谐振动，其振幅为常力作用下的简谐振动，其振幅为，固有频固有频2023/1/832第32页，此课件共45页哦思考：思考：本题中，本题中，a)如何求如何求A，B两物块所受光滑面的约束力两物块所受光滑面的约束力?b)若初瞬时弹簧有一初始伸长若初瞬时弹簧有一初始伸长 结果有何变化结果有何变化?c)试用质心运动定理和动能定理试用质心运动定理和动能定理求求解本例，并比解本例，并比较各种方法特点。较各种方法特点。20
14、23/1/833第33页，此课件共45页哦9.3 9.3 拉格朗日方程的初积分拉格朗日方程的初积分 拉氏方程是关于广义坐标的二阶非线性常微分方程拉氏方程是关于广义坐标的二阶非线性常微分方程拉氏方程是关于广义坐标的二阶非线性常微分方程拉氏方程是关于广义坐标的二阶非线性常微分方程,寻求寻求寻求寻求其解析解通常是十分困难的。但其解析解通常是十分困难的。但其解析解通常是十分困难的。但其解析解通常是十分困难的。但对于保守系统，对于保守系统，在某些条件下，在某些条件下，在某些条件下，在某些条件下，可经首次积分降为一阶，可经首次积分降为一阶，可经首次积分降为一阶，可经首次积分降为一阶，从而使得保守系统动力学
15、问题的求解过从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。程进一步简化。且具有明显的物理意义。且具有明显的物理意义。且具有明显的物理意义。且具有明显的物理意义。循环坐标循环坐标如果拉格朗日函数如果拉格朗日函数L L中不显含某一广义坐标中不显含某一广义坐标 q qr r ,则该则该坐标称为系统的循环坐标。坐标称为系统的循环坐标。一、广义动量积分一、广义动量积分 保守系统拉格朗日方程的初积分包括：广义动量积分、广义能量积保守系统拉格朗日方程的初积分包括：广义动量积分、广义能量积分。分。2023/1/834第34页，此课件共45页哦于是拉氏方程成为于是拉氏方程成为称为循环积分称为循环积分称为广义动
16、量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。2023/1/835第35页，此课件共45页哦二二.广义能量积分广义能量积分广义能量积分广义能量积分 保守系统的拉格朗日函数不显含时间保守系统的拉格朗日函数不显含时间t t 时，保守系统的时，保守系统的广义能量守恒。广义能量守恒。当系统约束为定常时，系统的广义能量积分式就是系统的机械当系统约束为定常时，系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒。能守恒。2023/1/836第36页，此课件共45页哦 一个系统循环积分可能不止
17、一个，有几个循环坐标，便有几个相一个系统循环积分可能不止一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分；但能量积分只可能有一个。应的循环积分；但能量积分只可能有一个。循环积分和能量积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得循环积分和能量积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。2023/1/837第37页，此课件共45页哦例例 质量为质量为m半径为半径为r的圆环在圆心的圆环在圆心A上铰接一长度为上铰接一长度为l 质量亦为质量亦为m的单摆的单摆B如图示。试就以下两种情况讨论其拉格朗日方程的初积如图示。试就以下两
18、种情况讨论其拉格朗日方程的初积分：（分：（1 1）圆环作纯滑动；（）圆环作纯滑动；（2 2）圆环作纯滚动。）圆环作纯滚动。答：答：(1)(1)圆环作纯滑动圆环作纯滑动 AxO(2)(2)圆环作纯滚动圆环作纯滚动 2023/1/838第38页，此课件共45页哦例例 均质轮与均质杆质量均为均质轮与均质杆质量均为m，轮半径为，轮半径为r，杆长杆长 l。若杆由水平静止释放，轮纯滚。若杆由水平静止释放，轮纯滚。求求 时时 及及 。选选x和和为广义坐标。为广义坐标。2023/1/839第39页，此课件共45页哦故有循环积分，故有循环积分，常数常数(初始为初始为0)又又约束定常、完整、理想、且系统保守。约束
19、定常、完整、理想、且系统保守。即即 (b)x方向广义动量守恒，并非系统方向广义动量守恒，并非系统x方向动量方向动量守恒守恒。故故常数常数2023/1/840第40页，此课件共45页哦时时，(a)，(b)两式为两式为解之得解之得1.1.若接触平面光滑若接触平面光滑(f=0)，结果如何，结果如何?2.2.若左边连接一水平弹簧若左边连接一水平弹簧(k)，结果又如何，结果又如何?3.3.能否用动力学普遍定理求解能否用动力学普遍定理求解?2023/1/841第41页，此课件共45页哦例例3 如图所示，质量为如图所示，质量为m，半径为，半径为r的匀质轮在的匀质轮在质量为质量为 、半径为、半径为R的薄壁筒内
20、无滑动地滚动，设的薄壁筒内无滑动地滚动，设OC与重力方向夹角为与重力方向夹角为 ，起始，起始 时系统静止。试求时系统静止。试求运动中圆筒转角运动中圆筒转角 与与 的关系。的关系。2023/1/842第42页，此课件共45页哦系统保守且约束完整、定常，自由度为系统保守且约束完整、定常，自由度为2，取取 与与 为广义坐标。设圆轮角速度为为广义坐标。设圆轮角速度为 ，由，由 ，有，有 。因因L不含不含 (为循环坐标为循环坐标)，故相应的广义动量守恒，故相应的广义动量守恒，并考虑到并考虑到 时，时，设设O为零势能位置，系统动势为为零势能位置，系统动势为2023/1/843第43页，此课件共45页哦注：注：此处利用拉氏方程的循环此处利用拉氏方程的循环积分，使问题求解大为简化。积分，使问题求解大为简化。即即 对对t积分，并注意到积分，并注意到 时，时，得得故故 2023/1/844第44页，此课件共45页哦解出解出 和和 ，再积分，再积分，可得可得 和和 的变化规律。的变化规律。该系统机械能守恒，故有该系统机械能守恒，故有T+V=常数，即常数，即将此式与例中将此式与例中(a)式联立，式联立，思考：思考：如何求上述如何求上述 和和 的变化规律。的变化规律。2023/1/845第45页，此课件共45页哦