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1、电磁场与电磁波静电场本讲稿第一页，共三十四页2.1 电荷与电流的分布及表示法电荷与电流的分布及表示法一、电荷与电荷分布一、电荷与电荷分布 电荷可以连续地分布在一个宏观的体积中，可以连续地分布在一个宏观的面上，或连续地分布在一条宏观的线上。当然，电荷也可以集中在空间某点上。如图2.1.1所示。图2.1.1电荷的体分布、面分布和线分布电荷的分布用电荷密度来描述。当电荷在某空间体积内连续分布时，电荷体密度定义为空间某点单位体积的电荷量，即本讲稿第二页，共三十四页若在电荷分布的空间内任取一个微小体积，则该体积元的电荷量为注：某一体积内的电荷总量，可应用体积分的方法求得。定义面电荷密度为空间某点单位面积
2、上的电荷量：定义线电荷密度为线上某点单位长度上的电荷量：本讲稿第三页，共三十四页点电荷密度理论上，电荷q可以被想象地集中在一个几何点上，该电荷称为点电荷,如图2.1.2所示。点电荷的电荷密度用函数来描述。一个带电荷量为q的点电荷位于，其电荷密度为而且图2.1.2点电荷分布本讲稿第四页，共三十四页二、二、电流与电流密度电流与电流密度如果时间内穿过S的电荷量为，则定义电荷穿过S的电流强度为：导电媒质中的电流分布是随时间变化的，这样的电流称为时变电流时变电流；若导电媒质中电荷流动的速度不随时间改变，则有这样的电流称为恒定电流恒定电流本讲稿第五页，共三十四页1、电流密度矢量体电流密度定义：导电媒质中某
3、点的电流密度的方向为该点导电媒质中某点的电流密度的方向为该点正电荷运动的方向，它的数值等于在该点通过垂直于电荷运动正电荷运动的方向，它的数值等于在该点通过垂直于电荷运动方向的单位面积上的电流强度。方向的单位面积上的电流强度。图2.1.3体电流示意图本讲稿第六页，共三十四页体电流I在电流密度为的电流场中任取一个矢量面元，穿过矢量面元S的电流为如图2.1.4所示。若在电流场中任取一个曲面S，则穿过曲面的电流为图2.1.4体电流密度即电流是电流密度的通量电流是电流密度的通量本讲稿第七页，共三十四页2、面电流密度矢量及面电流当电荷在很薄的导体片上流动时，可以将其抽象地视为在一数学面上流动，并称为面电流
4、。如图2.1.5所示。过表面电流场中一点，取一线元过表面电流场中一点，取一线元 垂直于电荷运动的方向，如果垂直于电荷运动的方向，如果穿过此线元穿过此线元 的电流为的电流为 ，定义该点表面电流密度的值为图2.1.5面电流密度与面电流穿过线段的电流为本讲稿第八页，共三十四页3 3、线电流：、线电流：电荷在一根很细的导线中流过,或电荷通过的横截面积很小时，可将电流视为在一根无限细的线上流动，这样的电流称为线电流线电流。用电流强度来描述：线电流I与线电荷密度、电荷流动速度的关系为：本讲稿第九页，共三十四页2.2 静电场的基本方程静电场的基本方程 2.2.1库仑定律、电场强度库仑定律、电场强度 图2.2
5、.1电荷与电荷的相互作用电荷间的相互作用规律由库仑定律描述。真空中静止的电荷对的相互作用力为本讲稿第十页，共三十四页若在电场强度为的空间某点放置点电荷q，则q受到的静电力为图2.2.2场源坐标的表示由库仑定律由库仑定律导出空间点电荷q的电场强度电场强度为当空间有n个点电荷时，场点的电场强度可由各点电荷独立在该点激励的电场强度的矢量和来计算。本讲稿第十一页，共三十四页对于体分布的电荷，可将其视为一系列点电荷的叠加，从而得出 点的电场强度为同理，面电荷和线电荷产生的电场强度分别为本讲稿第十二页，共三十四页图2.2.4点电荷电场的叠加本讲稿第十三页，共三十四页图2.2.5圆盘电荷对点电荷的作用力计算
6、本讲稿第十四页，共三十四页本讲稿第十五页，共三十四页静电场基本方程的积分形式静电场基本方程的积分形式静电场基本方程的微分形式静电场基本方程的微分形式2.2.2 真空中静电场的基本方程真空中静电场的基本方程本讲稿第十六页，共三十四页空间某一面元对一定点O所张的立体角定义：以O为球心，以点O到面元的距离R为半径作一球面，如图2.2.8所示，则立体角为在球面上的投影与的比，即图2.2.8空间面元对一定点O的立体角立体角的定义：立体角的定义：本讲稿第十七页，共三十四页闭合面对定点O的立体角一定等于球面对O点的立体角,即。如果O点在闭合面外，则该闭合面在球面上投影的代数和为零，如图2.2.9b所示，因此
7、，该闭合面对定点O的立体角一定等于零。图2.2.9闭合面对定点的立体角本讲稿第十八页，共三十四页验证高斯定理验证高斯定理 先研究一个点电荷的情况:在点电荷q的电场中任选一闭合面S，电场强度在S面上的通量为：上式中是面元对点电荷q所张的立体角若若 点在点在闭闭合面内，合面内，则该则该立体角立体角为为若若 q点在点在闭闭合面内，合面内，则该则该立体角立体角为为0若S面内有N个点电荷，则根据叠加原理：式中Q为闭合面的总电荷。本讲稿第十九页，共三十四页若闭合面S包围的体积内，电荷以体密度分布，则内总电荷量为根据高斯散度定理高斯散度定理有：则：因为闭合面是任取的，所包围的体积也是任意的，于是有高斯定律的
8、积分形式高斯定律的微分形式本讲稿第二十页，共三十四页环流方程和旋度方程：环流方程和旋度方程：图2.2.10的计算当积分路径是闭合路径时，点A和点B重合，因此利用斯托克斯定理斯托克斯定理，上式可写成：静电场是一种无旋场，或者说是一种发散场。静电场是一种无旋场，或者说是一种发散场。从力场的角度来看，又可以把静电场说成是一种保守场。本讲稿第二十一页，共三十四页本讲稿第二十二页，共三十四页本讲稿第二十三页，共三十四页2.3 泊松方程泊松方程 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 2.3.1 电位函数电位函数静电场是无旋的矢量场，它可以用一个标量函数的梯度表示，此标量函数称为静电场的电位函数电位函数或简称电位电位。
9、静电场中，电位函数的定义为：本讲稿第二十四页，共三十四页在直角坐标系中：在直角坐标系中：将上式在空间A、B两点间积分可得A、B两点的电位差:电场强度沿一路径从电场强度沿一路径从A点到点到B点的线积分等于电位从点的线积分等于电位从A点到点到B点的点的下降下降.由此可见：电场强度的线积分反应了空间两电位的差。由此可见：电场强度的线积分反应了空间两电位的差。本讲稿第二十五页，共三十四页若在空间中任选P点作为电位的参考点，即，则A点的电位若选取无穷远点为参考点，则，于是对于点电荷的电位本讲稿第二十六页，共三十四页体电荷、面电荷和线电荷分布的电位函数表达式为：本讲稿第二十七页，共三十四页本讲稿第二十八页，共三十四页本讲稿第二十九页，共三十四页本讲稿第三十页，共三十四页本讲稿第三十一页，共三十四页本讲稿第三十二页，共三十四页2.3.2 泊松方程泊松方程 拉普拉斯方程拉普拉斯方程拉普拉斯算符拉普拉斯算符无无源源区区域域拉普拉斯方程泊松方程在直角坐标系中，拉普拉斯算符可以写成：本讲稿第三十三页，共三十四页本讲稿第三十四页，共三十四页