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1、电磁场与电磁波课件之静电场的边值问题现在学习的是第1页，共13页(有限场源的无限远处有限场源的无限远处 )2.2.静态场边值问题的类型：静态场边值问题的类型：第二类边界条件是已知位函数在场域边界面第二类边界条件是已知位函数在场域边界面S S上各点的法向导数值，即给定上各点的法向导数值，即给定 第三类边界条件是已知一部分边界面第三类边界条件是已知一部分边界面S S1 1上位函数的值，而在另一部分边上位函数的值，而在另一部分边界面界面S S2 2上已知位函数的法向导数值，即给定上已知位函数的法向导数值，即给定 第一类边界条件是已知位函数在场域边界面第一类边界条件是已知位函数在场域边界面S S上各点
2、的值，即给定上各点的值，即给定这种边值问题又称为这种边值问题又称为狄里赫利狄里赫利问题。问题。这种边值问题称为这种边值问题称为纽曼纽曼问题。问题。这种边界条件称为这种边界条件称为混合混合问题。问题。自然边界条件自然边界条件现在学习的是第2页，共13页对于任何数学物理方程需要研究解的对于任何数学物理方程需要研究解的存在存在、稳定稳定及及惟一性惟一性问题。问题。泊泊松松方方程程及及拉拉普普拉拉斯斯方方程程解解的的稳稳定定性性在在数数学学中中已已经经得得到到证证明明。可可以以证证明明静静态态场场的的位位函数微分方程的解也是惟一的。函数微分方程的解也是惟一的。由由于于实实际际中中定定解解条条件件是是由
3、由实实验验得得到到的的，不不可可能能取取得得精精确确的的真真值值，因因此此，解解的的稳稳定性具有重要的实际意义。定性具有重要的实际意义。解的解的惟一性惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。解解的的稳稳定定性性是是指指当当定定解解条条件件发发生生微微小小变变化化时时，所所求求得得的的解解是是否否会会发发生生很大的变化。很大的变化。解的解的存在存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。是指在给定的定解条件下，方程是否有解。静态场是客观存在的，因此位函数微分方程解的存在确信无疑。静态场是客观存在的，因此位函数微分方程解的存在确信无疑。现在学习的是第
4、3页，共13页 若已知导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为若已知导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为 ，可见，表面电荷，可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，给定导体上的电荷，就是第二类边界问题。给定等于给定了电位的法向导数值。因此，给定导体上的电荷，就是第二类边界问题。静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的电位值，即静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的电位值，即为第一类边界问题。为第一类边界问题。因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位电位，或电位的，或电位的法向导法向导数数给定时，或导体给定时，
5、或导体表面电荷表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论。这个结论称为称为静电场惟一性定理静电场惟一性定理。例如例如现在学习的是第4页，共13页已知场域边界已知场域边界上各点电位值上各点电位值自然边界条件自然边界条件参考点电位参考点电位边值问题边值问题微分方程微分方程边界条件边界条件场域边界条件场域边界条件分界面衔接条件分界面衔接条件第一类第一类边界条件边界条件第二类第二类边界条件边界条件第三类第三类边界条件边界条件已知场域边界已知场域边界上各点电位的上各点电位的法向导数法向导数一、二类边界条件的线性组合，即一、二类边界条件的线性组合，即静电场的边值
6、问题框图静电场的边值问题框图 现在学习的是第5页，共13页例例 设有电荷均匀分布在半径为设有电荷均匀分布在半径为a a的介质球型区域中，电荷体密度为的介质球型区域中，电荷体密度为 ，试用解微分，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。方程的方法求球体内、外的电位及电场。参考点电位参考点电位边界条件边界条件解：采用球坐标系，分区域建立方程解：采用球坐标系，分区域建立方程积分之，得通解积分之，得通解现在学习的是第6页，共13页 对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利
7、用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到得到电场强度电场强度 的分布。的分布。解得解得电位：电位：电场强度（球坐标梯度公式）：电场强度（球坐标梯度公式）：现在学习的是第7页，共13页3.3.惟一性定理惟一性定理(Uniqueness Theorem)在在场场域域V V中中的的边边界界面面S S上上给给定定 或或 的的值值，则则泊泊松松方方程程或或拉拉普普拉拉斯斯方方程程在在场域场域V V内具有惟一解。内具有惟一解。证明：（反证法）证明：（反证法）设设在在边边界界面面S S包包围围的的场场域域V V内内有有两两个个位位函函数
8、数 和和 都都满满足足泊泊松松方方程程，即即 令令利用矢量恒等式利用矢量恒等式对整个场域对整个场域V V积分，并利用散度定理有积分，并利用散度定理有现在学习的是第8页，共13页对于第一类边值问题，在整个边界面对于第一类边值问题，在整个边界面S S上上对于第二类边值问题，在整个边界面对于第二类边值问题，在整个边界面S S上上对于第三类边值问题，在整个边界面对于第三类边值问题，在整个边界面S S1 1和和S S2 2上上无论哪一类边值问题，都将得到无论哪一类边值问题，都将得到现在学习的是第9页，共13页 由此，在场域由此，在场域V V中各点，中各点，即，即 ，也就是说有两个不同的解都满足微分，也就
9、是说有两个不同的解都满足微分方程和边界条件的假设是不成立的，故得证。方程和边界条件的假设是不成立的，故得证。对于第二类边值问题，若对于第二类边值问题，若 与与 取同一参考点，则在参考点处取同一参考点，则在参考点处要使上式成立，必须在场域要使上式成立，必须在场域V V内处处有内处处有表明，在整个场域表明，在整个场域V V内内 恒为常数，即恒为常数，即对于第一类边值问题，由于在边界面对于第一类边值问题，由于在边界面S S上上有有，在整个场域，在整个场域V V内，内，即，即有有，在整个场域，在整个场域V V内也有内也有对于第三类边值问题，由于对于第三类边值问题，由于所以所以，在整个场域，在整个场域V
10、 V内也有内也有现在学习的是第10页，共13页4.4.类比法类比法 在在边边值值问问题题的的分分析析计计算算中中，根根据据位位场场解解答答的的惟惟一一性性定定理理，广广泛泛采用类比法。例如，采用类比法。例如，静电比拟法静电比拟法。现现进进一一步步概概括括如如下下：各各种种物物理理场场，不不论论它它们们所所对对应应物物理理量量的的意意义义是是否否相相同同，只只要要它它们们具具有有相相同同的的数数学学描描述述，也也就就是是说说，具具有有相相似似的微分方程和相似的边界条件，则它们的解答在形式上必完全相似。的微分方程和相似的边界条件，则它们的解答在形式上必完全相似。因因而而，在在理理论论计计算算时时，
11、可可以以把把某某一一位位场场的的分分析析计计算算结结果果，推推广广到到一一切相似的位场中去。切相似的位场中去。一一般般多多从从静静电电场场的的角角度度提提出出问问题题，进进行行分分析析。再再根根据据类类比比关关系系，将将有有关关结结论论推推广广应应用用于于导导电电媒媒质质中中的的恒恒定定电电场场、恒恒定定磁磁场场以以及及似似稳稳电磁场中的对应问题。电磁场中的对应问题。现在学习的是第11页，共13页电场强度电场强度电场强度电场强度电位移矢量电位移矢量电流密度矢量电流密度矢量介电常数介电常数电导率电导率电位电位电位电位磁场强度磁场强度磁导率磁导率标量磁位标量磁位磁感应强度磁感应强度静电场静电场（没
12、有空间电荷分布的区域）（没有空间电荷分布的区域）导电媒质中的恒定电场导电媒质中的恒定电场（电源以外的区域）（电源以外的区域）恒定磁场恒定磁场（没有电流密度存在的区域）（没有电流密度存在的区域）由拉普拉斯方程描述的场由拉普拉斯方程描述的场介质均匀介质均匀媒质均匀媒质均匀媒质均匀媒质均匀现在学习的是第12页，共13页 由由泊泊松松方方程程描描述述的的场场，只只在在二二维维场场情情况况下下静静电电场场和和恒恒定定磁磁场场之之间间才才能能应用类比法应用类比法媒质均匀媒质均匀静电场静电场恒定磁场恒定磁场介质均匀介质均匀电场强度电场强度电位移矢量电位移矢量介电常数介电常数电位电位自由电荷体密度自由电荷体密度自由电荷线密度自由电荷线密度磁场强度磁场强度磁导率磁导率磁感应强度磁感应强度矢量磁位矢量磁位电流体密度电流体密度电流强度电流强度*对应场量之间，仅是量值上的对应关系，方向并不相同对应场量之间，仅是量值上的对应关系，方向并不相同现在学习的是第13页，共13页