数学条件概率.pptx

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1、若已知第一个人取到的是白球,则第二个人取到红球的概率是多少?已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率称为在事件A发生的发生的条件下事件B发生发生的条件概率,简称为B对A的条件概率,记作P(B|A)。若已知第一个人取到的是红球,则第二个人取到红球的概率又是多少?一、条件概率一、条件概率第1页/共31页例1.14 设袋中有3个白球,2个红球,现从袋中任意抽取两次,每次取一个,取后不放回。(1)已知第一次取到红球,求第二次也取到红球的概率;(2)求第二次取到红球的概率;(3)求两次均取到红球的概率。解 设A第一次取到红球,B第二次取到红球第2页/共31页S=ABA第一次取到红球,B第二次取到红球第3

2、页/共31页显然,若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件,其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点,则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率条件概率定义定义 设A、B是S中的两个事件,P(A)0,则 第4页/共31页“条件概率条件概率”是是“概率概率”吗?吗?何时何时P(A|B)=)=P(A)?)?何时何时P(A|B)P(A)?)?何时何时P(A|B)0,则有乘法公式乘法公式P(AB)P(A)P(B|A)当P(AB)0时,上式还可推广到三个事件的情形:P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB)一般地,n个随机事件A1,A2,An,且 P(A1A2An-1)0,有下列公式:

3、P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2).P(An|A1An1)第11页/共31页例例1.181.18 甲、乙、丙三人参加面试抽签,每人的试甲、乙、丙三人参加面试抽签,每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的1010个个试题中有试题中有4 4个难题签,按甲、乙、丙次序抽签,试个难题签,按甲、乙、丙次序抽签,试求甲抽到难题签,甲和乙都抽到难题签,甲没抽求甲抽到难题签,甲和乙都抽到难题签,甲没抽到难题签而乙抽到难题签,甲、乙、丙都抽到难到难题签而乙抽到难题签,甲、乙、丙都抽到难题签的概率。题签的概率。解 设A、B、C分别表示甲、

4、乙、丙抽到难题签的事件 返回第12页/共31页例例1.191.19 盒中有盒中有3 3个红球,个红球,2 2个白球,每次从袋中任取一个白球,每次从袋中任取一只,观察其颜色后放回,并再放入一只与所取之球颜只,观察其颜色后放回,并再放入一只与所取之球颜色相同的球,若从盒中连续取球色相同的球,若从盒中连续取球4 4次次,试求第试求第1 1、2 2次取次取得白球、第得白球、第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。解 设Ai为第i次取球时取到白球,则第13页/共31页三、全概率公式与贝叶斯公式在概率论中,我们经常利用已知的简单事件的概率,推算出未知的复杂事件的概率。为此,常须把一个复杂事件分

5、解为若干个互不相容的简单事件的和,再由简单事件的概率求得最后结果。如在例1.18中,如果把甲、乙、丙抽到难题签的事件作为上述的复杂事件,则可用分解的方法计算如下:例1.18第14页/共31页甲抽到难签的概率甲抽到难签的概率例1.18乙抽到难签的概率,注意到乙抽到难签的概率,注意到丙抽到难签的概率,注意到丙抽到难签的概率,注意到可将此类问题推广到一般情况。第15页/共31页A1A2AnB事件组A1,A2,An组成样本空间S的一个完备事件组第16页/共31页定理1.1 设试验E的样本空间为S,B为E的事件。设事件组A1,A2,An组成样本空间S的一个完备事件组且设 P(Ak)0,(k=1,2,n)

6、,则 此公式称为全概率公式。2 2、全概率公式、全概率公式 第17页/共31页例1.20 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2,且三家工厂的次品率分别为2、1、3,试求市场上该品牌产品的次品率。解 设B:买到一件次品;A1:买到一件甲厂的产品;A2:买到一件乙厂的产品;A3:买到一件丙厂的产品。第18页/共31页例例1.21 1.21 某工厂生产的产品以某工厂生产的产品以100100件为一批,假定每一批产品件为一批,假定每一批产品中的次品最多不超过中的次品最多不超过4 4件,且具有如下的概率:件,且具有如下的概率:一批产品中的次品数

7、一批产品中的次品数 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4概概 率率0.1 0.2 0.4 0.2 0.10.1 0.2 0.4 0.2 0.1现进行抽样检验,从每批中随机抽取现进行抽样检验,从每批中随机抽取1010件来检验,若发现其中件来检验,若发现其中有次品,则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概有次品,则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。率。解解 设设A表示事件表示事件“一批产品通过检验一批产品通过检验”,Bi(i=0,1,2,3,4)表示表示“一批一批产品含有产品含有i件次品件次品”,则,则B0,B1,B2,B3,B4组成样本空间的一个划分,组成样本空间的一个划分,返

8、回第19页/共31页例例1.211.21的结果提供给人们这样的信息,即若工厂生产的结果提供给人们这样的信息,即若工厂生产了了10001000批产品,则可以通过检验,以合格品出产的约批产品,则可以通过检验,以合格品出产的约有有814814批,而作为合格品出售的产品,每批中仍可能批,而作为合格品出售的产品,每批中仍可能含有含有i(i=0,1,2,3,4)=0,1,2,3,4)件次品。因此,就顾客而言,希望所件次品。因此,就顾客而言,希望所买的产品中含次品少的概率要大,即概率买的产品中含次品少的概率要大,即概率P(Bi|A)(i=0,1,2,3,4)=0,1,2,3,4)中最大的一个所对应中最大的一

9、个所对应i的越小越好,这的越小越好,这就是下面讨论的另一个重要公式。就是下面讨论的另一个重要公式。第20页/共31页3、贝叶斯公式贝叶斯公式(Bayes)(Bayes)(逆概率公(逆概率公式)式)定理定理1.21.2 设试验E的样本空间为S,B为E的事件。事件组A1,A2,An组成样本空间S的一个完备事件组,且P(Ak)0,(k=1,2,n),及P(B)0,则此式称为Bayes公式。第21页/共31页例例1.21中,顾客买到的一批合格品中,含次品数中,顾客买到的一批合格品中,含次品数为为0的概率是多少?的概率是多少?类似可以计算顾客买到的一批合格品中,含次品数为1、2、3、4件的概率分别约为0

10、.221、0.398、0.179、0.080。第22页/共31页例例1.221.22 有有甲甲乙乙两两个个袋袋子子,甲甲袋袋中中有有2个个白白球球,1个个红红球球,乙乙袋袋中中有有2个个红红球球,1个个白白球球。这这6个个球球手手感感上上不不可可区区别别。今今从从甲甲袋袋中中任任取取一一球球放放入入乙乙袋袋,搅搅匀匀后后再再从从乙乙袋袋中中任任取取一球,问此球是红球的概率?一球,问此球是红球的概率?解 设A1从甲袋放入乙袋的是白球;A2从甲袋放入乙袋的是红球;B从乙袋中任取一球是红球。甲乙第23页/共31页思考 例1.22中,若已知取到一个红球,则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少?答答第24

11、页/共31页例例1.231.23设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品,产量依设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品,产量依次占全厂的次占全厂的45%45%,35%35%,20%20%。且各车间的次品率依次为。且各车间的次品率依次为4%4%,2%2%,5%5%。现从待出厂的产品中抽取。现从待出厂的产品中抽取1 1个产品,问个产品,问(1)(1)该产品是该产品是次品的概率,次品的概率,(2)(2)该产品是由哪个车间生产的可能性最大。该产品是由哪个车间生产的可能性最大。解 设A表示产品为次品的事件,B1,B2,B3分别表示产品是甲、乙、丙车间生产的事件,则P(B1)=45%,P(B2)=35%,P

12、(B3)=20%,且P(A|B1)=4%,P(A|B2)=2%,P(A|B3)=5%(1)P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=45%4%+35%2%+20%5%=0.035(2)第25页/共31页若若一一病病人人高高烧烧到到4 40 0,医医生生要要确确定定他他患患有有何何种种疾疾病病,则则 必必 须须 考考 虑虑 病病 人人 可可 能能 发发 生生 的的 疾疾 病病B1,B2,Bn。这这里里假假定定一一个个病病人人不不会会同同时时得得几几种种病病,即即B1,B2,Bn互互不不相相容容,医医生生可可以以凭凭以以往往的的经经验验估估计计出出发发

13、病病率率P(Bi),这这通通常常称称为为先先 验验概概 率率。进进一一步步要要考考虑虑的的是是一一个个人人高高烧烧到到4 40 0时时,得得Bi这这种种病病的的可可能能性性,即即P(Bi|A)的的大大小小,它它可可由由B B a ay ye es s公公式式计计算算得得到到。这这个个概概率率表表示示在在获获得得新新的的 信信 息息(即即 知知 病病 人人 高高 烧烧4 4 0 0)后后,病病 人人 得得B1,B2,Bn这这些些疾疾病病的的可可能能性性的的大大小小,这这通通常常称称 为为后后验验概概率率。有有了了后后验验概概率率,就就为为医医生生的的诊诊断断提提供供了了重重要要依依据据。若我们把

14、若我们把A视为观察的视为观察的“结果结果”,把,把B1,B2,Bn理解为理解为“原因原因”,则,则BayesBayes公式反映了公式反映了“因果因果”的概率规律,并作出了的概率规律,并作出了“由果朔因由果朔因”的推断。的推断。第26页/共31页 例1.24 根据以往的临床记录,某种诊断是否患有癌症根据以往的临床记录,某种诊断是否患有癌症的检查有如下效果。若以的检查有如下效果。若以A表示事件表示事件“试验反应为阳性试验反应为阳性”,以,以C表示事件表示事件“被检查者确实患有癌症被检查者确实患有癌症”,则有,则有现对一大批人进行癌症普查,设被查的人确实患有癌症的概率是P(C)=0.005,试求当一

15、个被检查者其检验结果为阳性时,那么他确实患癌症的条件概率是多少?即求P(C|A)。解本例中P(C)=0.005就是先验概率,而P(C|A)=0.087为后验概率。可见比先验概率提高了近16.4倍。虽然诊断的可靠性P(A|C)较高,但是确诊(即被检查诊断患有癌症者确实有癌症)的可能性很小,所以还必须提高诊断的准确率。第27页/共31页例1.25数字通讯过程中,信源发射0、1两种状态信号,其中发0的概率为0.55,发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰,在发0的时候,接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候,接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+0.067解 设A-发射端发射0,B-接收端接收到一个“1”的信号。0(0.55)0 0 1 1 不不清清(0.9)(0.05)(0.05)1(0.45)1 1 0 0 不不清清(0.85)(0.05)(0.1)P(A|B)=第28页/共31页条件概率 条件概率 小 结缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式第29页/共31页作业2;4;7;9;第30页/共31页感谢您的观看。第31页/共31页

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