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1、2.12.1测量误差的基本概念2.1.1 误差的概念2.1.2 2.1.2 误差的表示方法 2.1.3 2.1.3 误差来源 2.1.4 2.1.4 误差的分类 2.1.5 2.1.5 表征测量结果质量的指标 2.1.6 2.1.6 有效数字及其运算规则 第1页/共65页2.12.1测量误差的基本概念2.1.12.1.1误差的概念1.1.误差：测量结果减去被测量的真值，简称误差，即：所谓的“真值”，指在一定条件下，被测量客观存在的实际值。理论真值：理论真值也称绝对真值，如平面三角形三内角之和恒为180 规定真值（约定真值）国际上公认的某些基准量值，如米定义为“1米等于光在真空中12997924
2、58秒时间间隔内所经路径的长度”。这个米基准就当作计量长度的规定真值。相对真值 是指计量器具按精度不同分为若干等级，上一等级的指示值即为下一等级的真值，此真值称为相对真值。最佳估计值 通常将一被测量在重复条件或复现条件下的多次测量结果的平均值作为最佳估计值，也作为约定真值。即以算术平均值作为最后测量结果的表达值均可看作是约定真值。第2页/共65页2.12.1测量误差的基本概念2.残余误差（残差）：测量结果减去被测量的最佳估计值 第3页/共65页2.12.1测量误差的基本概念2.1.2 误差的表示方法1.绝对误差：绝对误差=测得值-真值2.相对误差：相对误差=误差/真值4.引用误差（表征计量器具
3、的特性）计量器具的绝对误差与引用值之比。引用值一般指标称范围的最高值或量程。第4页/共65页 解：引用误差=（100.0-99.4）/150=0.4%4.引用误差（表征计量器具的特性）计量器具的绝对误差与引用值之比。引用值一般指标称范围的最高值或量程。2.12.1测量误差的基本概念最大引用误差：仪表量程内出现的最大绝对误差与量程的比值.例2.1 用标称范围0150V的0.5级电压表测量，经更高等级标准电压表校准，在示值为100.0V时，测得实际电压(相对真值)为99.4V，问该电压表是否合格？引用误差用于评价某些测量仪器的准确度高低，电测仪表按引用误差的大小分为若干准确度等级。国际规定电测仪表
4、的精度等级指数 分为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0共七个等级，符合某一个等级 的仪表，说明该仪表在整个测量范围内、各示值点的引用误差均不超过 ，即0.5级电压表允许的引用误差为0.5，因0.40.5，所以该电压表合格。第5页/共65页2.12.1测量误差的基本概念例：测量约80V的电压，有两块电压表：一块量程为300V，0.5级；另一块为量程为100V，1.0级，选用那一块好？解 最大绝对误差X1=300*0.5%1.5 最大 绝对误差X2=100*1.0%1.0 相对误差1=X1/80=1.88%相对误差2=X2/80=1.25%选用仪表不仅要看仪表的准确度，还要根据
5、量程。第6页/共65页2.12.1测量误差的基本概念2.1.3 2.1.3 误差来源：测量器具：包括试验装置、测量仪器带来的误差。如测量器具设计中存在的原理误差，如杠杆机构、阿贝误差等。制造和装配过程中的误差也会引起其示值误差的产生。测量环境：测量环境主要包括温度、气压、湿度、振动、空气质量等因素。在一般测量过程中，温度是最重要的因素。测量温度对标准温度（20）的偏离、测量过程中温度的变化以及测量器具与被测件的温差等都将产生测量误差。测量方法：测量方法不正确而引起的误差。例如，间接测量法中因采用近似的函数关系原理而产生的误差或多个数据经过计算后的误差累积。测量人员：测量人员引起的误差主要有视差
6、、估读误差、调整误差等引起，它的大小取决于测量人员的操作技术和其它主观因素。第7页/共65页2.12.1测量误差的基本概念2.1.42.1.4误差的分类：1.按误差产生的原因分类：2.按误差的特点和性质可以分为系统误差随机误差粗大误差系统误差：系统误差为在重复测量条件下，对同一被测量进行无限次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。特点：系统误差的数值大小和正负在测量过程中恒定不变，或按一定规律变化。需要对系统误差进行修正。如度盘偏心的误差。系统误差大部分能通过修正值或找出其变化规律后加以消除。第8页/共65页2.12.1测量误差的基本概念 随机误差：指测量结果与在相同测量条件下，对同一被测量
7、进行无限多次测量所得结果的平均值之差。特点：误差的绝对值和符号以不可预定的方式变化着。也没有确定的规律性，它的出现具有随机性（偶然性）。随机误差就个体而言，从单次测量结果来看是没有规律的，但就其总体来说，即对一个参量进行重复测量后就会发现，随机误差服从一定的统计规律。随机误差主要由温度波动、测量力变化、测量器具传动机构不稳、视差等各种随机因素造成，虽然无法消除，但只要认真、仔细地分析产生的原因，还是能减少其对测量结果的影响。粗大误差（疏失误差 ）：粗大误差是明显歪曲测 量结果的误差，指那些误差数值特别大，超出在规定条件下预计的误差。如读数错误、温度的突然大幅度变动、记录错误等。该误差可根据误差
8、理论，按一定规则予以剔除。第9页/共65页2.12.1测量误差的基本概念2.1.52.1.5表征测量结果质量的指标 1.精密度：表示测量结果中随机误差的大小。指一定条件下进行多次测量时所得结果的符合程度。2.正确度：表示系统误差大小。指规定条件下测量结果中所有系统误差的综合。3.准确度：表示测量结果与真值之间的一致程度。系统误差和随机误差的综合。高的精密度；低的准确度高的正确度；低的准确度和精密度高的精密度；高的准确度第10页/共65页2.12.1测量误差的基本概念有效数字及其运算规则 近似数 有效数字 数字修约规则 第11页/共65页2.12.1测量误差的基本概念1.近似数v数据有准确数和近
9、似数之分 v近似数是由可靠数和不可靠数(一般取l位)两部分组成。2.有效数字 v用数值来表示个近似结果时，只能保留一位不准确数字，其余数字都应该是准确的。v把可靠的几位数字加可疑的一位数字统称为有效数字 v有效数字：从误差所在的那一位算起，包括这一位以上的数字(定位用的“0”除外)，都是有效数字。第12页/共65页2.12.1测量误差的基本概念3.数字修约规则v记录一个测定数据时，只允许保留一位可疑数字。v四舍六入五单双：即有效数字后面第一位数字为55之后的数不全为0，则在5的前一位数字上增加1；若5之后数字全为0：5的前一位数又是奇数，则在5的前面一位数上增加1；若5的前一位数为偶数，则舍去
10、不计。24.65024.75024.751 24.85224.624.824.824.9第13页/共65页2.12.1测量误差的基本概念v计算有效数字的位数时，若第一位有效数等于或大于8，则有效数字的位数可多计一位。如9.58已接近10.00，可粗略地认为它是四位有效数字。v在有效数字的四则运算中，最后结果的有效数字中只能保留一位不准确数字。加减运算时，以小数点后位数最少的数为准；乘除运算时，以有效数字位数最少的数为准 12.3612.360.00510.00511.69431.6943 73.21.252773.21.2527 91.714.06 将参与运算的各数的有效数字修约到比该数应有的
11、有效数字的位数多一位，这多取的数字为安全数字。第14页/共65页2.12.1测量误差的基本概念v在乘方、开方运算中，原近似值有几位有效数字，计算结果就保留几位有效数字。v在对数计算中，对数尾数的位数与真数的有效数字的位数应相同。如log235.12.3713v常数的有效数字位数可以认为是无限的，需要几位就取几位。常数的取值不影响有效位数。v若数据的个数较多，则平均值的保留位数可增加一位。v在JJFl0591999测量不确定度评度与表示中规定：通常合成标准不确定度和扩展不确定度最多为2位有效数字。第15页/共65页2.2 随机误差2.2.1 随机误差理论 样本与总体样本的算术平均值测量列中单次测
12、量值的标准偏差算术平均值的标准偏差2.2.1 随机误差的分布与测量值的置信概率随即误差的分布测量值的置信区间与置信概率第16页/共65页随机误差理论样本的算术平均值算术平均值是数学期望的最佳估计值第17页/共65页2.2.1随机误差理论测量列中单次测量值的标准偏差l对于测量列 ，由概率论得到实际上，不可能无穷大，总体期望 （即真值）一般也不可能知道。l多种估计标准偏差值的近似方法：标准法（贝塞尔BesselBessel公式）、极差法、绝对差法（又称佩斯特公式）、最大误差法等 1.贝塞尔公式表征同一被测量值次测量所得结果的分散性的参数。第18页/共65页2.2.1随机误差理论1.贝塞尔公式例2.
13、22.2 用千分尺测量某尺寸9次，数据如下表所列(单位：mm)，求其算术平均值和单次测量标准偏差。n1 12 23 34 45 56 67 78 89 9xi20.63920.63920.63620.63620.63820.63820.63220.63220.63220.63220.63420.63420.63520.63520.63320.63320.63620.636解第19页/共65页随机误差理论n1 12 23 34 45 56 67 78 89 9xi20.63920.63920.63620.63620.63820.63820.63220.63220.63220.63220.6342
14、0.63420.63520.63520.63320.63320.63620.6362.极差法极差法一般情况下，在n6时一般采用贝塞尔公式。n2345678910dn1.131.692.062.332.632.702.852.973.08在例2.2中，第20页/共65页2.2.1随机误差理论算术平均值的标准偏差表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数 .在一定范围内增加测量次数可以在一定范围内增加测量次数可以提高测量结果的精密度提高测量结果的精密度。一般选。一般选取测量次数为取测量次数为420次次。第21页/共65页2.2.1随机误差理论例2.3 对被测量作9次重复测量，得测量结果：
15、29.18，29.20，29.21，29.19，29.21，29.25，29.26，29.27，29.24。求平均值及其标准偏差。解 第22页/共65页随机误差的分布与测量值的置信概率1.随即误差的分布大量的试验结果表明：测量值的随机误差分布规律有正态分布、t分布、三角分布和均匀分布等l对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同。l单峰性：绝对值小的误差出现的次数多于绝对值大的误差出现的次数。l抵偿性：当测量次数趋向于无穷大时，全部误差的代数和趋于零。l有界性：绝对值很大的误差出现的概率接近于零，即随机误差的绝对值不会超过一定的界限。正态分布正态分布第23页/共65页2.测量值的置信区间
16、与置信概率置信限（置信区间）：设单次测量的标准偏差为，对常数，称区间 为误差的置信区间，其界限 显著度（显著性水平）:称误差落在区间以外的概率 置信度(置信概率)随机误差的分布与测量值的置信概率第24页/共65页随机误差分布与测量值的置信概率正态分布的置信度 误差等级误差等级百分比表示的置百分比表示的置信概率信概率68.368.390.090.095.095.099.799.799.99499.994第25页/共65页随机误差分布与测量值的置信概率t 分 布英国统计学者科萨特（W.S.GossetW.S.Gosset）随机误差的分布规律：当n30时，正态分布；n30时，时，t分布趋于正态分分布
17、趋于正态分布，因此，正态分布是布，因此，正态分布是t分布的极限分布。分布的极限分布。因而，因而，n30时，置信系数取为时，置信系数取为t，误差，误差限表示为：限表示为：第26页/共65页随机误差分布与测量值的置信概率例2.4 为一杆等臂平衡式秤配备制作0.5，1，2和4克砝码。为做质量检验，制造商随机选择 1 克砝码的14个的样本，并在一杆精密天平上进行称量。其结果如下（单位克）：1.08 1.03 0.96 0.95 1.04 1.01 0.98 0.99 1.05 1.08 0.97 1.00 0.98 1.01 问：根据该样本以及假定母体总体为正态分布，总体均值的95%置信区间为多少？解
18、由查表第27页/共65页2.3系统误差1.系统误差的分类2.系统误差的发现3.系统误差的减小与消除第28页/共65页2.3系统误差1.系统误差的分类l已定系统误差l未定系统误差线性变化系统误差 周期性变化的系统误差 复杂规律变化的系统误差 第29页/共65页2.3 系统误差2.系统误差的发现残余误差观察法(系统误差比随机误差大)马利可夫判据阿贝赫梅特判据（周期性误差）观察残差数值及符号的变化规律：观察残差数值及符号的变化规律：若残差数值有规律的递增或递减，并且在测量的开始和结束时残差符号相反，则可判断该测量列含有线性系统误差；若残差的符号有规律由正变负，再由负变正，或循环交替变化多次，则可判断
19、该测量列含有周期性系统误差。此方法只适用于系统误差比随机误差大的情况 第30页/共65页2.3系统误差3.系统误差的减小与消除u从误差产生根源上采取措施u使用修正方法u减小不变系统误差的方法第31页/共65页2.4 粗大误差的剔除1.准则2.2.格拉布斯（GrubbsGrubbs）准则3 34 45 56 67 78 89 91010111112120.011.151.151.491.491.751.751.941.942.102.102.222.222.322.322.412.412.482.482.552.550.051.151.151.461.461.671.671.821.821.94
20、1.942.032.032.112.112.182.182.242.242.292.2913131414151516161717181819192020212122220.012.612.612.662.662.702.702.742.742.782.782.822.822.852.852.882.882.912.912.942.940.052.332.332.372.372.412.412.442.442.472.472.502.502.532.532.562.562.582.582.602.60a/n第32页/共65页2.5 误差的传递1.1.间接测量结果的平均值的计算 2.2.误差传递规
21、律3.3.标准偏差的传递主要是针对随机误差第33页/共65页2.5 误差的传递1.间接测量结果的平均值的计算 针对间接被测量研究对象研究对象第34页/共65页2.5 误差的传递2.误差传递规律远小于测量结果 把函数在点的领域上展开成泰勒级数，只取一阶近似式，略去高次项.第35页/共65页2.5 误差的传递3.3.标准偏差的传递 设对该 m个直接被测量分别进行了n次测量，可得相应的随机误差为 l间接测量的n次测量的误差为：l方程组各式平方后相加得:第36页/共65页2.5 误差的传递标准偏差的传递所以所以为协方差第37页/共65页2.6 测量不确定度2.6.1 不确定度基本概念2.6.2 不确定
22、度的评定1.标准不确定度的A类评定2.标准不确定度的B类评定3.合成标准不确定度4.扩展不确定度 2.6.3 不确定度的评定步骤与测量结果的表达第38页/共65页2.6测量不确定度l不确定度表示由于测量误差的影响而对测量结果的不可信程度或有效性的怀疑程度，或称为不能肯定的程度。测量不确定度的表示来定量评定测量水平或质量 l测量结果应当包括被测量之值的最佳估计值和测量结果应当包括被测量之值的最佳估计值和测量不确定度两部分，被测量测量不确定度两部分，被测量X X的测量结果为的测量结果为:表征了被测量的真值所处范围 第39页/共65页2.6 测量不确定度标准不确定度：用标准差表示的不确定度，用u表示
23、。A类评定：用统计方法得到的不确定度。又称为A类不确定度B类评定：用非统计方法得到的不确定度，即用不同于对测量样本统计分析的其他方法进行不确定度评定。又称为B类不确定度评定。合成标准不确定度合成标准不确定度：当测量结果是由若干个其它量的值求得时，按这些量的方差和协方差加权和的正平方根算得的标准不确定度，用uc表示。扩展不确定度：由合成标准不确定度的倍数表示的不确定度，用U表示。它用包含因子乘以合成标准不确定度得到的一个区间半宽度来表示测量不确定度。第40页/共65页2.6 测量不确定度自由度自由度定义为计算总和中独立项的个数，即总和的项数减去其中受约束的项数。当不确定度是用标准偏差来表征的，则
24、不确定度的评定质量就取决于标准差的可信赖程度。而标准差的信赖程度与自由度密切相关，自由度愈大，标准差愈可信赖。所以，自由度的大小就直接反映了不确定度的评定质量 第41页/共65页2.6 测量不确定度测量误差与测量不确定度的区别 u定义测量结果对真实值的偏离-误差是一个确定值 表明被测量之值的分散性，它以分布区间的半宽表示，因此它表示一个区间 u分类随机误差和系统误差 标准不确定度的评定方法而分成A类和B类 u可操作性理想化：其概念与真值、无限多次测量相联系 实验、资料、经验等信息进行评定，从而可以定量确定 第42页/共65页2.6 测量不确定度测量误差与测量不确定度的区别（续）u数值符号各误差
25、分量进行合成时，采用代数相加的方法进行合成；各不确定度分量彼此独立或不相关时，用方和根法进行合成 u结果修正对含有系统误差的测量结果进行修正，不能用不确定度对测量结果进行修正。对已修正测量结果进行不确定度评定时，应考虑修正不完善引入的不确定度分量。第43页/共65页2.6 测量不确定度产生测量不确定度的原因被测量的定义不完整;复现被测量的测量方法不理想;取样的代表性不够，即被测样本不能代表所定义的被测量;对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善;对模拟式仪器的读数存在人为偏移；测量仪器的计量性能的局限性;测量标准或标准物质的不确定度;引用的数据或其他参数的不确定度；测量方
26、法和测量程序的近似和假设;在相同条件下被测量在重复观测中的变化。第44页/共65页1.标准不确定度的A类评定1.当测量结果取测量列的任意一次xi时自由度为自由度为2.当测量结果取测量列的平均值时当测量结果取测量列的平均值时A A类评定类评定第45页/共65页1.标准不确定度的A类评定例2.3 对被测量作9次重复测量，得测量结果：29.18，29.20，29.21，29.19，29.21，29.25，29.26，29.27，29.24。求平均值及其标准偏差。解 不确定度：u(x)=0.01测量结果：第46页/共65页1.标准不确定度的A类评定3.若对m个被测量均进行了n次独立重复测量，测量值分别
27、为 ，其平均值为 则合并样本标准差为自由度为 不确定度第47页/共65页2.标准不确定度的B类评定 lB类评定方法不依赖于对样本数据的统计，它设法利用与被测量有关的其他先验信息来进行估计.lB类评定的主要信息来源 过去的测量数据；测量仪器的特性和有关技术资料；生产厂家提供的技术说明文件；校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等级或级别等；测量者的经验与知识；假设的概率分布及其数字特征。第48页/共65页2.标准不确定度的B类评定B类评定方法根据现有信息评定近似的方差或标准差以及自由度；分析判断被测量的可能值不会超出的区间被测量值的概率分布，由要求的置信水平（概率）估计包含因子 k关键
28、要合理确定其测量分布及其在该分布的置信水平下的包含因子。第49页/共65页2.标准不确定度的B类评定解：置信区间半宽度 由表2.6查得，第50页/共65页2.标准不确定度的B类评定本题表明，当实际问题没有明确概率分布和置信水平时，一种保守的方法，可以假设按均匀分布和高置信水平1 1考虑，取 第51页/共65页3.合成标准不确定度u合成标准不确定度可用各个不确定度分量合成而得，不论各分量是由A类评定或是由B类评定得到的，当各分量独立不相关时，合成标准不确定度由各个标准不确定度分量平方和的正平方根得到。(2)(2)间接测量 不确定度传递率（传播）(1)(1)直接测量直接测量 第52页/共65页3.
29、合成标准不确定度 例2.122.12某测量结果含有5个不确定度分量，每个分量的大小及自由度见表2.9，它们之间的协方差均为零，求其合成标准不确定度 第53页/共65页4.扩展不确定度的确定 在传统场合多用合成标准不确定度来表示测量结果的分散性，但在其他一些商业、工业和计量法规，以及涉及健康与安全的领域，常要求采用扩展不确定度来表示。1.1.标准差的倍数标准差的倍数 2.2.根据给定的置信概率（置信水平）根据给定的置信概率（置信水平）第54页/共65页不确定度的评定步骤与测量结果的表达测量不确定度的评定步骤：(1)明确被测量定义及其测量条件，明确测量的原理、方法及所用的测量标准，测量设备；(2)
30、建立被测量的数学模型；(3)分析不确定度来源，列出标准不确定度分量；(4)定量评定各标准不确定度分量；(5)计算合成标准不确定度；(6)确定扩展不确定度；(7)报告测量结果。第55页/共65页2.7 测量数据处理方法2.7.1 测量数据的表示方法测量数据的表示方法列表法图示法经验公式法确定经验公式的方法2.7.2 一元线性回归方法一元线性回归方法最小二乘法平均法端值法第56页/共65页2.7.1 测量数据的表示方法1.表格法表格法是最普通和最常用的一种方法是最普通和最常用的一种方法。随时检查测量结果是否正确合理，及时随时检查测量结果是否正确合理，及时发现问题，利于计算和分析误差，并在发现问题，
31、利于计算和分析误差，并在必要时对数据随时查对。必要时对数据随时查对。简单而明确地表示出有关物理量之间的简单而明确地表示出有关物理量之间的对应关系。对应关系。无法胜任分析工作。无法胜任分析工作。第57页/共65页2.7.1 测量数据的表示方法2.图示法图示法作图法就是在坐标纸上描绘出作图法就是在坐标纸上描绘出一系列数据间对应关系的图线一系列数据间对应关系的图线。是研究物理量之间的。是研究物理量之间的变化规律，找出对应的函数关系，求经验公式的常用方法之一。变化规律，找出对应的函数关系，求经验公式的常用方法之一。非常直观地看出函数的变化规律，如递增性非常直观地看出函数的变化规律，如递增性或递减性，最
32、大值或最小值，是否具有周期或递减性，最大值或最小值，是否具有周期性变化规律等性变化规律等 曲线是否反映出函数关系，在很大程度上取曲线是否反映出函数关系，在很大程度上取决于决于图形比例尺的选取图形比例尺的选取，即决定于坐标的分，即决定于坐标的分度是否适当。度是否适当。第58页/共65页2.7.1 测量数据的表示方法3.经验公式法经验公式法描绘曲线描绘曲线 对所描绘的曲线进行分析，确定公式的基本形对所描绘的曲线进行分析，确定公式的基本形式式 曲线化直曲线化直 确定公式中的常量确定公式中的常量 检验所确定的公式的准确性，即用测量数据中检验所确定的公式的准确性，即用测量数据中自变量值代入公式自变量值代
33、入公式 第59页/共65页2.7.2 一元线性回归方法2.7.2 一元线性回归方法一元线性回归方法最小二乘法平均法端值法设两变量之间为一元线性关系为设两变量之间为一元线性关系为已知测量数据列已知测量数据列第60页/共65页2.7.2 一元线性回归方法1.最小二乘法最小二乘法l基本含义是：在具有等精度的多次测量中，求最可靠(最可信赖)值时，是当各测量值的残差平方和为最小时所求得的值。第61页/共65页2.7.2 一元线性回归方法2.平均法u将所有测量数据分为两组并相加，得到u各组平均值得到：各组平均值得到：u两个两个“点系中心点系中心”得到的直线即是拟合直线：得到的直线即是拟合直线：点系中心点系中心第62页/共65页2.7.2 一元线性回归方法3.3.端值法端值法l取测量数据中的两个端点值，取测量数据中的两个端点值，即起即起点和终点测量值点和终点测量值 l 求得求得a a和和b b的值如下：的值如下：第63页/共65页2.7.2 一元线性回归方法一元线性回归l最小二乘法：精确度最高；工作量最大 l平均法：次之；l端值法：较差；计算简单第64页/共65页感谢您的观看！第65页/共65页