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1、2023/2/1413.1 函数逼近的基本概念 3.1.1 函数逼近与函数空间 1、数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算 基本初等函数及其他特殊函数；2、当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该 点集的区间上用公式给出函数的简单表达式.问题 这些都涉及到在区间 上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题.第1页/共198页2023/2/142 插值法就是函数逼近问题的一种.记作 ，本章讨论的函数逼近，是指“对函数类 中给定的函数中求函数 ，使 与 的误差在某种度量要在另一类简单的便于计算的函数类意义下最小”.函数类 通常是区间 上的连续函数，记作 ，称为连续函数空间.第2页
2、/共198页2023/2/143 函数类 通常为 次多项式，有理函数或分段低次多项式等.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为 赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间.与数的乘法构成实数域上的线性空间，例如将所有实 维向量组成的集合，按向量加法及向量称为 维记作 ，向量空间.第3页/共198页2023/2/144 类似地,记 为具有 阶连续导数的函数空间.记作 .所有定义在 上的连续函数集合，按函数加法和 数与函数乘法构成数域 上的线性空间，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域 称为多项式空间.用 表示，上一个线性空间，对次数不超过 (为正整数)的实系数多项式全
3、体，第4页/共198页2023/2/145 定义1 1设集合 是数域 上的线性空间，元素 如果存在不全为零的数 ，（1.1）则称 线性相关.否则，若等式(1.1)只对 成立，则称 线性无关.使得第5页/共198页2023/2/146系数 称为 在基并称空间 为 维空间，若线性空间 是由 个线性无关元素 生成的，即对 都有则 称为空间 的一组基，记为下的坐标，记作 如果 中有无限个线性无关元素 则称 为无限维线性空间.第6页/共198页2023/2/147（1.2）它由 个系数 唯一确定.考察次数不超过 次的多项式集合 ，它是 的一组基，是线性无关的，且 是 的坐标向量，是 维的.表示为其元素故
4、第7页/共198页2023/2/148使误差 对连续函数 ，它不能用有限个线性无关的函数表示，故 是无限维的，但它的任一元素 均可用有限维的 逼近，(为任给的小正数)，这就是著名的魏尔斯特拉斯定理.第8页/共198页2023/2/149使 定理1 1总存在一设 ，则对任何 ，个代数多项式 ，在 上一致成立.伯恩斯坦1912年给出的证明是一种构造性证明.他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式（1.3）第9页/共198页2023/2/1410 为二项式展开系数，并证明了在 上一致成立；若 在 上 阶导数连续，则其中 这个结果不但证明了定理1，而且由(1.3)给出了 的一个逼近多项式，但它收敛
5、太慢，实际中很少使用.（1.3）第10页/共198页2023/2/1411 更一般地，可用一组在 上线性无关的函数集合 来逼近 ，可表示为（1.4）此时元素 函数逼近问题就是对任何 ，找一个元素 ，使 在某种意义下最小.在子空间中第11页/共198页2023/2/1412 3.1.2 范数与赋范线性空间 为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数定义，它是 空间中向量长度概念的直接推广.第12页/共198页2023/2/1413 定义2 2 设 为线性空间，若存在唯一实数，满足条件：（1）当且仅当 时，（正定性）（2）(齐次性)（3）(三角不等式)则称为线性空间 上的范数，与一起称为赋范线
6、性空间，记为 第13页/共198页2023/2/1414 例如，在 上的向量 三种常用范数为 称为 范数或最大范数，称为 1-范数，称为 2-范数.第14页/共198页2023/2/1415 而满足1=1 的向量 则为对角线长度为1的菱形.实际上任何向量的实值函数，只要满足上述三个条件，就可以定义成一种向量范数.在 中，满足2=1，即 的向量为单位圆，满足=1，即 的向量为单位正方形，第15页/共198页2023/2/1416 所以说，范数是对向量长度的度量，度量方式不同，结果也不一样，但不同范数之间是存在等价关系的.第16页/共198页2023/2/1417 类似地，对连续函数空间 ，若 ,
7、称为 范数，称为 1-范数，称为 2-范数.可以验证这样定义的范数均满足定义2中的三个条件.可定义三种常用范数如下：第17页/共198页2023/2/14183.1.3 内积与内积空间 在线性代数中，中两个向量 及的内积定义为 若将它推广到一般的线性空间 ，则有下面的定义.（1.5）第18页/共198页2023/2/1419 定义3 3则称 为X上 与 的内积.X 是数域K(R或C)上的线性空间，对有K中一个数与之对应，记为 ，它满足以下条件：第19页/共198页2023/2/1420 定义中（1）的右端 称为 的共轭，当K为实数域R时 .如果 ，则称 与 正交，这是向量相互垂直概念的推广.定
8、义了内积的线性空间称为内积空间.第20页/共198页2023/2/1421 定理2 2对 有（1.6）称为柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式.证明当 时（1.6）式显然成立.现设 ，则 ，且对任何数 有取 ，设X为一个内积空间，代入上式右端，得第21页/共198页2023/2/1422即得 时 第22页/共198页2023/2/1423 定理3 3（1.7）称为格拉姆(Gram)矩阵，则 非奇异的充分必要条件是 线性无关.设X为一个内积空间，矩阵第23页/共198页2023/2/1424 证明只有零解；（1.9）G非奇异等价于 ，其充要条件是齐次 方程组（1.8）而第24页/共
9、198页2023/2/1425 从以上等价关系知，而后者等价于从（1.9）推出即 线性无关.在内积空间X上，可以由内积导出一种范数，即对于（1.10）等价于从（1.8）推出记（1.8）第25页/共198页2023/2/1426两端开方即得三角不等式（1.11）利用第26页/共198页2023/2/1427 例1 1与 的内积.设 （1.12）向量2-范数为 第27页/共198页2023/2/1428相应的范数为（1.13）若给定实数称 为权系数，当 时，上的加权内积为（1.13）就是前面定义的内积.第28页/共198页2023/2/1429 如果 ，（1.14）这里 仍为正实数序列，为 的共轭
10、.在 上也可以类似定义带权内积.带权内积定义为第29页/共198页2023/2/1430 定义4 4设 是有限或无限区间，在 上的非负函数 满足条件：（1）存在且为有限值（2）对 上的非负连续函数 ，如果则称 为 上的一个权函数.则第30页/共198页2023/2/1431 例2 2 设是 上给定的权函数,（1.15）由此内积导出的范数为 称（1.15）和（1.16）为带权 的内积和范数.上的内积.则可定义内积（1.16）第31页/共198页2023/2/1432 常用的是 的情形，即 第32页/共198页2023/2/1433 若 是 中的线性无关函数族，（1.17）根据定理3可知 线性无关
11、的充要条件是 它的格拉姆矩阵为记第33页/共198页2023/2/1434 函数逼近主要讨论给定 ，求它的最佳逼近多项式的问题.3.1.4 最佳逼近 若 使误差则称 是 在 上的最佳逼近多项式.若 则称相应的 为最佳逼近函数.通常将范数 取为 或第34页/共198页2023/2/1435 若取 ，即（1.18）则称 是 在 上的最优一致逼近多项式.求 就是求 上使最大误差 最小的多项式.第35页/共198页2023/2/1436 若取 ，即则称 是 在 上的最佳平方逼近多项式.（1.19）若 是 上的一个列表函数，在 上给出 ，要求 使则称 为 的最小二乘拟合.（1.20）第36页/共198页
12、2023/2/14373.2 正交多项式 3.2.1 正交函数族与正交多项式 定义5 5（2.1）则称 与 在 上带权 正交.若上的权函数且满足为第37页/共198页2023/2/1438 若函数族 满足关系 则称 是 上带权 的正交函数族.若 ，则称之为标准正交函数族.（2.2）第38页/共198页2023/2/1439 三角函数族 就是在区间 上的正交函数族.定义6 6设 是 上首项系数 的 次多项式，为 上权函数，满足关系式(2.2)，则称多项式序列 为在 上带权 正交，称 为 上带权 的 次正交多项式.如果多项式序列（2.2）第39页/共198页2023/2/1440（2.3）只要给定
13、区间 及权函数 ，均可由一族线性无关的幂函数 利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列 ：第40页/共198页2023/2/1441 正交多项式 的最高次项系数为1.而若 是正交多项式，则 在 上是线性无关的.事实上，若用 乘上式并积分得第41页/共198页2023/2/1442 利用正交性有（1）任何 均可表示为 的线性组合.即由于 ，故即 线性无关.关于正交多项式，有第42页/共198页2023/2/1443 （2）与任一次数小于 的多项式 正交.即 除此之外，还有第43页/共198页2023/2/1444这里 定理4 4 设 是 上带权 的正交多项式，对 成立关系 （2.4）其中 第44页
14、/共198页2023/2/1445 定理5 5 设 是 上带权 的正交多项式，则 在区间 内有 个不同的零点.证明 假定 在 内的零点都是偶数重的，则 在 符号保持不变，这与 矛盾.故 在 内的零点不可能全是偶数重的，现设 为 在 内的奇数重零点，不妨设 则 在 处变号.第45页/共198页2023/2/1446令于是 在 上不变号，则得若 ，由 的正交性可知这与 矛盾，故 .而 只有 个零点，故 ，即 个零点都是单重的.第46页/共198页2023/2/1447 3.2.2 勒让德多项式 罗德利克(Rodrigul）给出了简单的表达式（2.5）当区间为 ，权函数 时，并用 表示.正交化得到的
15、多项式就称为勒让德(Legendre)多项式，由第47页/共198页2023/2/1448由于 是 次多项式，所以对其求 阶导数后得 最高项系数为1的勒让德多项式为（2.6）于是得首项 的系数第48页/共198页2023/2/1449勒让德多项式重要性质：性质1 1（2.7）证明令 ，则设 是在区间 上 阶连续可微的函数，由分部积分知 正交性第49页/共198页2023/2/1450下面分两种情况讨论:（1）若 是次数小于 的多项式，则 故得第50页/共198页2023/2/1451则 （2）若 于是 由于 故 第51页/共198页2023/2/1452 性质2 2（2.8）由于 是偶次多项式
16、，经过偶次求导仍为偶次多项式，经过奇次求导则为奇次多项式，故 为偶数时 为偶函数，为奇数时 为奇函数，于是（2.8）成立.奇偶性第52页/共198页2023/2/1453 性质3 3 考虑 次多项式两边乘 并从-1到1积分，递推关系它可表示为得故得当 时，次数小于等于 ，为0，上式左端积分第53页/共198页2023/2/1454 当 时，其中 左端积分仍为0，故于是为奇函数，第54页/共198页2023/2/1455由从而得到以下的递推公式（2.9）利用上述递推公式就可推出第55页/共198页2023/2/1456图3-1 图3-1给出了 的图形.第56页/共198页2023/2/1457
17、在区间 内有 个不同的实零点.性质4 4第57页/共198页2023/2/1458 3.2.3 切比雪夫多项式 当权函数 ，区间为 时，由序列 正交化得到的正交多项式就是切比雪夫(Chebyshev)多项式.它可表示为（2.10）若令 ，则第58页/共198页2023/2/1459 性质1 1 切比雪夫多项式有很多重要性质：这只要在三角恒等式 中，令 即得.递推关系（2.11）第59页/共198页2023/2/1460 由（2.11）可推出 的函数图形见图3-2.第60页/共198页2023/2/1461图3-2 由递推关系（2.11）还可得到 的最高次项系数是第61页/共198页2023/2
18、/1462 性质2 2（2.12）令 ，则 ，切比雪夫多项式 在区间 上带权 正交，且于是第62页/共198页2023/2/1463 若令 ，则 是首项系数为1的切比雪夫多项式.性质4 4在区间 上有 个零点 性质3 3只含 的偶次幂，只含 的奇次幂.这个性质由递推关系直接得到.性质5 5 的首项 的系数为第63页/共198页2023/2/1464 若记 为所有次数小于等于 的首项系数为1的多项式集合，对 有以下性质：定理6 6 设 是首项系数为1的切比雪夫多项式，则且第64页/共198页2023/2/1465 定理6表明在所有首项系数为1的 次多项式集合 中，所以 是 中最大值最小的多项式，
19、即（2.13）利用这一结论，可求 在 中的最佳（一致）逼近多项式.第65页/共198页2023/2/1466由定理6可知，多项式 与零偏差最小，解由题意，所求最佳逼近多项式 应满足当时，故例3 3求 在 上的最佳2次逼近多项式.第66页/共198页2023/2/1467就是 在 上的最佳2次逼近多项式.由于切比雪夫多项式是在区间 上定义的，对于一般区间 ，要通过变量替换变换到 ，可令（2.14）则可将 变换到第67页/共198页2023/2/1468 切比雪夫多项式 在区间 上有 个零点 3.2.4 切比雪夫多项式零点插值和 个极值点（包括端点）这两组点称为切比雪夫点，它们在插值中有重要作用.
20、第68页/共198页2023/2/1469 从图3-3可以看到切比雪夫点恰好是单位圆周上等距分布点的横坐标，这些点的横坐标在接近区间 的端点处是密集的.图3-3 利用切比雪夫点做插值，可使插值区间最大误差最小化.设插值点 为相应的 次拉格朗日插值多项式，则余项第69页/共198页2023/2/1470于是其中是由被插函数决定的.如果插值节点为 的零点第70页/共198页2023/2/1471则由（2.13）可得由此可导出插值误差最小化的理论.定理7 7 设插值节点 为切比雪夫多项式 的零点，被插函数 为相应的插值多项式，则（2.15）第71页/共198页2023/2/1472 对于一般区间 上
21、的插值只要利用变换（2.14）则可得到相应结果，此时插值节点为第72页/共198页2023/2/1473 例4 4 求 在 上的四次拉格朗日插值多项式 ，插值节点用 的零点并估计误差 解 利用 的零点和区间变换可知节点即对应的拉格朗日插值多项式为第73页/共198页2023/2/1474利用（2.15）可得误差估计而于是有第74页/共198页2023/2/1475 在第2章中曾经指出，高次插值会出现龙格现象，一般 不收敛于 ，因此并不适用.但若用切比雪夫多项式零点插值却可避免龙格现象，可保证整个区间上收敛.第75页/共198页2023/2/1476 例5 5 设 ，在 上利用 的零点作插值点，
22、构造10次拉格朗日插值多项式 .与第2章得到的等距节点造出的 近似 作比较.解 在 上的10次切比雪夫多项式 的零点为作变换 它们是 内的插值点，由此得到 在 上的拉格朗日插值多项式 第76页/共198页2023/2/1477 的图形见图3-4，从图上可见 没有出现龙格现象.图3-4第77页/共198页2023/2/1478 3.2.5 其他常用的正交多项式 区间 及权函数 不同，则得到的正交多项式也不同.除上述两种最重要的正交多项式外，下面是三种较常用的正交多项式.1.第二类切比雪夫多项式 在区间 上带权 的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式.第78页/共198页2023/2/1479 表达
23、式为（2.16）令 ，即 是 上带权 的正交多项式族.可得第79页/共198页2023/2/1480递推关系 第80页/共198页2023/2/1481 2.拉盖尔多项式 在区间 上带权 的正交多项式称为拉盖尔(Laguerre)多项式.其表达式为（2.17）正交性质 第81页/共198页2023/2/1482递推关系 第82页/共198页2023/2/1483 表达式（2.18）正交关系 在区间 上带权 的正交多项式称为埃尔米特多项式.3.埃尔米特多项式 第83页/共198页2023/2/1484递推关系 第84页/共198页2023/2/14853.3 最佳平方逼近第85页/共198页20
24、23/2/1486 3.3.1 最佳平方逼近及其计算 对 及 中的一个子集若存在 ，使（3.1）则称 是 在子集 中的最佳平方逼近函数.第86页/共198页2023/2/1487 由（3.1）可知该问题等价于求多元函数（3.2）的最小值.是关于 的二次函数，即 利用多元函数求极值的必要条件（3.1）第87页/共198页2023/2/1488于是有（3.3）这个关于 的线性方程组，称为法方程.由于 线性无关，故于是方程组（4.3）有唯一解从而得到第88页/共198页2023/2/1489即对任何 下面证明 满足（3.1），（3.4）为此只要考虑 有（3.1）第89页/共198页2023/2/14
25、90 由于 的系数 是方程（3.3）的解，从而上式第二个积分为0，故（3.4）成立.这就证明了 是 在 中的最佳平方逼近函数.故于是（3.3）（3.4）第90页/共198页2023/2/1491若令（3.5）则平方误差为 若取中求 次最佳平方逼近多项式则要在第91页/共198页2023/2/1492此时 若用 表示 对应的矩阵，（3.6）称为希尔伯特(Hilbert)矩阵.即第92页/共198页2023/2/1493 记（3.7）的解 即为所求.则第93页/共198页2023/2/1494 例6 6设 解得方程组 求 上的一次最佳平方逼近多项式.利用（3.7），得（3.7）第94页/共198页
26、2023/2/1495解之 故 平方误差 最大误差 第95页/共198页2023/2/1496 3.3.2 用正交函数族作最佳平方逼近 设 若 是满足条件(2.2)的正交函数族，而 故法方程（3.3）的系数矩阵 则（3.3）（2.2）第96页/共198页2023/2/1497为非奇异对角阵，（3.8）于是 在 中的最佳平方逼近函数为（3.9）且方程（3.3）的解为（3.3）第97页/共198页2023/2/1498由（3.5）可得均方误差为（3.10）由此可得贝塞尔(Bessel)不等式（3.11）（3.5）第98页/共198页2023/2/1499 若 ，按正交函数族 展开，（3.12）称这
27、个级数为 的广义傅里叶(Foureir)级数，讨论特殊情况，设 是正交多项式，可由 正交化得到，则有下面的收敛定理.得级数系数按（3.8）计算，系数称为广义傅里叶系数.它是傅里叶级数的直接推广.（3.8）第99页/共198页2023/2/14100 定理8 8设 考虑函数（3.13）的最佳平方逼近多项式，是由（3.9）给出的其中是正交多项式族，则有展开，由(3.8)，(3.9)可得按勒让德多项式 （3.9）第100页/共198页2023/2/14101根据均方误差公式(3.10)，平方误差为（3.15）由定理8可得 其中（3.14）（3.10）第101页/共198页2023/2/14102 如
28、果 满足光滑性条件,还有 一致收敛于 的结论.公式(2.6)给出了首项系数为1的勒让德多项式 ，定理9 9则对任意 和当 充分大时有设由(3.13)给出，它具有以下性质.（3.13）（2.6）第102页/共198页2023/2/14103 证明 定理1010勒让德多项式 在 上与零的平方误差最小.在所有最高次项系数为1的 次多项式中，设 是任意一个最高次项系数为1的 次多项式，它可表示为第103页/共198页2023/2/14104于是 当且仅当 时等号才成立，即当时平方误差最小.第104页/共198页2023/2/14105 求 在 上的三次最佳平方逼近多项式.例7 7 解先计算第105页/
29、共198页2023/2/14106由(3.14)得 代入(3.13)得三次最佳平方逼近多项式（3.14）（3.13）第106页/共198页2023/2/14107最大误差 如果 求 上的最佳平方逼近多项式，均方误差 做变换第107页/共198页2023/2/14108于是 在 上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式 从而得到区间 上的最佳平方逼近多项式 第108页/共198页2023/2/14109直接通过解法方程得到 中的最佳平方逼近多项式是一致的.只是当 较大时法方程出现病态，计算误差较大，不能使用，而用勒让德展开不用解线性方程组，不存在病态问题，因此通常都用这种方法求最佳平方逼近多项式.
30、由于勒让德多项式 是在区间 上由 正交化得到的，因此利用函数的勒让德展开部分和得到最佳平方逼近多项式与由第109页/共198页2023/2/14110 3.3.3 切比雪夫级数 如果 ，按 展成广义傅里叶级数，由（3.12）可得级数（3.16）其中系数根据（3.8）式，由（2.12）得到（3.17）这里级数（3.16）称为 在 上的切比雪夫级数.第110页/共198页2023/2/14111 若令 ，则（3.16）就是 的傅里叶级数，其中（3.18）根据傅里叶级数理论，只要 在 上分段连续，则 在 上的切比雪夫级数（3.16）一致收敛于 .从而（3.19）第111页/共198页2023/2/1
31、4112（3.20）取部分和其误差为在 上 是均匀分布的，它的最大值 最小，因此 可作为 在 上的近似最佳一致逼近多项式.第112页/共198页2023/2/14113 例8 8 求 在 上的切比雪夫部分和 .解 由（3.18）得 利用第4章的数值积分法得由（3.20）及 的表达式有及第113页/共198页2023/2/141143.4 曲线拟合的最小二乘法 3.4.1 最小二乘法及其计算 在函数的最佳平方逼近中 如果 只在一组离散点集 上给定，这就是科学实验中经常见到的实验数据 的曲线拟合.第114页/共198页2023/2/14115 记误差 问题为利用 求出一个函数与所给数据 拟合.第1
32、15页/共198页2023/2/14116 设 是 上线性无关函数族，在 中找一函数 ，使误差平方和（4.1）这里（4.2）第116页/共198页2023/2/14117 这个问题称为最小二乘逼近，几何上称为曲线拟合的最小二乘法.用最小二乘求拟合曲线时,首先要确定 的形式.确定 的形式问题不仅是数学问题,还与问题的实际背景有关.通常要用问题的运动规律及给定的数据进行数据描图,确定 的形式,然后通过实际计算选出较好的结果.第117页/共198页2023/2/14118 为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中考虑加权平方和（4.3）这里 是 上的权函数，它表示不同点 处的数据比重不同.就是
33、 次多项式.若 是 次多项式，的一般表达式为（4.2）表示的线性形式.（4.2）第118页/共198页2023/2/14119 这样，最小二乘问题就转化为求多元函数（4.4）的极小点 问题.用最小二乘法求拟合曲线的问题，就是在形如(4.2)的 中求一函数 ，由求多元函数极值的必要条件，有 使（4.3）取得最小.（4.2）（4.3）第119页/共198页2023/2/14120若记（4.5）上式可改写为（4.6）这方程称为法方程，可写成矩阵形式第120页/共198页2023/2/14121其中（4.7）要使法方程(4.6)有唯一解，就要求矩阵 非奇异，而 在 上线性无关不能推出矩阵 非奇异，必须
34、加上另外的条件.（4.6）第121页/共198页2023/2/14122 显然 在任意 个点上满足哈尔条件.哈尔条件，则法方程(4.6)的系数矩阵(4.7)非奇异，如果 在 上满足函数 的最小二乘解为 定义7 7设 的任意线性组合在点集 上至多只有 个不同的零点，则称 在点集 上满足哈尔(Haar)条件.方程(5.6)存在唯一的解从而得到于是（4.6）第122页/共198页2023/2/14123这样得到的 ，对任何形如(4.2)的 ，都有故 确是所求最小二乘解.（4.2）第123页/共198页2023/2/14124一般可取 ，但这样做当 时，通常对 的简单情形都可通过求法方程（4.6）得到
35、 给定 的离散数据 ，例如，求解法方程（4.6）将出现系数矩阵 为病态的问题，有时根据给定数据图形，其拟合函数 表面上不是（4.2）的形式，但通过变换仍可化为线性模型.若两边取对数得（4.6）（4.2）第124页/共198页2023/2/14125这样就变成了形如（4.2）的线性模型.此时，若令 则第125页/共198页2023/2/14126 例9 9已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线.解将所给数据在坐标纸上标出，见图3-5.图3-5第126页/共198页2023/2/14127 从图中看到各点在一条直线附近，故可选择线性函数作拟合曲线，令这里故 第127页/共198页2023/2/141
36、28解得由（4.6）得方程组 于是所求拟合曲线为（4.6）第128页/共198页2023/2/14129 关于多项式拟合，Matlab中有现成的程序 其中输入参数 为要拟合的数据，为拟合多项式的次数，输出参数 为拟合多项式的系数.利用下面的程序，可在Matlab中完成上例的多项式拟合.第129页/共198页2023/2/14130 x=1 1 2 3 3 3 4 5;f=4 4 4.5 6 6 6 8 8.5;aa=poly(x,f,1);y=polyval(aa,x);plot(x,f,r+,x,y,k)xlabel(x);ylabel(y);gtext(y=s1(x)）第130页/共198
37、页2023/2/14131结果如下：第131页/共198页2023/2/14132 例1010设数据 由表3-2给出，用最小二乘法确定 及 .表中第4行为通过描点可以看出数学模型为第132页/共198页2023/2/14133 若令先将 转化为为确定 ，根据最小二乘法，取 则得数据表见表3-2.得 解它不是线性形式.用给定数据描图可确定拟合曲线方程为两边取对数得第133页/共198页2023/2/14134故有法方程 解得于是得最小二乘拟合曲线为 第134页/共198页2023/2/14135 利用下面的程序，可在Matlab中完成曲线拟合.x=1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
38、;y=5.10 5.79 6.53 7.45 8.46;y1=log(y);aa=poly(x,y1,1);a=aa(1);b=exp(aa(2);y2=b*exp(a*x);plot(x,y,r+,x,y2,k)xlabel(x);ylabel(y);gtext(y=a*exp(bx);第135页/共198页2023/2/14136结果如下：第136页/共198页2023/2/14137 3.4.2 用正交多项式做最小二乘拟合 如果 是关于点集（4.8）用最小二乘法得到的法方程组（4.6），其系数矩阵 是病态的.带权 正交的函数族，即（4.6）第137页/共198页2023/2/14138（
39、4.9）则方程（4.6）的解为 且平方误差为（4.6）第138页/共198页2023/2/14139 接下来根据给定节点 及权函数 构造带权 正交的多项式 .注意 ，用递推公式表示 ，即（4.10）这里 是首项系数为1的 次多项式，根据 的正交性，得第139页/共198页2023/2/14140（4.11）下面用归纳法证明这样给出的 是正交的.第140页/共198页2023/2/14141 假定 对 及要证 对 均成立.由（4.10）有 由（4.10）第二式及（4.11）中 的表达式，有 均成立，（4.12）（4.10）（4.10）第141页/共198页2023/2/14142 而 ，于是由（
40、4.12），当 时，另外，是首项系数为1的 次多项式，它可由由归纳法假定，当 时的线性组合表示.由归纳法假定又有（4.12）第142页/共198页2023/2/14143由假定有 再考虑（4.13）利用（4.11）中 表达式及以上结果，得 第143页/共198页2023/2/14144至此已证明了由（4.10）及（4.11）确定的多项式 组成一个关于点集 的正交系.用正交多项式 的线性组合作最小二乘曲线拟合，只要根据公式（4.10）及（4.11）逐步求 的同时，相应计算出系数最后，由 和 的表达式（4.11）有 第144页/共198页2023/2/14145并逐步把 累加到 中去，最后就可得到
41、所求的 用这种方法编程序不用解方程组，只用递推公式，并且当逼近次数增加一次时，只要把程序中循环数加1，其余不用改变.这里 可事先给定或在计算过程中根据误差确定.拟合曲线第145页/共198页2023/2/141463.5 有 理 逼 近 3.5.1 有理逼近与连分式 有理函数逼近是指用形如 的函数逼近 与前面讨论一样，如果 最小就可得到最佳有理一致逼近.（5.1）第146页/共198页2023/2/14147 如果 最小则可得到最佳有理平方逼近函数.本节主要讨论利用函数的泰勒展开获得有理逼近函数的方法.对函数 用泰勒展开得（5.2）取部分和 第147页/共198页2023/2/14148 另一
42、方面若对（5.2）式用辗转相除可得到 的一种连分式展开（5.3）（5.2）第148页/共198页2023/2/14149（5.4）（5.3）右端为 的无穷连分式的前5项，最后式子 若取（5.3）的前2，4，6，8项，则可分别得到 的以下有理逼近 是它的紧凑形式.第149页/共198页2023/2/14150 若用同样多项的泰勒展开部分和 逼近 并计算 处的值 及 ，计算结果见表3-3.的准确值为从表3-1可以看出，第150页/共198页2023/2/14151 但它们的计算量是相当的，这说明用有理逼近比多项式逼近好得多.由此看出 的精度比 高出近10万倍，第151页/共198页2023/2/1
43、4152 例1111用辗转相除法将它化为连分式并写成紧凑形式.解 用辗转相除可逐步得到给出有理函数第152页/共198页2023/2/14153 本例中用连分式计算 的值只需3次除法，1次乘法和7次加法.第153页/共198页2023/2/14154 若直接用多项式计算的秦九韶算法则需6次乘法和1次除法及7次加法.可见将 化成连分式可节省计算乘除法次数.对一般的有理函数,（5.1）可转化为一个连分式它的乘除法运算只需 次.而直接用有理函数（5.1）计算乘除法次数为 次.第154页/共198页2023/2/14155 3.5.2 帕德逼近 利用函数 的泰勒展开可以得到它的有理逼近.设 在 的泰勒
44、展开为（5.5）它的部分和记作（5.6）第155页/共198页2023/2/14156 定义8 8设其中 无公因式，且满足条件（5.8）则称 为函数 在 处的 阶帕德逼近，记作 ,简称 的帕德逼近.如果有理函数（5.7）第156页/共198页2023/2/14157 根据定义，若令 则满足条件（5.8）等价于 即 由于 应用莱布尼兹求导公式得（5.8）第157页/共198页2023/2/14158这里 是由（5.6）得到的，上式两端除 ，并由 可得（5.9）及（5.10）注意当 时故（5.10）可写成（5.6）第158页/共198页2023/2/14159（5.11）其中 时 ，若记（5.12
45、）第159页/共198页2023/2/14160则方程组（5.11）的矩阵形式为 定理1111（5.7）的有理函数 是 的 阶帕德逼近的充分必要条件是多项式 的系数 及 满足方程组（5.9）及（5.11）.设则形如第160页/共198页2023/2/14161 根据定理11,求 的帕德逼近时，首先要由（5.11）解出 的系数 ，再由（5.9）直接算出 的系数 .的各阶帕德逼近可列成一张表，称为帕德表（见表3-4）.（5.11）（5.9）第161页/共198页2023/2/14162 例1212求 的帕德逼近 及 .解由 的泰勒展开得 当 时，由（5.11）得 求得再由（5.9）得第162页/共
46、198页2023/2/14163于是得 当 时，由（5.11）得 第163页/共198页2023/2/14164代入（5.9）得 解得 于是得 第164页/共198页2023/2/14165 为了求帕德逼近 的误差估计，由(5.9)及(5.11)求得的 系数 及 ，直接代入则得 将 除上式两端，即得 可以看到这里得到的 及 与 的前面 连分式展开得到的有理逼近（5.4）结果一样.第165页/共198页2023/2/14166（5.13）其中 当 时可得误差近似表达式 第166页/共198页2023/2/141673.6 三角多项式逼近与快速傅里叶变换 当模型数据具有周期性时，用三角函数特别是正
47、弦和余弦函数作为基函数是合适的，这时前面讨论的用多项式、分段多项式或有理函数作基函数都是不适合的.用正弦函数和余弦函数级数表示函数称为傅里叶变换（简称傅氏变换）.第167页/共198页2023/2/14168 3.6.1 最佳平方三角逼近与三角插值 设 是以 为周期的平方可积函数，用三角多项式（6.1）做最佳平方逼近函数.由于三角函数族 在 上是正交函数族，于是 在 上的最小平方三角逼近多项式 的系数是 第168页/共198页2023/2/14169 称为傅里叶系数.函数 按傅里叶系数展开得到的级数（6.3）就称为傅里叶级数.（6.2）第169页/共198页2023/2/14170 只要 在
48、上分段连续，则级数（6.3）一致收敛到 .对于最佳平方逼近多项式（6.1）有 由此可以得到相应于（3.11）的贝塞尔不等式 因为右边不依赖于 ，左边单调有界，所以级数（6.3）（6.1）（3.11）第170页/共198页2023/2/14171 当 只在给定的离散点集 上已知时，则可类似得到离散点集正交性与相应的离散傅里叶系数.下面只给出奇数个点的情形.收敛，并有 第171页/共198页2023/2/14172可以证明对任何 成立 令第172页/共198页2023/2/14173这表明函数族 在点集上正交.若令其中 则 的最小二乘三角逼近为第173页/共198页2023/2/14174当 时
49、于是（6.4）就是三角插值多项式，系数仍由（6.4）表示.第174页/共198页2023/2/14175由于 所以函数族 在区间 上是正交的.一般情形，假定 是以 为周期的复函数，给定 在 个等分点 上的值函数 在等距点集 上的值组成的向量记作第175页/共198页2023/2/14176当 时，个复向量 具有如下正交性：（6.5）第176页/共198页2023/2/14177事实上，令于是 即 若若则有则从而第177页/共198页2023/2/14178于是 若这就证明了（6.5）成立.即 是正交的.则于是 因此，在 个点 上的最小二乘傅里叶逼近为（6.5）第178页/共198页2023/2
50、/14179（6.6）其中（6.7）在（6.6）中，若 ，则 为 在点上的插值函数，于是由（6.6）得 即（6.8）第179页/共198页2023/2/14180 而（6.8）是由 求 的过程，称为反变换.（6.7）是由 求 的过程，称为 的离散傅里叶变换.简称DFT，（6.7）（6.8）第180页/共198页2023/2/14181 3.6.2 点DFTDFT与FFTFFT算法 不论是按（6.7）式由 求 ，由 求 ，（6.9）其中 为已知的输入数据，为输出数据，而 还是由（6.4）计算傅里叶逼近系数都可归结为计算或是按（6.8）（6.4）第181页/共198页2023/2/14182 当