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1、第第3 3章章 函数逼近与快速傅里叶变换函数逼近与快速傅里叶变换3.1 函数逼近的基本概念3.2 正交多项式3.3 最佳平方逼近3.4 曲线拟合的最小二乘法3.5 有理逼近3.6 三角多项式与快速傅里叶变换4/23/20231课件3.1 函数逼近的基本概念函数逼近的基本概念 函数逼近与函数空间函数逼近与函数空间 1、数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算 基本初等函数及其他特殊函数；2、当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该 点集的区间上用公式给出函数的简单表达式.问题问题 这些都涉及到在区间 上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题函数逼近问题.4/23/20232课件
2、 插值法就是函数逼近问题的一种.记作 ，本章讨论的函数逼近，是指“对函数类 中给定的函数中求函数 ，使 与 的误差在某种度量要在另一类简单的便于计算的函数类意义下最小”.函数类 通常是区间 上的连续函数，记作 ，称为连续函数空间连续函数空间.4/23/20233课件 函数类 通常为 次多项式，有理函数或分段低次多项式等.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为 赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间空间.与数的乘法构成实数域上的线性空间，例如将所有实 维向量组成的集合，按向量加法及向量称为 维维记作 ，向量空间向量空间.4/23/20234课件 类似地,记 为具有 阶连续导数的
3、函数空间.记作 .所有定义在 上的连续函数集合，按函数加法和 数与函数乘法构成数域 上的线性空间，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域 称为多项式空间多项式空间.用 表示，上一个线性空间，对次数不超过 (为正整数)的实系数多项式全体，4/23/20235课件 定义定义1 1设集合 是数域 上的线性空间，元素 如果存在不全为零的数 ，（1.1）则称 线性相关线性相关.否则，若等式(1.1)只对 成立，则称 线性无关线性无关.使得4/23/20236课件系数 称为 在基并称空间 为 维空间维空间，若线性空间 是由 个线性无关元素 生成的，即对 都有则 称为空间 的一组基基，记为下的坐
4、标坐标，记作 如果 中有无限个线性无关元素 则称 为无限维线性空间无限维线性空间.4/23/20237课件（1.2）它由 个系数 唯一确定.考察次数不超过 次的多项式集合 ，它是 的一组基，是线性无关的，且 是 的坐标向量，是 维的.表示为其元素故4/23/20238课件使误差 对连续函数 ，它不能用有限个线性无关的函数表示，故 是无限维的，但它的任一元素 均可用有限维的 逼近，(为任给的小正数)，这就是著名的魏尔斯特拉斯定理.4/23/20239课件使 定理定理1 1总存在一设 ，则对任何 ，个代数多项式 ，在 上一致成立.伯恩斯坦1912年给出的证明是一种构造性证明.他根据函数整体逼近的特
5、性构造出伯恩斯坦多项式（1.3）4/23/202310课件 为二项式展开系数，并证明了在 上一致成立；若 在 上 阶导数连续，则其中 这个结果不但证明了定理1，而且由(1.3)给出了 的一个逼近多项式，但它收敛太慢，实际中很少使用.（1.3）4/23/202311课件 更一般地，可用一组在 上线性无关的函数集合 来逼近 ，可表示为（1.4）此时元素 函数逼近问题就是对任何 ，找一个元素 ，使 在某种意义下最小.在子空间中4/23/202312课件 范数与赋范线性空间范数与赋范线性空间 为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数定义，它是 空间中向量长度概念的直接推广.4/23/202313
6、课件 定义定义2 2 设 为线性空间，若存在唯一实数，满足条件：（1）当且仅当 时，（正定性）（2）(齐次性)（3）(三角不等式)则称为线性空间 上的范数，与一起称为赋范线性空间，记为 4/23/202314课件 例如，在 上的向量 三种常用范数为 称为 范数或最大范数，称为 1-范数，称为 2-范数.4/23/202315课件 而满足1=1 的向量 则为对角线长度为1的菱形.实际上任何向量的实值函数，只要满足上述三个条件，就可以定义成一种向量范数.在 中，满足2=1，即 的向量为单位圆，满足=1，即 的向量为单位正方形，4/23/202316课件 所以说，范数是对向量长度的度量，度量方式不同
7、，结果也不一样，但不同范数之间是存在等价关系的.4/23/202317课件 类似地，对连续函数空间 ，若 ,称为 范数，称为 1-范数，称为 2-范数.可以验证这样定义的范数均满足定义2中的三个条件.可定义三种常用范数如下：4/23/202318课件 内积与内积空间内积与内积空间 在线性代数中，中两个向量 及的内积定义为 若将它推广到一般的线性空间 ，则有下面的定义.（1.5）4/23/202319课件 定义定义3 3则称 为X上 与 的内积.X 是数域K(R或C)上的线性空间，对有K中一个数与之对应，记为 ，它满足以下条件：4/23/202320课件 定义中（1）的右端 称为 的共轭共轭，当
8、K为实数域R时 .如果 ，则称 与 正交正交，这是向量相互垂直概念的推广.定义了内积的线性空间称为内积空间内积空间.4/23/202321课件 定理定理2 2对 有（1.6）称为柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式.证明证明当 时（1.6）式显然成立.现设 ，则 ，且对任何数 有取 ，设X为一个内积空间，代入上式右端，得4/23/202322课件即得 时 4/23/202323课件 定理定理3 3（1.7）称为格拉姆(Gram)矩阵，则 非奇异的充分必要条件是 线性无关.设X为一个内积空间，矩阵4/23/202324课件 证明证明只有零解；（1.9）G非奇异等价于 ，其充要条件是
9、齐次 方程组（1.8）而4/23/202325课件 从以上等价关系知，而后者等价于从（1.9）推出即 线性无关.在内积空间X上，可以由内积导出一种范数，即对于（1.10）等价于从（1.8）推出记（1.8）4/23/202326课件两端开方即得三角不等式（1.11）利用4/23/202327课件 例例1 1与 的内积.设 （1.12）向量2-范数为 4/23/202328课件相应的范数为（1.13）若给定实数称 为权系数，当 时，上的加权内积为（1.13）就是前面定义的内积.4/23/202329课件 如果 ，（1.14）这里 仍为正实数序列，为 的共轭.在 上也可以类似定义带权内积.带权内积定
10、义为4/23/202330课件 定义定义4 4设 是有限或无限区间，在 上的非负函数 满足条件：（1）存在且为有限值（2）对 上的非负连续函数 ，如果则称 为 上的一个权函数权函数.则4/23/202331课件 例例2 2 设是 上给定的权函数,（1.15）由此内积导出的范数为 称（1.15）和（1.16）为带权 的内积和范数.上的内积.则可定义内积（1.16）4/23/202332课件 常用的是 的情形，即 4/23/202333课件 若 是 中的线性无关函数族，（1.17）根据定理3可知 线性无关的充要条件是 它的格拉姆矩阵为记4/23/202334课件 函数逼近主要讨论给定 ，求它的最佳
11、逼近多项式的问题.最佳逼近最佳逼近 若 使误差则称 是 在 上的最佳逼近多项式最佳逼近多项式.若 则称相应的 为最佳逼近函数.通常将范数 取为 或4/23/202335课件 若取 ，即（1.18）则称 是 在 上的最优一致逼近多项式最优一致逼近多项式.求 就是求 上使最大误差 最小的多项式.4/23/202336课件 若取 ，即则称 是 在 上的最佳平方逼近多项式最佳平方逼近多项式.（1.19）若 是 上的一个列表函数，在 上给出 ，要求 使则称 为 的最小二乘拟合最小二乘拟合.（1.20）4/23/202337课件3.2 正交多项式正交多项式 正交函数族与正交多项式正交函数族与正交多项式 定
12、义定义5 5（2.1）则称 与 在 上带权 正交正交.若上的权函数且满足为4/23/202338课件 若函数族 满足关系 则称 是 上带权 的正交函数族正交函数族.若 ，则称之为标准正交函数族标准正交函数族.（2.2）4/23/202339课件 三角函数族 就是在区间 上的正交函数族.定义定义6 6设 是 上首项系数 的 次多项式，为 上权函数，满足关系式(2.2)，则称多项式序列 为在 上带权 正交正交，称 为 上带权 的 次正交多项式正交多项式.如果多项式序列（2.2）4/23/202340课件（2.3）只要给定区间 及权函数 ，均可由一族线性无关的幂函数 利用逐个正交化手续构造出正交多项
13、式序列 ：4/23/202341课件 正交多项式 的最高次项系数为1.而若 是正交多项式，则 在 上是线性无关的.事实上，若用 乘上式并积分得4/23/202342课件 利用正交性有（1）任何 均可表示为 的线性组合.即由于 ，故即 线性无关.关于正交多项式，有4/23/202343课件 （2）与任一次数小于 的多项式 正交.即 除此之外，还有4/23/202344课件这里 定理定理4 4 设 是 上带权 的正交多项式，对 成立关系 （2.4）其中 4/23/202345课件 定理定理5 5 设 是 上带权 的正交多项式，则 在区间 内有 个不同的零点.证明证明 假定 在 内的零点都是偶数重的
14、，则 在 符号保持不变，这与 矛盾.故 在 内的零点不可能全是偶数重的，现设 为 在 内的奇数重零点，不妨设 则 在 处变号.4/23/202346课件令于是 在 上不变号，则得若 ，由 的正交性可知这与 矛盾，故 .而 只有 个零点，故 ，即 个零点都是单重的.4/23/202347课件 勒让德多项式勒让德多项式 罗德利克罗德利克(Rodrigul）给出了简单的表达式（2.5）当区间为 ，权函数 时，并用 表示.正交化得到的多项式就称为勒让德勒让德(Legendre)多项式多项式，由4/23/202348课件由于 是 次多项式，所以对其求 阶导数后得 最高项系数为1的勒让德多项式为（2.6）
15、于是得首项 的系数4/23/202349课件勒让德多项式重要性质：性质性质1 1（2.7）证明证明令 ，则设 是在区间 上 阶连续可微的函数，由分部积分知 正交性4/23/202350课件下面分两种情况讨论:（1）若 是次数小于 的多项式，则 故得4/23/202351课件则 （2）若 于是 由于 故 4/23/202352课件 性质性质2 2（2.8）由于 是偶次多项式，经过偶次求导仍为偶次多项式，经过奇次求导则为奇次多项式，故 为偶数时 为偶函数，为奇数时 为奇函数，于是（2.8）成立.奇偶性4/23/202353课件 性质性质3 3 考虑 次多项式两边乘 并从-1到1积分，递推关系它可表
16、示为得故得当 时，次数小于等于 ，为0，上式左端积分4/23/202354课件 当 时，其中 左端积分仍为0，故于是为奇函数，4/23/202355课件由从而得到以下的递推公式（2.9）利用上述递推公式就可推出4/23/202356课件图3-1 图3-1给出了 的图形.4/23/202357课件 在区间 内有 个不同的实零点.性质性质4 44/23/202358课件 切比雪夫多项式切比雪夫多项式 当权函数 ，区间为 时，由序列 正交化得到的正交多项式就是切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)多项式多项式.它可表示为（2.10）若令 ，则4/23/202359课件 性质性质1 1 切比雪夫多项式
17、有很多重要性质：这只要在三角恒等式 中，令 即得.递推关系（2.11）4/23/202360课件 由（2.11）可推出 的函数图形见图3-2.4/23/202361课件图3-2 由递推关系（2.11）还可得到 的最高次项系数是4/23/202362课件 性质性质2 2（2.12）令 ，则 ，切比雪夫多项式 在区间 上带权 正交，且于是4/23/202363课件 若令 ，则 是首项系数为1的切比雪夫多项式.性质性质4 4在区间 上有 个零点 性质性质3 3只含 的偶次幂，只含 的奇次幂.这个性质由递推关系直接得到.性质性质5 5 的首项 的系数为4/23/202364课件 若记 为所有次数小于等
18、于 的首项系数为1的多项式集合，对 有以下性质：定理定理6 6 设 是首项系数为1的切比雪夫多项式，则且4/23/202365课件 定理6表明在所有首项系数为1的 次多项式集合 中，所以 是 中最大值最小的多项式，即（2.13）利用这一结论，可求 在 中的最佳（一致）逼近多项式.4/23/202366课件由定理6可知，多项式 与零偏差最小，解解由题意，所求最佳逼近多项式 应满足当时，故例例3 3求 在 上的最佳2次逼近多项式.4/23/202367课件就是 在 上的最佳2次逼近多项式.由于切比雪夫多项式是在区间 上定义的，对于一般区间 ，要通过变量替换变换到 ，可令（2.14）则可将 变换到4
19、/23/202368课件 切比雪夫多项式 在区间 上有 个零点 切比雪夫多项式零点插值切比雪夫多项式零点插值和 个极值点（包括端点）这两组点称为切比雪夫点切比雪夫点，它们在插值中有重要作用.4/23/202369课件 从图3-3可以看到切比雪夫点恰好是单位圆周上等距分布点的横坐标，这些点的横坐标在接近区间 的端点处是密集的.图3-3 利用切比雪夫点做插值，可使插值区间最大误差最小化.设插值点 为相应的 次拉格朗日插值多项式，则余项4/23/202370课件于是其中是由被插函数决定的.如果插值节点为 的零点4/23/202371课件则由（2.13）可得由此可导出插值误差最小化的理论.定理定理7
20、7 设插值节点 为切比雪夫多项式 的零点，被插函数 为相应的插值多项式，则（2.15）4/23/202372课件 对于一般区间 上的插值只要利用变换（2.14）则可得到相应结果，此时插值节点为4/23/202373课件 例例4 4 求 在 上的四次拉格朗日插值多项式 ，插值节点用 的零点并估计误差 解解 利用 的零点和区间变换可知节点即对应的拉格朗日插值多项式为4/23/202374课件利用（2.15）可得误差估计而于是有4/23/202375课件 在第2章中曾经指出，高次插值会出现龙格现象，一般 不收敛于 ，因此并不适用.但若用切比雪夫多项式零点插值却可避免龙格现象，可保证整个区间上收敛.4
21、/23/202376课件 例例5 5 设 ，在 上利用 的零点作插值点，构造10次拉格朗日插值多项式 .与第2章得到的等距节点造出的 近似 作比较.解解 在 上的10次切比雪夫多项式 的零点为作变换 它们是 内的插值点，由此得到 在 上的拉格朗日插值多项式 4/23/202377课件 的图形见图3-4，从图上可见 没有出现龙格现象.图3-44/23/202378课件 其他常用的正交多项式其他常用的正交多项式 区间 及权函数 不同，则得到的正交多项式也不同.除上述两种最重要的正交多项式外，下面是三种较常用的正交多项式.1.第二类切比雪夫多项式 在区间 上带权 的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式
22、第二类切比雪夫多项式.4/23/202379课件 表达式为（2.16）令 ，即 是 上带权 的正交多项式族.可得4/23/202380课件递推关系 4/23/202381课件 2.拉盖尔多项式 在区间 上带权 的正交多项式称为拉拉盖尔盖尔(Laguerre)多项式多项式.其表达式为（2.17）正交性质 4/23/202382课件递推关系 4/23/202383课件 表达式（2.18）正交关系 在区间 上带权 的正交多项式称为埃尔米特多项式埃尔米特多项式.3.埃尔米特多项式 4/23/202384课件递推关系 4/23/202385课件3.3 最佳平方逼近最佳平方逼近4/23/202386课件
23、最佳平方逼近及其计算最佳平方逼近及其计算 对 及 中的一个子集若存在 ，使（3.1）则称 是 在子集 中的最佳平方逼近最佳平方逼近函数函数.4/23/202387课件 由（3.1）可知该问题等价于求多元函数（3.2）的最小值.是关于 的二次函数，即 利用多元函数求极值的必要条件（3.1）4/23/202388课件于是有（3.3）这个关于 的线性方程组，称为法方程法方程.由于 线性无关，故于是方程组（4.3）有唯一解从而得到4/23/202389课件即对任何 下面证明 满足（3.1），（3.4）为此只要考虑 有（3.1）4/23/202390课件 由于 的系数 是方程（3.3）的解，从而上式第二
24、个积分为0，故（3.4）成立.这就证明了 是 在 中的最佳平方逼近函数.故于是（3.3）（3.4）4/23/202391课件若令（3.5）则平方误差为 若取中求 次最佳平方逼近多项式则要在4/23/202392课件此时 若用 表示 对应的矩阵，（3.6）称为希尔伯特希尔伯特(Hilbert)矩阵矩阵.即4/23/202393课件 记（3.7）的解 即为所求.则4/23/202394课件 例例6 6设 解解得方程组 求 上的一次最佳平方逼近多项式.利用（3.7），得（3.7）4/23/202395课件解之 故 平方误差 最大误差 4/23/202396课件 用正交函数族作最佳平方逼近用正交函数族
25、作最佳平方逼近 设 若 是满足条件(2.2)的正交函数族，而 故法方程（3.3）的系数矩阵 则（3.3）（2.2）4/23/202397课件为非奇异对角阵，（3.8）于是 在 中的最佳平方逼近函数为（3.9）且方程（3.3）的解为（3.3）4/23/202398课件由（3.5）可得均方误差为（3.10）由此可得贝塞尔贝塞尔(Bessel)不等式不等式（3.11）（3.5）4/23/202399课件 若 ，按正交函数族 展开，（3.12）称这个级数为 的广义傅里叶广义傅里叶(Foureir)级数级数，讨论特殊情况，设 是正交多项式，可由 正交化得到，则有下面的收敛定理.得级数系数按（3.8）计算
26、，系数称为广义傅里叶系数广义傅里叶系数.它是傅里叶级数的直接推广.（3.8）4/23/2023100课件 定理定理8 8设 考虑函数（3.13）的最佳平方逼近多项式，是由（3.9）给出的其中是正交多项式族，则有展开，由(3.8)，(3.9)可得按勒让德多项式 （3.9）4/23/2023101课件根据均方误差公式(3.10)，平方误差为（3.15）由定理8可得 其中（3.14）（3.10）4/23/2023102课件 如果 满足光滑性条件,还有 一致收敛于 的结论.公式(2.6)给出了首项系数为1的勒让德多项式 ，定理定理9 9则对任意 和当 充分大时有设由(3.13)给出，它具有以下性质.（
27、3.13）（2.6）4/23/2023103课件 证明证明 定理定理1010勒让德多项式 在 上与零的平方误差最小.在所有最高次项系数为1的 次多项式中，设 是任意一个最高次项系数为1的 次多项式，它可表示为4/23/2023104课件于是 当且仅当 时等号才成立，即当时平方误差最小.4/23/2023105课件 求 在 上的三次最佳平方逼近多项式.例例7 7 解解先计算4/23/2023106课件由(3.14)得 代入(3.13)得三次最佳平方逼近多项式（3.14）（3.13）4/23/2023107课件最大误差 如果 求 上的最佳平方逼近多项式，均方误差 做变换4/23/2023108课件
28、于是 在 上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式 从而得到区间 上的最佳平方逼近多项式 4/23/2023109课件直接通过解法方程得到 中的最佳平方逼近多项式是一致的.只是当 较大时法方程出现病态，计算误差较大，不能使用，而用勒让德展开不用解线性方程组，不存在病态问题，因此通常都用这种方法求最佳平方逼近多项式.由于勒让德多项式 是在区间 上由 正交化得到的，因此利用函数的勒让德展开部分和得到最佳平方逼近多项式与由4/23/2023110课件 切比雪夫级数切比雪夫级数 如果 ，按 展成广义傅里叶级数，由（3.12）可得级数（3.16）其中系数根据（3.8）式，由（2.12）得到（3.17）这里
29、级数（3.16）称为 在 上的切比雪夫级数.4/23/2023111课件 若令 ，则（3.16）就是 的傅里叶级数，其中（3.18）根据傅里叶级数理论，只要 在 上分段连续，则 在 上的切比雪夫级数（3.16）一致收敛于 .从而（3.19）4/23/2023112课件（3.20）取部分和其误差为在 上 是均匀分布的，它的最大值 最小，因此 可作为 在 上的近似最佳一致逼近多项式.4/23/2023113课件 例例8 8 求 在 上的切比雪夫部分和 .解解 由（3.18）得 利用第4章的数值积分法得由（3.20）及 的表达式有及4/23/2023114课件3.4 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最
30、小二乘法 最小二乘法及其计算最小二乘法及其计算 在函数的最佳平方逼近中 如果 只在一组离散点集 上给定，这就是科学实验中经常见到的实验数据 的曲线拟合.4/23/2023115课件 记误差 问题为利用 求出一个函数与所给数据 拟合.4/23/2023116课件 设 是 上线性无关函数族，在 中找一函数 ，使误差平方和（4.1）这里（4.2）4/23/2023117课件 这个问题称为最小二乘逼近，几何上称为曲线拟合的最小二乘法.用最小二乘求拟合曲线时,首先要确定 的形式.确定 的形式问题不仅是数学问题,还与问题的实际背景有关.通常要用问题的运动规律及给定的数据进行数据描图,确定 的形式,然后通过
31、实际计算选出较好的结果.4/23/2023118课件 为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中考虑加权平方和（4.3）这里 是 上的权函数，它表示不同点 处的数据比重不同.就是 次多项式.若 是 次多项式，的一般表达式为（4.2）表示的线性形式.（4.2）4/23/2023119课件 这样，最小二乘问题就转化为求多元函数（4.4）的极小点 问题.用最小二乘法求拟合曲线的问题，就是在形如(4.2)的 中求一函数 ，由求多元函数极值的必要条件，有 使（4.3）取得最小.（4.2）（4.3）4/23/2023120课件若记（4.5）上式可改写为（4.6）这方程称为法方程法方程，可写成矩阵形式4
32、/23/2023121课件其中（4.7）要使法方程(4.6)有唯一解，就要求矩阵 非奇异，而 在 上线性无关不能推出矩阵 非奇异，必须加上另外的条件.（4.6）4/23/2023122课件 显然 在任意 个点上满足哈尔条件.哈尔条件，则法方程(4.6)的系数矩阵(4.7)非奇异，如果 在 上满足函数 的最小二乘解为 定义定义7 7设 的任意线性组合在点集 上至多只有 个不同的零点，则称 在点集 上满足哈尔哈尔(Haar)条件条件.方程(5.6)存在唯一的解从而得到于是（4.6）4/23/2023123课件这样得到的 ，对任何形如(4.2)的 ，都有故 确是所求最小二乘解.（4.2）4/23/2
33、023124课件一般可取 ，但这样做当 时，通常对 的简单情形都可通过求法方程（4.6）得到 给定 的离散数据 ，例如，求解法方程（4.6）将出现系数矩阵 为病态的问题，有时根据给定数据图形，其拟合函数 表面上不是（4.2）的形式，但通过变换仍可化为线性模型.若两边取对数得（4.6）（4.2）4/23/2023125课件这样就变成了形如（4.2）的线性模型.此时，若令 则4/23/2023126课件 例例9 9已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线.解解将所给数据在坐标纸上标出，见图3-5.图3-54/23/2023127课件 从图中看到各点在一条直线附近，故可选择线性函数作拟合曲线，令这里故
34、4/23/2023128课件解得由（4.6）得方程组 于是所求拟合曲线为（4.6）4/23/2023129课件 关于多项式拟合，Matlab中有现成的程序 其中输入参数 为要拟合的数据，为拟合多项式的次数，输出参数 为拟合多项式的系数.利用下面的程序，可在Matlab中完成上例的多项式拟合.4/23/2023130课件x=1 1 2 3 3 3 4 5;f=4 4 4.5 6 6 6 8 8.5;aa=poly(x,f,1);y=polyval(aa,x);plot(x,f,r+,x,y,k)xlabel(x);ylabel(y);gtext(y=s1(x)）4/23/2023131课件结果如
35、下：4/23/2023132课件 例例1010 设数据 由表3-2给出，用最小二乘法确定 及 .表中第4行为通过描点可以看出数学模型为4/23/2023133课件 若令先将 转化为为确定 ，根据最小二乘法，取 则得数据表见表3-2.得 解解它不是线性形式.用给定数据描图可确定拟合曲线方程为两边取对数得4/23/2023134课件故有法方程 解得于是得最小二乘拟合曲线为 4/23/2023135课件 利用下面的程序，可在Matlab中完成曲线拟合.x=1.00 1.25 1.50 1.75 2.00;y=5.10 5.79 6.53 7.45 8.46;y1=log(y);aa=poly(x,y
36、1,1);a=aa(1);b=exp(aa(2);y2=b*exp(a*x);plot(x,y,r+,x,y2,k)xlabel(x);ylabel(y);gtext(y=a*exp(bx);4/23/2023136课件结果如下：4/23/2023137课件 用正交多项式做最小二乘拟合用正交多项式做最小二乘拟合 如果 是关于点集（4.8）用最小二乘法得到的法方程组（4.6），其系数矩阵 是病态的.带权 正交的函数族，即（4.6）4/23/2023138课件（4.9）则方程（4.6）的解为 且平方误差为（4.6）4/23/2023139课件 接下来根据给定节点 及权函数 构造带权 正交的多项式
37、.注意 ，用递推公式表示 ，即（4.10）这里 是首项系数为1的 次多项式，根据 的正交性，得4/23/2023140课件（4.11）下面用归纳法证明这样给出的 是正交的.4/23/2023141课件 假定 对 及要证 对 均成立.由（4.10）有 由（4.10）第二式及（4.11）中 的表达式，有 均成立，（4.12）（4.10）（4.10）4/23/2023142课件 而 ，于是由（4.12），当 时，另外，是首项系数为1的 次多项式，它可由由归纳法假定，当 时的线性组合表示.由归纳法假定又有（4.12）4/23/2023143课件由假定有 再考虑（4.13）利用（4.11）中 表达式及以
38、上结果，得 4/23/2023144课件至此已证明了由（4.10）及（4.11）确定的多项式 组成一个关于点集 的正交系.用正交多项式 的线性组合作最小二乘曲线拟合，只要根据公式（4.10）及（4.11）逐步求 的同时，相应计算出系数最后，由 和 的表达式（4.11）有 4/23/2023145课件并逐步把 累加到 中去，最后就可得到所求的 用这种方法编程序不用解方程组，只用递推公式，并且当逼近次数增加一次时，只要把程序中循环数加1，其余不用改变.这里 可事先给定或在计算过程中根据误差确定.拟合曲线4/23/2023146课件3.5 有有 理理 逼逼 近近 有理逼近与连分式有理逼近与连分式 有
39、理函数逼近是指用形如 的函数逼近 与前面讨论一样，如果 最小就可得到最佳有理一致逼近最佳有理一致逼近.（5.1）4/23/2023147课件 如果 最小则可得到最佳有理平方逼近最佳有理平方逼近函数函数.本节主要讨论利用函数的泰勒展开获得有理逼近函数的方法.对函数 用泰勒展开得（5.2）取部分和 4/23/2023148课件 另一方面若对（5.2）式用辗转相除可得到 的一种连分式展开（5.3）（5.2）4/23/2023149课件（5.4）（5.3）右端为 的无穷连分式的前5项，最后式子 若取（5.3）的前2，4，6，8项，则可分别得到 的以下有理逼近 是它的紧凑形式.4/23/2023150课
40、件 若用同样多项的泰勒展开部分和 逼近 并计算 处的值 及 ，计算结果见表3-3.的准确值为从表3-1可以看出，4/23/2023151课件 但它们的计算量是相当的，这说明用有理逼近比多项式逼近好得多.由此看出 的精度比 高出近10万倍，4/23/2023152课件 例例1111用辗转相除法将它化为连分式并写成紧凑形式.解解 用辗转相除可逐步得到给出有理函数4/23/2023153课件 本例中用连分式计算 的值只需3次除法，1次乘法和7次加法.4/23/2023154课件 若直接用多项式计算的秦九韶算法则需6次乘法和1次除法及7次加法.可见将 化成连分式可节省计算乘除法次数.对一般的有理函数,
41、（5.1）可转化为一个连分式它的乘除法运算只需 次.而直接用有理函数（5.1）计算乘除法次数为 次.4/23/2023155课件 帕德逼近帕德逼近 利用函数 的泰勒展开可以得到它的有理逼近.设 在 的泰勒展开为（5.5）它的部分和记作（5.6）4/23/2023156课件 定义定义8 8设其中 无公因式，且满足条件（5.8）则称 为函数 在 处的 阶帕德逼近帕德逼近，记作 ,简称 的帕德逼近.如果有理函数（5.7）4/23/2023157课件 根据定义，若令 则满足条件（5.8）等价于 即 由于 应用莱布尼兹求导公式得（5.8）4/23/2023158课件这里 是由（5.6）得到的，上式两端除
42、 ，并由 可得（5.9）及（5.10）注意当 时故（5.10）可写成（5.6）4/23/2023159课件（5.11）其中 时 ，若记（5.12）4/23/2023160课件则方程组（5.11）的矩阵形式为 定理定理1111（5.7）的有理函数 是 的 阶帕德逼近的充分必要条件是多项式 的系数 及 满足方程组（5.9）及（5.11）.设则形如4/23/2023161课件 根据定理11,求 的帕德逼近时，首先要由（5.11）解出 的系数 ，再由（5.9）直接算出 的系数 .的各阶帕德逼近可列成一张表，称为帕德表（见表3-4）.（5.11）（5.9）4/23/2023162课件 例例1212求 的
43、帕德逼近 及 .解解由 的泰勒展开得 当 时，由（5.11）得 求得再由（5.9）得4/23/2023163课件于是得 当 时，由（5.11）得 4/23/2023164课件代入（5.9）得 解得 于是得 4/23/2023165课件 为了求帕德逼近 的误差估计，由(5.9)及(5.11)求得的 系数 及 ，直接代入则得 将 除上式两端，即得 可以看到这里得到的 及 与 的前面 连分式展开得到的有理逼近（5.4）结果一样.4/23/2023166课件（5.13）其中 当 时可得误差近似表达式 4/23/2023167课件3.6 三角多项式逼近与快速傅里叶变换三角多项式逼近与快速傅里叶变换 当模
44、型数据具有周期性时，用三角函数特别是正弦和余弦函数作为基函数是合适的，这时前面讨论的用多项式、分段多项式或有理函数作基函数都是不适合的.用正弦函数和余弦函数级数表示函数称为傅里叶变换傅里叶变换（简称傅氏变换傅氏变换）.4/23/2023168课件 最佳平方三角逼近与三角插值最佳平方三角逼近与三角插值 设 是以 为周期的平方可积函数，用三角多项式（6.1）做最佳平方逼近函数.由于三角函数族 在 上是正交函数族，于是 在 上的最小平方三角逼近多项式 的系数是 4/23/2023169课件 称为傅里叶系数.函数 按傅里叶系数展开得到的级数（6.3）就称为傅里叶级数傅里叶级数.（6.2）4/23/20
45、23170课件 只要 在 上分段连续，则级数（6.3）一致收敛到 .对于最佳平方逼近多项式（6.1）有 由此可以得到相应于（3.11）的贝塞尔不等式 因为右边不依赖于 ，左边单调有界，所以级数（6.3）（6.1）（3.11）4/23/2023171课件 当 只在给定的离散点集 上已知时，则可类似得到离散点集正交性与相应的离散傅里叶系数.下面只给出奇数个点的情形.收敛，并有 4/23/2023172课件可以证明对任何 成立 令4/23/2023173课件这表明函数族 在点集上正交.若令其中 则 的最小二乘三角逼近为4/23/2023174课件当 时 于是（6.4）就是三角插值多项式，系数仍由（6
46、.4）表示.4/23/2023175课件由于 所以函数族 在区间 上是正交的.一般情形，假定 是以 为周期的复函数，给定 在 个等分点 上的值函数 在等距点集 上的值组成的向量记作4/23/2023176课件当 时，个复向量 具有如下正交性：（6.5）4/23/2023177课件事实上，令于是 即 若若则有则从而4/23/2023178课件于是 若这就证明了（6.5）成立.即 是正交的.则于是 因此，在 个点 上的最小二乘傅里叶逼近为（6.5）4/23/2023179课件（6.6）其中（6.7）在（6.6）中，若 ，则 为 在点上的插值函数，于是由（6.6）得 即（6.8）4/23/20231
47、80课件 而（6.8）是由 求 的过程，称为反变换反变换.（6.7）是由 求 的过程，称为 的离散离散傅里叶变换傅里叶变换.简称DFT，（6.7）（6.8）4/23/2023181课件 点点DFTDFT与与FFTFFT算法算法 不论是按（6.7）式由 求 ，由 求 ，（6.9）其中 为已知的输入数据，为输出数据，而 还是由（6.4）计算傅里叶逼近系数都可归结为计算或是按（6.8）（6.4）4/23/2023182课件 当 较大且处理数据很多时，就是用高速的电子计算机，很多实际问题仍然无法计算，（6.9）式称为 点DFT，表面上看计算 需要 次复数乘法和 次复数加法，称为 个操作，计算全部 共要
48、 个操作.直到20世纪60年代中期产生了FFT算法，大大提高了运算速度，才使DFT得到更广泛的应用.FFT是快速算法的一个典范，其基本思想就是尽量减少乘法次数.（6.9）4/23/2023183课件 对于任意正整数 ，成立由周期性可知所有 中，做多有 个不同的值 .特别地，有当 时，只有 个不同的值.利用这些性质可将（6.9）式对半折成两个和式，再将对应项相加，有4/23/2023184课件依下标奇、偶分别考察，则若令则可将 点DFT归结为两个 点的DFT：如此反复施行二分手续即可得到FFT算法.4/23/2023185课件 以 为例说明FFT的计算方法，此时在（6.9）中将 记为 ，于是（6
49、.9）式的和为 （6.10）将 用二进制表示为 其中 只能取0或1.例如根据 表示法，有4/23/2023186课件公式（6.10）可表示为（6.11）（6.10）若引入记号（6.12）4/23/2023187课件则（6.11）变成 若注意 公式（6.12）还可进一步简化为 4/23/2023188课件将这表达式中二进制表示还原为十进制表示：（6.13）即 得同样（6.12）中的 也可简化为 即 4/23/2023189课件把二进制表示还原为十进制表示，得（6.14）同理（6.12）中 可简化为 即 4/23/2023190课件表示为十进制，有（6.15）根据公式(6.13)，(6.14)，(
50、6.15)，由逐次计算到见表3-5(略）.从表3-5中看到计算全部8个 只用8次乘法运算和24次加法运算.4/23/2023191课件 上面推导的 的计算公式可类似地推广到 的情形.根据公式(6.13)，(6.14)，(6.15)，一般情况的FFT计算公式如下：（6.16）其中 括号内的数代表它的位置，在计算机中代表存放数的地址.4/23/2023192课件从 出发，由 到 算到 一组 占用 个复数单元，计算时需给出两组单元，即为所求.计算过程中只要按地址号存放 则最后得到的就是所求离散频谱的次序.这个计算公式除了具有不倒地址的优点外，计算只有两重循环.外循环 由 计算到 ，内循环 由 计算到