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1、理论力学动量矩定理本讲稿第一页，共十九页 相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理 在在质质点点系系相相对对于于惯惯性性参参考考系系中中固固定定点点（或或固固定定轴轴）的的动动量矩定理量矩定理中，动量矩由系统的绝对运动所确定。中，动量矩由系统的绝对运动所确定。这这里里讨讨论论质质点点系系相相对对于于质质点点系系的的质质心心或或通通过过质质心心的的动动轴轴的的动动量量矩矩定定理理，一一方方面面是是因因为为它它有有广广泛泛的的应应用用价价值值，另一方面动量矩定理仍保持了简单的形式。另一方面动量矩定理仍保持了简单的形式。本讲稿第二页，共十九页 质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩之间存在
2、确定的关系。质点系相对固定点的动量矩为 相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理 质点系相对质心的动量矩质点系相对质心的动量矩 因为因为所以有所以有本讲稿第三页，共十九页根据上式和质点系对固定点的动量矩定理，相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理 本讲稿第四页，共十九页 这这就就是是质质点点系系相相对对质质心心的的动动量量矩矩定定理理(theorem of the moment of momentum with respect to the center of mass)，它表明：质质点点系系相相对对质质心心的的动动量量矩矩对时间的导数，
3、等于作用于质点系的外力对质心的主矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。需要注意的是，这里所涉及的随质心运动的动坐标系，一定是平移坐标系。定理只适用于质心这一特殊的动点，对其它动点，定理将出现附加项。对于刚体，质质心心运运动动定定理理建立了外力与质心运动的关系；质质点点系系相相对质对质心的心的动动量矩定理量矩定理建立了外力与刚体在平移参考系内绕质心转动的关系。相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理 本讲稿第五页，共十九页 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 第第11章章 动量矩定理动量矩定理本讲稿第六页，共十九页 取质心
4、C为基点，其坐标为xC、yC，设D为刚体上任意一点，CD与x轴的夹角为,则刚体的位置可由xC、yC和确定。将刚体的运动分解为随随质质心心的的平平移移和绕绕质质心心的的转转动动两部分。当刚体具有质量对称面、且质量对称面平行于运动平面时，则在固连于质心的平移参考系中，刚体对质心的动量矩为xCyC 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 本讲稿第七页，共十九页 其中JC为刚体对通过质心C且与运动平面垂直的轴的转动惯量，为角速度。xCyC 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 当作用于刚体上的力系等价于质量对称面内的一个平面力系时，对刚体平面运动，应用质心运动定理质心运动定理和相对质心动量矩定理
5、相对质心动量矩定理，有 本讲稿第八页，共十九页这就是刚体平面运动的微分方程刚体平面运动的微分方程。或者 需要指出的是，如果上述投影方程中各式等号的左侧各项均恒等于零，则得到静力学中平面力系的平衡方程，即外力系的主矢、主矩均等于零。因此，质点系动量定理与动量矩定理，不但完全确定了刚体一般运动的动力学方程，而且还完成了对刚体平面运动的特例 平衡情形的静力学描述。刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 本讲稿第九页，共十九页 半径为 r 的匀质圆盘从静止开始，沿倾角为的斜面无滑动的滚下。试求：试求：试求：试求：1圆轮滚至任意位置时的质心加速度 aC ；2圆轮在斜面上不打滑的最小静摩擦因数。刚体平面
6、运动微分方程刚体平面运动微分方程 本讲稿第十页，共十九页aC 解：解：解：解：分析圆轮受力 圆轮作平面运动。根据刚体平面运动微分方程，有 FFN1确定圆轮质心的加速度 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 本讲稿第十一页，共十九页运动学补充关系 aCFFN（4）式代入（3）式，得 代入（1）式，得 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 本讲稿第十二页，共十九页 解：解：解：解：2确定圆轮在斜面上不滑动的 最小静摩擦因数 此即圆轮在斜面上不滑动的最小静摩擦因数。aCFFN 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 本讲稿第十三页，共十九页 均质杆AB长为l，放放置于铅垂平面内，杆一端A靠
7、在光滑的铅垂墙上，另一端B放在光滑的水平面上，与水平面的夹角为0。然后，令杆由静止状态滑下。求：求：杆在任意位置时的角加速度。刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 本讲稿第十四页，共十九页F FA AF FB Bm mg g解解：以杆为研究对象，杆作平面运动，分析其受力列出平面运动微分方程 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 式中有五个未知量 ，如果要求得全部未知量，还需两个运动学补充方程。显然，这一方法比较麻烦。本讲稿第十五页，共十九页 相相对对特特殊殊瞬瞬心心的的动动量量矩矩定定理理：平平面面运运动动过过程程中中，如如果果刚刚体体的的质质心心 C 到到速速度度瞬瞬心心 C*的的距
8、距离离保保持持不不变变，则则质质点点系系相相对对速速度度瞬瞬心心的的动动量量矩矩对对时时间间的的导导数数等等于于质质点点系系外外力力对对同同一一点点的主矩的主矩。即C*注意到杆的质心到速度瞬心的距离恒等于l/2，故可应用相对特殊瞬心的动量矩定理。这时，v vB Bv vA A 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 本讲稿第十六页，共十九页 对上式积分可以得到杆的角速度，进而可以比较方便地求出其余未知量。C*v vB Bv vA A 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 本讲稿第十七页，共十九页例例 两个重量为两个重量为P，半径为，半径为r的均匀圆盘（如图所示）的均匀圆盘（如图所示）,求：求：B物体滚下时质心的加速度与绳子张力物体滚下时质心的加速度与绳子张力。加速度加速度:绳子张力绳子张力:ABPPa aB BFFaB Ba aA A解：解：取轮取轮A研究对象研究对象取轮取轮B研究对象研究对象本讲稿第十八页，共十九页例例.一根筷子在光滑地面上，开始时手拿着如图示位置，然后松一根筷子在光滑地面上，开始时手拿着如图示位置，然后松手手,求：筷子此时的角加速度和地面的正压力。求：筷子此时的角加速度和地面的正压力。解解:条件条件:1.ax=0,2.t=0,w=0w=0。质心守恒质心守恒:c:y:xyP Fa al/2aca a本讲稿第十九页，共十九页