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1、理力动力学动量矩定理1 1本讲稿第一页，共六十五页第第十二十二章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理12-1质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩质点的动量矩质点的动量矩 质点质点质点质点Q的动量对于点的动量对于点O O的矩的矩的矩的矩,定义为质点对于点定义为质点对于点定义为质点对于点定义为质点对于点O O的的的的动量矩动量矩动量矩动量矩，记为，记为MMO O(m mv v)，单位：，单位：，单位：，单位：xy yz zO OAQAQ 质点质点质点质点Q Q的动量对于的动量对于z z轴的轴的轴的轴的矩定义为质点矩定义为质点矩定义为质点矩定义为质点对对对对z轴的动量轴的动量矩。矩。（代数
2、量）（代数量）（代数量）（代数量）本讲稿第二页，共六十五页第第第第 十二十二十二十二 章章章章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理质点系的动量矩质点系的动量矩 质点系对于某点质点系对于某点质点系对于某点质点系对于某点 O O 的动量矩矢在通过该点的的动量矩矢在通过该点的的动量矩矢在通过该点的的动量矩矢在通过该点的 z z 轴轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。12-112-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩m1mnmim3m2x xz zy yO Oviri本讲稿第三页，共六十五页z第第第第 十二十二
3、十二十二 章章章章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩令令令令12-112-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩miri 绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。转动惯量与转动角速度的乘积。转动惯量与转动角速度的乘积。转动惯量与转动角速度的乘积。刚体对刚体对刚体对刚体对z z轴的轴的轴的轴的转动惯量转动惯量转动惯量转动惯
4、量本讲稿第四页，共六十五页第第第第 十二十二十二十二 章章章章动量矩定理动量矩定理平动刚体对某定点的动量矩平动刚体对某定点的动量矩其中其中其中其中12-112-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 平动刚体平动刚体对某对某定点定点定点定点的动量矩可看作质量集中于质的动量矩可看作质量集中于质心的质点对该点的动量矩。心的质点对该点的动量矩。本讲稿第五页，共六十五页第第第第 十二十二十二十二 章章章章动量矩定理动量矩定理12-2动量矩定理动量矩定理质点的动量矩定理质点的动量矩定理xy yz zO OFAQ 质点对某质点对某质点对某质点对某定点定点定点定
5、点的动量矩的动量矩的动量矩的动量矩对时间的一阶导数，等于作对时间的一阶导数，等于作对时间的一阶导数，等于作对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。用力对同一点的矩。用力对同一点的矩。用力对同一点的矩。质点质点质点质点动量矩定理动量矩定理本讲稿第六页，共六十五页第第第第 十二十二十二十二 章章章章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理质点的动量矩定理质点的动量矩定理xy yz zO OF FAQ12-212-2 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理的投影式：动量矩定理的投影式：动量矩定理的投影式：动量矩定理的投影式：本讲稿第七页，共六十五页第第十二十二章章 动量矩定理动量矩定
6、理动量矩定理动量矩定理质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理12-212-2 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理 质点系对于某质点系对于某定点定点定点定点O O的动量矩对时间的导数，等于作的动量矩对时间的导数，等于作的动量矩对时间的导数，等于作的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。质点系动量矩定理质点系动量矩定理质点系动量矩定理质点系动量矩定理本讲稿第八页，共六十五页第第第第 十二十二十二十二 章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理
7、质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理12-212-2 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理质点系动量矩定理的投影式：质点系动量矩定理的投影式：质点系动量矩定理的投影式：质点系动量矩定理的投影式：9本讲稿第九页，共六十五页高炉运送矿石用的卷扬机如高炉运送矿石用的卷扬机如高炉运送矿石用的卷扬机如高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓轮的半径为图所示。已知鼓轮的半径为图所示。已知鼓轮的半径为图所示。已知鼓轮的半径为R R，质量为质量为质量为质量为m m1 1，轮绕，轮绕，轮绕，轮绕O O轴转动。小轴转动。小轴转动。小轴转动。小车和矿石总质量为车和矿石总质量为车和矿石总质量为车和矿石总质量为m m
8、2 2。作用。作用。作用。作用在鼓轮上的力偶矩为在鼓轮上的力偶矩为在鼓轮上的力偶矩为在鼓轮上的力偶矩为MM，鼓轮，鼓轮，鼓轮，鼓轮对转轴的转动贯量为对转轴的转动贯量为对转轴的转动贯量为对转轴的转动贯量为J J，轨道的，轨道的，轨道的，轨道的倾角为倾角为倾角为倾角为。设绳的质量和各处。设绳的质量和各处。设绳的质量和各处。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小车的加摩擦均忽略不计，求小车的加摩擦均忽略不计，求小车的加摩擦均忽略不计，求小车的加速度速度速度速度a a。O OMM WW1 1v vWW2 2F FN N例例 题题 12-112-1&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量
9、矩定理动量矩定理动量矩定理10本讲稿第十页，共六十五页 取取取取小小小小车车车车与与与与鼓鼓鼓鼓轮轮轮轮组组组组成成成成质质质质点点点点系系系系，视视视视小小小小车车车车为为为为质质质质点点点点。以顺时针为正，此质点系对以顺时针为正，此质点系对以顺时针为正，此质点系对以顺时针为正，此质点系对O O轴的动量矩为轴的动量矩为轴的动量矩为轴的动量矩为作作作作用用用用于于于于质质质质点点点点系系系系的的的的外外外外力力力力除除除除力力力力偶偶偶偶MM，重重重重力力力力WW1 1和和和和WW2 2外外外外，尚尚尚尚有有有有轴轴轴轴承承承承O O的的的的反反反反力力力力F FOxOx和和和和F FOyOy
10、，轨轨轨轨道道道道对对对对小小小小车车车车的的的的约约约约束束束束力力力力F FNN。O OMM WW1 1F FOxOxF FOyOyv vWW2 2WW2N2NWW2 2t tF FN N解：解：解：解：而而而而而而W WW2t 2t2t=P PP2 22sinsinsin =m mm2 22gsingsingsin ，则系统外力对，则系统外力对，则系统外力对，则系统外力对，则系统外力对，则系统外力对O OO轴的矩为轴的矩为轴的矩为轴的矩为轴的矩为轴的矩为 其其其其中中中中WW1 1，F FOxOx，F FOyOy对对对对O O轴轴轴轴力力力力矩矩矩矩为为为为零零零零。将将将将WW2 2沿
11、沿沿沿轨轨轨轨道道道道及及及及其其其其垂垂垂垂直直直直方方方方向向向向分分分分解解解解为为为为WW2t2t和和和和WW2N2N，WW2N2N与与与与F FN N相抵消。相抵消。相抵消。相抵消。例例例例 题题题题 12-112-1&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理11本讲稿第十一页，共六十五页由质点系对由质点系对由质点系对由质点系对O O轴的动量矩定理，有轴的动量矩定理，有轴的动量矩定理，有轴的动量矩定理，有 因因因因，于是解得，于是解得，于是解得，于是解得 若若若若，则，则，则，则,小车的加速度沿斜坡向上。小车的加速度沿斜坡向上。小车的加速度沿
12、斜坡向上。小车的加速度沿斜坡向上。O OMM WW1 1F FOxOxF FOyOyv vWW2 2WW2N2NWW2 2t tF FN N例例例例 题题题题 12-1&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理12本讲稿第十二页，共六十五页两个鼓轮固连在一起，其总质量是两个鼓轮固连在一起，其总质量是两个鼓轮固连在一起，其总质量是两个鼓轮固连在一起，其总质量是 m m，对水平转轴，对水平转轴，对水平转轴，对水平转轴 O O的转动惯量是的转动惯量是的转动惯量是的转动惯量是 J JO O ；鼓轮的半径是鼓轮的半径是鼓轮的半径是鼓轮的半径是 r r1 1 和和
13、和和 r r2 2。绳端悬挂的重物绳端悬挂的重物绳端悬挂的重物绳端悬挂的重物 A A和和和和 B B 质量分别是质量分别是质量分别是质量分别是 m m1 1 和和和和 m m2 2(图图图图a)a)，且且且且 m m1 1 m m2 2。试求鼓轮的角加速度。试求鼓轮的角加速度。试求鼓轮的角加速度。试求鼓轮的角加速度。OABr1r2(a)例例例例 题题题题 12-212-2&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理13本讲稿第十三页，共六十五页例例 题题 12-212-2&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理
14、14本讲稿第十四页，共六十五页解解解解:取鼓轮，重物取鼓轮，重物取鼓轮，重物取鼓轮，重物 A A,B B 和绳索为研究对象和绳索为研究对象和绳索为研究对象和绳索为研究对象(图图图图b)b)。对鼓轮的转轴。对鼓轮的转轴。对鼓轮的转轴。对鼓轮的转轴 z z(垂直于图面，垂直于图面，垂直于图面，垂直于图面，指向读者指向读者指向读者指向读者)应用动量矩定理，有应用动量矩定理，有应用动量矩定理，有应用动量矩定理，有OABr1r2(b)v v1 1v v2 2m m1 1g gm m0 0g gm m2 2g gF F0 0y系统的动量矩由三部分组成，等于系统的动量矩由三部分组成，等于系统的动量矩由三部分
15、组成，等于系统的动量矩由三部分组成，等于考虑到考虑到考虑到考虑到 v v11=r r1 1 ，v v22=r r2 2 ，则得则得则得则得外力主矩仅由重力外力主矩仅由重力外力主矩仅由重力外力主矩仅由重力 m m1 1g g 和和和和 mm2 2g g 产生，有产生，有产生，有产生，有例例例例 题题题题 12-212-2&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理15本讲稿第十五页，共六十五页将表达式将表达式将表达式将表达式(b)(b)和和和和(c)(c)代入方程代入方程代入方程代入方程(a)(a)，即得即得即得即得从而求出鼓轮的角加速度从而求出鼓轮的角加
16、速度从而求出鼓轮的角加速度从而求出鼓轮的角加速度方向为逆钟向。方向为逆钟向。方向为逆钟向。方向为逆钟向。OABr1r2(b)v v1 1v v2 2m m1 1g gm m0 0g gm m2 2g gF F0 0y例例例例 题题题题 12-212-2&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理16本讲稿第十六页，共六十五页第第第第 十二十二十二十二 章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩守恒定理动量矩守恒定理12-212-2 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理本讲稿第十七页，共六十五页18本讲稿第十八页，共六十五页19本讲稿第十九页，共六十五页20本
17、讲稿第二十页，共六十五页21本讲稿第二十一页，共六十五页22本讲稿第二十二页，共六十五页23本讲稿第二十三页，共六十五页 摩摩摩摩擦擦擦擦离离离离合合合合器器器器靠靠靠靠接接接接合合合合面面面面的的的的摩摩摩摩擦擦擦擦进进进进行行行行传传传传动动动动。在在在在接接接接合合合合前前前前，已已已已知知知知主主主主动动动动轴轴轴轴 1 1 以以以以角角角角速速速速度度度度 0 0转转转转动动动动，而而而而从从从从动动动动轴轴轴轴 2 2 处处处处于于于于静静静静止止止止(图图图图a a)。一一一一经经经经结结结结合合合合，轴轴轴轴 1 1 的的的的转转转转速速速速迅迅迅迅速速速速减减减减慢慢慢慢，轴
18、轴轴轴 2 2 的的的的转转转转速速速速迅迅迅迅速速速速加加加加快快快快，两两两两轴轴轴轴最最最最后后后后以以以以共共共共同同同同角角角角速速速速度度度度 转转转转动动动动(图图图图b b)。已已已已知知知知轴轴轴轴 1 1 和和和和轴轴轴轴 2 2 连连连连同同同同各各各各自自自自的的的的附附附附件件件件对对对对转转转转轴轴轴轴的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量分分分分别别别别是是是是 J J1 1 和和和和 J J2 2，试试试试求求求求接接接接合合合合后后后后的的的的共共共共同同同同角角角角速速速速度度度度 ，轴轴轴轴承承承承的的的的摩摩摩摩擦不计。擦不计。擦不计。擦不计。0 01
19、221(a)(b)例例例例 题题题题 12-312-3&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理24本讲稿第二十四页，共六十五页例例例例 题题题题 12-312-3&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理25本讲稿第二十五页，共六十五页解：解：解：解：取取取取轴轴轴轴1 1和和和和轴轴轴轴2 2组组组组成成成成的的的的系系系系统统统统作作作作为为为为研研研研究究究究对对对对象象象象。接接接接合合合合时时时时作作作作用用用用在在在在两两两两轴轴轴轴的的的的外外外外力力力力对对对对公公公公共共共共转转转转轴轴轴轴
20、的的的的矩矩矩矩都都都都等等等等于零。故系统对转轴的总动量矩不变。接合前，系统的动量矩是于零。故系统对转轴的总动量矩不变。接合前，系统的动量矩是于零。故系统对转轴的总动量矩不变。接合前，系统的动量矩是于零。故系统对转轴的总动量矩不变。接合前，系统的动量矩是(J J1 1 0 0+J+J2 2 0 0)。离合器接合后，系统的动量矩是离合器接合后，系统的动量矩是离合器接合后，系统的动量矩是离合器接合后，系统的动量矩是(J J11+J J2 2)。故由动量矩守恒定律得故由动量矩守恒定律得故由动量矩守恒定律得故由动量矩守恒定律得从而求得结合后的共同角速度从而求得结合后的共同角速度从而求得结合后的共同角
21、速度从而求得结合后的共同角速度显然显然显然显然 的转向与的转向与的转向与的转向与 00相同。相同。相同。相同。0 01221(a)(b)例例例例 题题题题 12-3&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理26本讲稿第二十六页，共六十五页 小小小小球球球球A A，B B以以以以细细细细绳绳绳绳相相相相连连连连。质质质质量量量量皆皆皆皆为为为为m m，其其其其余余余余构构构构件件件件质质质质量量量量不不不不计计计计。忽忽忽忽略略略略摩摩摩摩擦擦擦擦，系系系系统统统统绕绕绕绕z z轴轴轴轴自自自自由由由由转转转转动动动动，初初初初始始始始时时时时系系系系统
22、统统统的的的的角角角角速速速速度度度度为为为为 0 0。当当当当细细细细绳绳绳绳拉拉拉拉断断断断后后后后，求求求求各各各各杆杆杆杆与与与与铅铅铅铅垂垂垂垂线线线线成成成成 角角角角时时时时系系系系统统统统的的的的角角角角速速速速度度度度 。0 0z za aa al ll lA AB B z za aa a l ll lA AB B例例例例 题题题题 12-412-4&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理27本讲稿第二十七页，共六十五页例例例例 题题题题 12-412-4&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量
23、矩定理28本讲稿第二十八页，共六十五页此系统所受的重力和轴承的约束力对于此系统所受的重力和轴承的约束力对于此系统所受的重力和轴承的约束力对于此系统所受的重力和轴承的约束力对于转轴的矩都等于零，因此系统对于转轴的动转轴的矩都等于零，因此系统对于转轴的动转轴的矩都等于零，因此系统对于转轴的动转轴的矩都等于零，因此系统对于转轴的动量矩守恒。量矩守恒。量矩守恒。量矩守恒。当当当当=0=0时，动量矩时，动量矩时，动量矩时，动量矩 当当当当 0 0时，动量矩时，动量矩时，动量矩时，动量矩 因为因为因为因为 L Lz z1 1=L Lz z22，得，得，得，得 解解解解:z za aa a l ll lA
24、AB B 0 0z za aa al ll lA AB B例例例例 题题题题 12-412-4&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理29本讲稿第二十九页，共六十五页第第第第 十二十二十二十二 章章章章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理12-3刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程刚刚刚刚体体体体绕绕绕绕定定定定轴轴轴轴转转转转动动动动微微微微分分分分方方方方程程程程zmiriF1F2FN1F3FN2 刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的刚体转
25、动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度难易程度难易程度难易程度转动惯性转动惯性转动惯性转动惯性本讲稿第三十页，共六十五页 已已已已知知知知电电电电机机机机产产产产生生生生的的的的转转转转矩矩矩矩 MMO O 与与与与其其其其角角角角速速速速度度度度 的的的的关关关关系系系系为为为为 MMO O =MMO O1 1(1(1 /1 1)，其其其其中中中中 MMO O1 1 表表表表示示示示电电电电机机机机的的的的启启启启动动动动转转转转矩矩矩矩,1 1表表表表示示示示电电电电机机机机无无无无负负负负载载载载时时时时的的的的空空空空转转转转角角角角速速速速度度度度，且且且且 MMO O1 1
26、和和和和 1 1 都都都都是是是是已已已已知知知知常常常常量量量量。又又又又作作作作用用用用在在在在飞飞飞飞轮轮轮轮上上上上的的的的阻阻阻阻力力力力矩矩矩矩 MMF F 可可可可以以以以认认认认为为为为不不不不变变变变。电电电电机机机机轴轴轴轴连连连连同同同同其其其其上上上上的的的的飞飞飞飞轮轮轮轮对对对对轴轴轴轴 O O 的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量是是是是J JO O。试试试试求求求求当当当当 MMO O MMF F时电机启动后角速度时电机启动后角速度时电机启动后角速度时电机启动后角速度 随时间随时间随时间随时间 t t 而变化的规律。而变化的规律。而变化的规律。而变化的规律。
27、MFMOOO例例例例 题题题题 12-512-5&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理31本讲稿第三十一页，共六十五页解解解解:转转转转动动动动部部部部分分分分所所所所受受受受的的的的外外外外力力力力矩矩矩矩有有有有电电电电机机机机转转转转矩矩矩矩 MMO O 和和和和阻阻阻阻力矩力矩力矩力矩 MMF F，故电机的转动微分方程可写成，故电机的转动微分方程可写成，故电机的转动微分方程可写成，故电机的转动微分方程可写成WFxFyMrMOO令令令令则上式简写成则上式简写成则上式简写成则上式简写成例例例例 题题题题 12-512-5&例题例题第十二章第十二
28、章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理32本讲稿第三十二页，共六十五页由题意由题意由题意由题意 MMO O MMF F 知，知，知，知，b b c c 00，故飞轮作加速转动。，故飞轮作加速转动。，故飞轮作加速转动。，故飞轮作加速转动。上式可分离变量而化为求积，有上式可分离变量而化为求积，有上式可分离变量而化为求积，有上式可分离变量而化为求积，有由此得由此得由此得由此得WFxFyMrMOO即即即即例例例例 题题题题 12-512-5&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理33本讲稿第三十三页，共六十五页最后求得飞轮角速度的变化规
29、律最后求得飞轮角速度的变化规律最后求得飞轮角速度的变化规律最后求得飞轮角速度的变化规律可见，飞轮角速度将逐渐增大。当可见，飞轮角速度将逐渐增大。当可见，飞轮角速度将逐渐增大。当可见，飞轮角速度将逐渐增大。当 t t时，上式括号时，上式括号时，上式括号时，上式括号内的第二项趋近于零。这时飞轮将以极限角速度内的第二项趋近于零。这时飞轮将以极限角速度内的第二项趋近于零。这时飞轮将以极限角速度内的第二项趋近于零。这时飞轮将以极限角速度 转动，且转动，且转动，且转动，且如不加负载，即阻力矩如不加负载，即阻力矩如不加负载，即阻力矩如不加负载，即阻力矩 MMFF=0=0，则，则=1 1。WFxFyMrMOO
30、例例例例 题题题题 12-5&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理34本讲稿第三十四页，共六十五页复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已知复摆的质量是复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已知复摆的质量是复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已知复摆的质量是复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已知复摆的质量是 m m，重心，重心，重心，重心 C C 到转轴到转轴到转轴到转轴 O O 的距离的距离的距离的距离 OCOC =b b，复摆对转轴，复摆对转轴，复摆对转轴，复摆对转轴 O O 的转动惯量是的转动惯量是的转动惯量是的转动惯量是J JO O ，设摆动开始时，设摆动开
31、始时，设摆动开始时，设摆动开始时 OCOC 与铅直线的偏角是与铅直线的偏角是与铅直线的偏角是与铅直线的偏角是 0 0，且复摆的初角速度且复摆的初角速度且复摆的初角速度且复摆的初角速度为零，试求复摆的微幅摆动规律。轴承摩擦和空气阻力不为零，试求复摆的微幅摆动规律。轴承摩擦和空气阻力不为零，试求复摆的微幅摆动规律。轴承摩擦和空气阻力不为零，试求复摆的微幅摆动规律。轴承摩擦和空气阻力不计。计。计。计。OCb例例例例 题题题题 12-612-6&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理35本讲稿第三十五页，共六十五页解解解解:受力如图所示。当复摆对于铅直线成偏
32、角受力如图所示。当复摆对于铅直线成偏角受力如图所示。当复摆对于铅直线成偏角受力如图所示。当复摆对于铅直线成偏角 时，只有重力时，只有重力时，只有重力时，只有重力 对悬轴对悬轴对悬轴对悬轴 Oz Oz 产产产产生恢复力矩。生恢复力矩。生恢复力矩。生恢复力矩。MMMOzOzOz=mgbmgbmgbsinsinsin 根据刚体绕定轴转动的微分方程有根据刚体绕定轴转动的微分方程有根据刚体绕定轴转动的微分方程有根据刚体绕定轴转动的微分方程有OCbF1F2m mg g从而从而从而从而当复摆作微小摆动时，可令当复摆作微小摆动时，可令当复摆作微小摆动时，可令当复摆作微小摆动时，可令 sinsin 。于是上式经
33、过线性化后，可得复摆微幅。于是上式经过线性化后，可得复摆微幅。于是上式经过线性化后，可得复摆微幅。于是上式经过线性化后，可得复摆微幅摆动的微分方程摆动的微分方程摆动的微分方程摆动的微分方程这是简谐运动的标准微分方程。可见复摆的微幅振动也是简谐运动。这是简谐运动的标准微分方程。可见复摆的微幅振动也是简谐运动。这是简谐运动的标准微分方程。可见复摆的微幅振动也是简谐运动。这是简谐运动的标准微分方程。可见复摆的微幅振动也是简谐运动。例例例例 题题题题 12-612-6&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理36本讲稿第三十六页，共六十五页则复摆运动规律可写成
34、则复摆运动规律可写成则复摆运动规律可写成则复摆运动规律可写成摆动的频率摆动的频率摆动的频率摆动的频率 0 0 和周期和周期和周期和周期 T T 分别是分别是分别是分别是利用关系利用关系利用关系利用关系(b b)可以测定刚体的转动惯量。为此，把刚体做成复摆并用试可以测定刚体的转动惯量。为此，把刚体做成复摆并用试可以测定刚体的转动惯量。为此，把刚体做成复摆并用试可以测定刚体的转动惯量。为此，把刚体做成复摆并用试验测出它的摆动周期验测出它的摆动周期验测出它的摆动周期验测出它的摆动周期T T，然后由，然后由，然后由，然后由(b b)式求得转动惯量式求得转动惯量式求得转动惯量式求得转动惯量考虑到复摆运动
35、的初条件考虑到复摆运动的初条件考虑到复摆运动的初条件考虑到复摆运动的初条件:当当当当 t t=0=0时时时时OCbF1F2m mg g例例例例 题题题题 12-612-6&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理37本讲稿第三十七页，共六十五页第第第第 十二十二十二十二 章章章章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理12-4刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量简单形状物体的转动惯量计算简单形状物体的转动惯量计算l l质量离散分布质量离散分布l l质量连续分布质量连续分布 均质细直杆均质细直杆均质细直杆均质细直杆均质薄圆环均质薄圆环均质薄圆环均质薄圆
36、环均质圆板均质圆板均质圆板均质圆板相相对对于于转转轴轴本讲稿第三十八页，共六十五页第第十二十二章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理回转半径（惯性半径）回转半径（惯性半径）12-412-4 刚体对转轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量本讲稿第三十九页，共六十五页形状形状简简图图转动惯量转动惯量惯性半径惯性半径体体积积细细直直杆杆圆圆柱柱薄薄壁壁圆圆筒筒常见均质物体的转动惯量和回转半径常见均质物体的转动惯量和回转半径40本讲稿第四十页，共六十五页空空心心圆圆柱柱薄薄壁壁空空心心球球实实心心球球41本讲稿第四十一页，共六十五页圆圆锥锥体体圆圆环环椭椭圆圆形
37、形薄薄板板42本讲稿第四十二页，共六十五页立立方方体体矩矩形形薄薄板板43本讲稿第四十三页，共六十五页第第第第 十二十二十二十二 章章章章 动量矩定理动量矩定理平行轴定理平行轴定理12-412-4 刚体对转轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量rr1dyy1x=xx=x1 1z=zz=z1 1m 刚体对于任意轴的转动惯量刚体对于任意轴的转动惯量刚体对于任意轴的转动惯量刚体对于任意轴的转动惯量,等于刚体对于通过等于刚体对于通过等于刚体对于通过等于刚体对于通过质心质心质心质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质
38、量与两轴并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方的乘积。间距离的平方的乘积。间距离的平方的乘积。间距离的平方的乘积。证明：证明：证明：证明：Oxyzz1Cx1质心质心质心质心 C C 坐标坐标坐标坐标本讲稿第四十四页，共六十五页第第第第 十二十二十二十二 章章章章 动量矩定理动量矩定理12-5质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩质点系相对于质心的动量矩m mi iv vi iv vC Cv viCiCv vC Cr ri i xxy yz zC C 平面运动刚体：平面运动刚体：平面运
39、动刚体：平面运动刚体：本讲稿第四十五页，共六十五页第第第第 十二十二十二十二 章章章章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理质点系相对于某定点的动量矩质点系相对于某定点的动量矩12-512-5 质点系相对于质心的动量质点系相对于质心的动量质点系相对于质心的动量质点系相对于质心的动量矩定理矩定理矩定理矩定理v viCiCv vC Cv vi iv vC Cm mi i r rC Cr ri i r ri ixxy yz zx xy yz zC CO O本讲稿第四十六页，共六十五页第第第第 十二十二十二十二 章章章章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理质点系相
40、对于质心的动量矩定理12-512-5 质点系相对于质心的动质点系相对于质心的动质点系相对于质心的动质点系相对于质心的动量矩定理量矩定理量矩定理量矩定理v viCiCv vC Cv vi iv vC Cm mi i r rC Cr ri i r ri ixxy yz zx xy yz zC CO O 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。等于作用于质点系的外力对质心的主矩。等于作用于质点系的外力对质心的主矩。等于作用于质点系的外力对质心的主矩。质点
41、系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理本讲稿第四十七页，共六十五页第第十二十二章章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理12-6刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程或：或：或：或：平面运动刚体：平面运动刚体：平面运动刚体：平面运动刚体：由质心运动定理及对于质心的动量矩定理由质心运动定理及对于质心的动量矩定理由质心运动定理及对于质心的动量矩定理由质心运动定理及对于质心的动量矩定理刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程本讲稿第四十八页，共六十五页匀质圆柱的质量是匀质圆柱的质量是匀质圆柱的质量是匀质圆柱的质量是
42、m m ，半径是半径是半径是半径是 r r，从静止开始沿倾角是从静止开始沿倾角是从静止开始沿倾角是从静止开始沿倾角是 的固的固的固的固定斜面向下滚动而不滑动，斜面与圆柱的静摩擦系数是定斜面向下滚动而不滑动，斜面与圆柱的静摩擦系数是定斜面向下滚动而不滑动，斜面与圆柱的静摩擦系数是定斜面向下滚动而不滑动，斜面与圆柱的静摩擦系数是 f fs s。试求。试求。试求。试求圆柱质心圆柱质心圆柱质心圆柱质心 C C 的加速度，以及保证圆柱滚动而不滑动的条件。的加速度，以及保证圆柱滚动而不滑动的条件。的加速度，以及保证圆柱滚动而不滑动的条件。的加速度，以及保证圆柱滚动而不滑动的条件。xyOCAFNFmga a
43、C C例例例例 题题题题 12-712-7&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理49本讲稿第四十九页，共六十五页平移平移平移平移纯滚动纯滚动纯滚动纯滚动连滚带滑连滚带滑连滚带滑连滚带滑例例例例 题题题题 12-7&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理50本讲稿第五十页，共六十五页解解解解:圆柱在图示力作用下由静止开始作平面运动。令它的铅直对称面重合于坐标平面圆柱在图示力作用下由静止开始作平面运动。令它的铅直对称面重合于坐标平面圆柱在图示力作用下由静止开始作平面运动。令它的铅直对称面重合于坐标平面圆柱在图
44、示力作用下由静止开始作平面运动。令它的铅直对称面重合于坐标平面 Oxy Oxy，轴，轴，轴，轴 x x 沿斜面向下，则有沿斜面向下，则有沿斜面向下，则有沿斜面向下，则有圆柱平面运动的三个微分方程可写成圆柱平面运动的三个微分方程可写成圆柱平面运动的三个微分方程可写成圆柱平面运动的三个微分方程可写成xyOCAFNFmga aC CmamamaC CC=mgmgmgsinsinsin F F F(a)(a)(a)0=0=0=F F FN NNmgmgmgcoscoscos (b)(b)(b)J J JC C C =Fr Fr Fr(c)(c)(c)由于圆柱只滚动而不滑动，故有运动学关系由于圆柱只滚动
45、而不滑动，故有运动学关系由于圆柱只滚动而不滑动，故有运动学关系由于圆柱只滚动而不滑动，故有运动学关系a a aCCC=r r r （ddd）例例例例 题题题题 12-712-7&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理51本讲稿第五十一页，共六十五页当圆柱只滚不滑时，滑动摩擦力必须满足当圆柱只滚不滑时，滑动摩擦力必须满足当圆柱只滚不滑时，滑动摩擦力必须满足当圆柱只滚不滑时，滑动摩擦力必须满足 F F f fs sF FN N，代入代入代入代入求出的求出的求出的求出的 F F，和和和和 F FNN，则得，则得，则得，则得从而求得圆柱滚动而不滑动的条件从而
46、求得圆柱滚动而不滑动的条件从而求得圆柱滚动而不滑动的条件从而求得圆柱滚动而不滑动的条件联立求解以上四个方程，并考虑到联立求解以上四个方程，并考虑到联立求解以上四个方程，并考虑到联立求解以上四个方程，并考虑到 J JC C=mrmr2 2/2/2，就得到，就得到，就得到，就得到a aC C=2=2g gsinsin /3,/3,F FN N=mgmgcoscos,F F=mgmgsinsin /3/3xyOCAFNFmga aC Ctantan 33f fs s 例例 题题 12-7&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理52本讲稿第五十二页，共六十五
47、页 匀匀匀匀质质质质细细细细杆杆杆杆 ABAB 的的的的质质质质量量量量是是 m m，长长长长度度度度是是是是 2 2l l，放放放放在在在在铅铅铅铅直直直直面面面面内内内内，两两两两端端端端分分分分别别别别沿沿沿沿光光光光滑滑滑滑的的的的铅铅铅铅直直直直墙墙墙墙壁壁壁壁和和和和光光光光滑滑滑滑的的的的水水水水平平平平地地地地面面面面滑滑滑滑动动动动。假假假假设设设设杆杆杆杆的的的的初初初初位位位位置置置置与与与与墙墙墙墙成成成成交交交交角角角角 0 0，初初初初角角角角速速速速度度度度等等等等于于于于零零零零；试试试试求求求求杆杆杆杆沿沿沿沿铅铅铅铅直直直直墙墙墙墙壁壁壁壁下下下下滑滑滑滑时
48、时时时的的的的角角角角速速速速度度度度 和和和和角角角角加加加加速速速速度度度度 以以以以及及及及杆杆杆杆开开开开始始始始脱脱脱脱离离离离墙墙墙墙壁壁壁壁时时时时它它它它与与与与墙墙墙墙壁壁壁壁所所所所成成成成的的的的角度角度角度角度 1 1。xyOABCyx例例例例 题题题题 12-812-8&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理53本讲稿第五十三页，共六十五页例例 题题 12-8&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理54本讲稿第五十四页，共六十五页解解解解:在在在在 A A 端脱离墙壁以前，受力如图
49、所示。杆作平面运动，端脱离墙壁以前，受力如图所示。杆作平面运动，端脱离墙壁以前，受力如图所示。杆作平面运动，端脱离墙壁以前，受力如图所示。杆作平面运动，取坐标系取坐标系取坐标系取坐标系 Oxy Oxy，则杆的运动微分方程可写成则杆的运动微分方程可写成则杆的运动微分方程可写成则杆的运动微分方程可写成xyOFAFBmgCvABCyx由几何关系知由几何关系知由几何关系知由几何关系知例例 题题 12-812-8&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理55本讲稿第五十五页，共六十五页将式将式将式将式(d)(d)和和和和(e)(e)对时间求导，得对时间求导，得对
50、时间求导，得对时间求导，得把把把把(f)(f)和和和和(g)(g)分别代入分别代入分别代入分别代入(a)(a)和和和和(b)(b)，再把，再把，再把，再把 F FA A 和和和和 F FB B 的值代入的值代入的值代入的值代入(c)(c)最后得杆最后得杆最后得杆最后得杆 AB AB 的角加速度的角加速度的角加速度的角加速度xyOFAFBmgCvABCyx例例例例 题题题题 12-812-8&例题例题第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理56本讲稿第五十六页，共六十五页利用关系利用关系利用关系利用关系把上式化成积分把上式化成积分把上式化成积分把上式化成积分求得