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1、 引言 全国科技大会上指出：全国科技大会上指出：“创创新新是是一一个个民民族族进进步步的的灵灵魂魂，是是国国家家兴兴旺旺发发达达的的不不竭竭动动力力。一一个个没有创新能力的没有创新能力的民族难于屹立于世界民族之林。民族难于屹立于世界民族之林。”“建立创新型国家。建立创新型国家。”第1页/共114页 教育部的一个报告指出：教育部的一个报告指出：“实实施施素素质质教教育育重重点点是是改改变变教教育育观观念念，尤尤其其是是要要以以培培养养学学生生的的创创新新意意识识和和创创造造精精神神为为主主。”第2页/共114页 恩格斯指出：恩格斯指出：“一一个个民民族族要要想想站站在在科科学学的的最最高高峰峰，
2、就就一一刻也不能没有理论思维。刻也不能没有理论思维。”创创造造性性人人才才的的创创造造活活动动是是在在相相应应的的创创造造性性思思维维的的支支配配下下，所所进进行行的的一一种种积积极极的的能能动动的的活活动动。创创造造性性思思维维是是一一切切创创造造活活动动的的核心和灵魂。核心和灵魂。第3页/共114页R培根培根指出：指出：“数学是打开科学大门的钥匙。数学是打开科学大门的钥匙。”HG格拉斯曼格拉斯曼说：说：“数数学学除除了了锻锻炼炼敏敏锐锐的的理理解解力力，发发现现真真理理外外，它它还还有有另另一一个个训训练练全全面面考考查查科科学学系系统统的头脑的开发功能。的头脑的开发功能。”NA考特考特认
3、为：认为：“数学是人类智慧王冠上最灿烂的明珠。数学是人类智慧王冠上最灿烂的明珠。”第4页/共114页KL米斯拉米斯拉指出：指出：“数数学学是是代代表表人人类类抽抽象象思思维维方方面面的最高成就和胜利。的最高成就和胜利。”著名的数学家著名的数学家A赛尔伯格赛尔伯格指出：指出：“数学的内容一定要重新斟酌。数学的内容一定要重新斟酌。应该增加一些涉及如何发现并令人应该增加一些涉及如何发现并令人振奋的内容。振奋的内容。”塞尔伯格第5页/共114页著名数学家著名数学家J JP P塞尔指出：塞尔指出：“关关于于学学生生，关关键键是是要要让让他他们们明明白白数数学学是是活活生生生生的的，而而不不是是僵僵死死的
4、的，讲讲数数学学的的传传统统方方法法有有个个缺缺陷陷，即即教教师师从从不不提提及及这这类类问问题题，这这很很可可惜惜。在在数数论论中中有有许许多多这这类类问问题题，十十几几岁岁的的孩孩子子就就能能很很好好地地理理解解它它们们：当当然然包包括括费费马马大大定定理理，还还有有哥哥德德巴巴赫赫猜猜想想，以以及及无无限限个个形形如如n n2 2+1+1的的素素数数的的存存在在性性。你你可可以以随随意意讲讲一一些些定定理理而而不不加证明加证明塞塞尔尔第6页/共114页 因此我认为：数学教学不但应该传授数学知识，还应该培养学生的创新思维。第7页/共114页 讲五个问题讲五个问题一、归纳思维一、归纳思维二、
5、类比思维二、类比思维三、发散思维三、发散思维四、逆（反）向思维四、逆（反）向思维五、（数学）猜想五、（数学）猜想 我将结合初等数学、高等数学和数学史上一些著名问题来讲我将结合初等数学、高等数学和数学史上一些著名问题来讲第8页/共114页一、归纳思维一、归纳思维 归纳是人类赖以发现真理的基本的、重要的思维方法。归纳是人类赖以发现真理的基本的、重要的思维方法。著名数学家拉普拉斯指出：著名数学家拉普拉斯指出：“分分析析和和自自然然哲哲学学中中许许多多重重大大的的发发现现，都都归归功功于于归归纳纳方方法法牛牛顿顿二二项项式式定定理理和和万万有有引引力力原原理理，就就是是归归纳纳方方法法的的成成果果。”
6、“在在数数学学里里，发现真理的主要工具和手段是归纳和类比。发现真理的主要工具和手段是归纳和类比。”著名数学家高斯曾说：著名数学家高斯曾说：“我的许多发现都是靠归纳取得的。我的许多发现都是靠归纳取得的。”第9页/共114页 著著名名数数学学家家沃沃利利斯斯说说：“我我把把（不不完完全全的的）归归纳纳和和类类比比当当作作一一种种很很好好的的考考察察方方法法，因因为为这这种种方方法法的的确确使使我我很很容容易易发现一般规律发现一般规律”第10页/共114页 归归纳纳是是在在通通过过多多种种手手段段（观观察察、实实验验、分分析析）对对许许多多个个别别事事物物的的经经验验认认识识的的基基础础上上，发发现
7、现其其规规律律，总总结结出出原原理理或或定定理理。归归纳纳是是从从观观察察到到一一类类事事物物的的部部分分对对象象具具有有某某一一属属性性，而而归归纳纳出出该该事事物物都都具具有有这这一一属属性性的的推推理理方方法法。或或者者说说，归归纳纳思思维维就就是是要要从从众众多多的的事事物物和和现现象象中中找找出出共共性性和和本质的东西的抽象化思维。本质的东西的抽象化思维。也也可可以以说说，归归纳纳是是在在相相似似中中发发现现规规律律，由由个别中发现一般。个别中发现一般。第11页/共114页 从从数数学学的的发发展展可可以以看看出出，许许多多新新的的数数学学概概念念、定定理理、法法则则、的的形形式式，
8、都都经经历历过过积积累累经经验验的的过过程程，从从大大量量观观察察、计计算算,然然后后归归纳纳出出其其共共性性和和本本质质的的东东西西，例如：哥德巴赫猜想，费马猜想，素数定理等。例如：哥德巴赫猜想，费马猜想，素数定理等。第12页/共114页归纳的方法哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想:3+7=10，3+17=20，13+17=303，7，13，17都是奇素数都是奇素数*。10，20，30都是偶数。都是偶数。是否两个奇素数之和都是偶数呢？是否两个奇素数之和都是偶数呢？这是显然的。但是（逆向思维）这是显然的。但是（逆向思维）任任何何一一个个偶偶数数，都都能能分分解解为为两两个个奇奇素素数数之之和吗？和吗？第
9、13页/共114页6=3+38=3+510=3+712=5+714=3+11=7+716=3+13=5+11这样下去总是对的吗？即这样下去总是对的吗？即任何一个大于任何一个大于4的偶数都是两个奇素数之和？的偶数都是两个奇素数之和？大于大于4的偶数的偶数=奇素数奇素数+奇素数？奇素数？（哥德巴赫猜想）（哥德巴赫猜想）第14页/共114页60=3+57（57=193，不是素数），不是素数）60=5+55（55=115，不是素数，不是素数)？！？！60=7+53（7和和53都是素数）都是素数）.一直到现在还没有一个人推翻它，但也一直到现在还没有一个人推翻它，但也还没有一个人证明它。还没有一个人证明它
10、。第15页/共114页哥哥德德巴巴赫赫提提出出这这个个问问题题时时，欧欧拉拉在在1742年年6月月30日日的的回回信信中中说说：他他相相信信这这个个猜猜想想，但但他他不不能能证证明明。于于是是引引起起了了很很多多人人研研究究它它，但但在在120年间，一直没有多大进展。年间，一直没有多大进展。直直到到20世世纪纪20年年代代，才才开开始始有有了了眉眉目目，挪挪威威数数学学家家布布朗朗（V.Brun）用用“筛筛法法”证证明明了了：任何一个大于任何一个大于4的偶数：的偶数：A=a1a2a9+b1b2b9,(9+9)其其中中ai,bi(i=1,2,39)都都是是素素数数，才才为为这这个个猜猜想想的证明
11、开辟了道路。的证明开辟了道路。第16页/共114页1924年年拉德马哈尔拉德马哈尔证明了（证明了（7+7）；）；1932年年爱斯尔曼爱斯尔曼证明了（证明了（6+6）；）；1938年年布赫斯塔勃布赫斯塔勃证明了（证明了（5+5）,1940年又证明了（年又证明了（4+4）；）；1956年年维诺格拉多夫维诺格拉多夫证明了（证明了（3+3）；）；1956年年王元王元证明了（证明了（3+4）；）；1957年年王元王元证明了（证明了（2+3）；）；1962年年潘承洞证明了（潘承洞证明了（1+5）；）；同年同年王、潘又证明了（王、潘又证明了（1+4）；）；第17页/共114页1965年年布赫斯塔勃、维诺格拉
12、多夫、庞比利证明了（布赫斯塔勃、维诺格拉多夫、庞比利证明了（1+3）；）；1966年年陈景润证明了（陈景润证明了（1+2）；）；(发表在发表在中国科学中国科学(1973.P.111-128)第18页/共114页1.吴文俊说：吴文俊说：哥德巴赫猜想是一场攻坚战和接力赛。哥德巴赫猜想是一场攻坚战和接力赛。2.解放后，华罗庚、闵嗣鹤在这一研究上奠定了基础。解放后，华罗庚、闵嗣鹤在这一研究上奠定了基础。3.王元王元1956年证得：大偶数年证得：大偶数=3+4；1957年又得出：大偶数年又得出：大偶数=2+3。4.潘承洞潘承洞1962年证得：大偶数年证得：大偶数=1+4。5.陈景润陈景润1966年证得：
13、大偶数年证得：大偶数=1+2；1972年潘、王、丁夏畦简化了陈的证明。年潘、王、丁夏畦简化了陈的证明。第19页/共114页苏步青说：苏步青说：要要想想取取得得1+1就就得得把把世世界界上上八八十十多多种种方方法法融融会贯通，博取众长。会贯通，博取众长。1998年年利利用用超超级级计计算算机机，验验证证这这个个猜猜想想对对于于每每一一个个小小于于41014的的偶偶数数都都是是正正确确的的。但但没没有有一一项项计计算算技技术术可可以以对对直直至至无无穷穷的的每每一一个个偶偶数数确确认认这这个个猜猜想想成成立立。关关键键是是要要找找出一个抽象严格的证明。出一个抽象严格的证明。这是数学向人类智慧的挑战
14、这是数学向人类智慧的挑战!第20页/共114页这这个个猜猜想想吸吸了了不不少少人人,2000年年3月月中中旬旬：英英国国一一家家出出版版社社悬悬赏赏100万万美美元元征征“哥哥德巴赫猜想德巴赫猜想”之解，时限两年之解，时限两年,截止日期定在截止日期定在2002年年3月月20日。日。(奖金比中国最高科学奖还高、奖金比中国最高科学奖还高、Nobel奖奖)第21页/共114页第22页/共114页二项式系数二项式系数(u+v)1=u+v(u+v)2=u2+2uv+v2(u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3(u+v)4=u4+4u3v+6u2v2+4uv3+v4(u+v)5=.(u+v)n=第23
15、页/共114页1 12 23 34 45 56 67 78 89 92 21 11 11 11 11 11 11 13 31 12 23 34 45 56 64 41 13 36 6101015155 51 14 4101020206 61 15 515157 71 16 68 81 19 9帕斯卡三角形帕斯卡三角形第24页/共114页1 12 23 34 45 56 67 78 89 92 21 11 11 11 11 11 11 13 31 12 23 34 45 56 64 41 13 36 6101015155 51 14 4101020206 61 15 515157 71 16 6
16、8 81 19 9帕斯卡三角形帕斯卡三角形第25页/共114页111121133114641151010511615201561宋宋朝朝数数学学家家杨杨辉辉1261年年写写的的详详解解九九章章算算法法*就就解解释释了了上上述述系系数数三三角角形形的的构构造造法法，并并说说贾宪用此术。贾宪用此术。杨辉三角形杨辉三角形第26页/共114页 科科尔尔莫莫哥哥洛洛夫夫在在我我是是如如何何成成为为数数学学家家中中说说：我我在在6、7岁岁时时我我已已经经感感受受到到数数学学归归纳纳发发现现的的乐乐趣趣，例例如如，我我注注意意到到下边的等式：下边的等式：他的这个发现，后来被刊登在他的这个发现，后来被刊登在春
17、燕春燕杂志上。杂志上。第27页/共114页问题：考察表问题：考察表 按照上述算例找出它们的一般规律，并用适当按照上述算例找出它们的一般规律，并用适当数学式子表示出来，而且试证明它。数学式子表示出来，而且试证明它。问题：下述结论是否成立？问题：下述结论是否成立？第28页/共114页在在高高等等数数学学中中，许许多多重重要要结结果果的的得得出出，都都用到了归纳思维。例如：用到了归纳思维。例如：求某一函数的求某一函数的n阶导数，通常的方法是求出阶导数，通常的方法是求出其一阶、二阶（有时还要求出其三阶、四阶）其一阶、二阶（有时还要求出其三阶、四阶）导数，再归纳出导数，再归纳出n阶导数的表达式。阶导数的
18、表达式。解解从而归纳出第29页/共114页解解因为因为因而归纳得到第30页/共114页二二、类比思维类比思维 著著名名日日本本物物理理学学家家、诺诺贝贝尔尔奖奖获获得得者者汤汤川川秀秀澍澍指指出出：“类类比比是是一一种种创创造造性性思思维维的的形形式式。”著著名名哲哲学学家家康康德德指指出出：“每每当当理理智智缺缺乏乏可可靠靠论论证证的的思思路路时时，类类比比这这个个方方法法往往往往能能指指引引我我们们前前进。进。”类比是根据两个（或多个）对象内部属性、关系的某些方类比是根据两个（或多个）对象内部属性、关系的某些方面相似，而推出它们在其它方面也可能相似的推理。面相似，而推出它们在其它方面也可能
19、相似的推理。简单地说，类比就是由简单地说，类比就是由此此去发现去发现彼彼（或由（或由彼彼去发现去发现此此）。）。第31页/共114页 类类比比为为人人们们思思维维过过程程提提供供了了更更广广阔阔的的“自自由由创创造造”的的天天地地，使使它它成成为为科科学学研研究究中中非非常常有有创创造造性性的的思思维维形形式式，从从而而受受到到了了很很多多著著名名科科学学家家的的重重视视与与青青睐睐。例例如：如：著著名名天天文文学学、数数学学家家开开普普勒勒说说：“我我珍珍视视类类比比胜胜于于任任何何别别的的东东西西，它它是是我我最最可可信信赖赖的的老老师师它它能能揭揭示示自自然然的的奥奥秘秘。”著名数学家、
20、教育学家波利亚著名数学家、教育学家波利亚说：说：“类比是一个伟大的引路人，类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题几何中的类比问题。”第32页/共114页在平面解析几何中直线的截距式是：在平面解析几何中直线的截距式是：在平面解析几何中在平面解析几何中,两点的距离是：两点的距离是：在空间解析几何中在空间解析几何中,两点的距离是：两点的距离是：在空间解析几何中平面的截距式是：在空间解析几何中平面的截距式是：第33页/共114页在平面解析几何中圆的方程是：在平面解析几何中圆的方程是：(x-a)2+(y-b)2=R2在空间解析几何中球面的方程
21、是在空间解析几何中球面的方程是:(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2等等。等等。第34页/共114页莱布尼茨公式莱布尼茨公式将将他他们们比比较较可可以以看看出出:把把中中右右端端K次次幂幂换换成成K阶阶导导数数(零零阶阶导导数数理理解解为为函函数数本本身身),把把中中u+v换换成成uv,n次次幂幂换换成成n阶阶导导数数既既为为.(拉拉格格朗朗日日17岁岁)牛顿二项式展开公式牛顿二项式展开公式第35页/共114页费马猜想费马猜想：X2+Y2=Z2的解：的解：X=3,Y=4,Z=5 Z=m2+n2 ,X=m2-n2 Y=2mn,m,n是任一整数，是任一整数，n2是否有正整数解？是否有正整
22、数解？第36页/共114页 ZZ=XX+YY52=32+42Z3=x3+Y3 (X,Y,Z 为正整数)=zxy+公元972年阿拉伯人阿尔科但第（Alkhodjidi)Zn=n+Yn(n2)(Wiles 1994)第37页/共114页欧拉猜想：欧拉猜想：下述方程没有整数解：下述方程没有整数解：没有人能够证明它是对的，但是在他提出这个猜想之后的200年内大家都相信它是正确的.但是在1998年，诺姆艾利克斯的举出一个反例：后来人们又发现了一个更简单的例子：今天我们能容易地用一个简单的程序寻找反例在没有计算机的年代，很难举出这样的反例！第38页/共114页多元函数与单元函数多元函数与单元函数 在在学学
23、习习多多元元函函数数的的微微分分学学和和积积分分学学时时，应应注注意意与与已已经经学学习习过过的的一一元元函函数数的微积分相应的概念、理论、方法进行类比。例如：的微积分相应的概念、理论、方法进行类比。例如：第39页/共114页 特别应该将牛顿特别应该将牛顿莱布尼茨公式、格林莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式进行类比。公式、高斯公式、斯托克斯公式进行类比。若将牛顿若将牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 视为，它建立了一元函数视为，它建立了一元函数f f(x)在一个区间的在一个区间的定定积积分分与与其其原原函函数数F F(x)在在区区间间边边界界的的值值之之间间的的联系；联系；第40页/共1
24、14页通过类比，就可将格林公式通过类比，就可将格林公式 视为，它建立了二元函数在一个平面区域视为，它建立了二元函数在一个平面区域D上上的的二二重重积积分分与与其其“原原函函数数”在在区区域域边边界界L L的的曲线积分之间的联系；曲线积分之间的联系；第41页/共114页通过类比，就可将高斯公式通过类比，就可将高斯公式 视视为为，它它建建立立了了三三元元函函数数在在一一个个空空间间区区域域 上上的的三三重重积积分分与与其其“原原函函数数”在在区区域域边边界界曲面曲面S S上的曲面积分之间的联系；上的曲面积分之间的联系；第42页/共114页通过类比，就可将斯托克斯公式通过类比，就可将斯托克斯公式 视
25、为，它建立了三元函数在一个空间曲面视为，它建立了三元函数在一个空间曲面S S上的曲面积分与其上的曲面积分与其“原函数原函数”在区域边界曲线在区域边界曲线L L上上的曲线积分之间的联系。的曲线积分之间的联系。第43页/共114页 若引入若引入“外微分运算外微分运算”，就可将格林公，就可将格林公式、高斯公式和斯托克斯公式都看作牛顿式、高斯公式和斯托克斯公式都看作牛顿-莱布尼茨公式的高维推广莱布尼茨公式的高维推广.并都可以用一个并都可以用一个简单的形式统一表示为简单的形式统一表示为第44页/共114页 实实践践证证明明：在在学学习习过过程程中中，将将新新内内容容与与自自己己已已经经熟熟悉悉的的知知识
26、识。进进行行类类比比，不不但但易易于于接接受受、理理解解、掌掌握握新新知知识识，更更重重要要的的是是：培培养养、锻锻炼炼了了自自己己的的类类比比思思维维，有利于开发自己的有利于开发自己的创造力创造力。（费马猜想）。（费马猜想）第45页/共114页三、三、发散思维发散思维 所所谓谓具具有有发发散散特特性性的的思思维维是是指指信信息息处处理理的的途途径径灵灵活活多多变变，求求结结果果的的丰丰富富多多样样。它它是是一一种种开开放放性性的的立立体体思思维维，即即围围绕绕某某一一问问题题，沿沿着着不不同同方方向向去去思思考考探探索索，重重组组眼眼前前的的信信息息和和记记忆忆中中的的信信息息，产产生生新新
27、的的信信息息并并获获得得解解决决问问题题的的多多种种方方案案。因因此此，也把发散思维称为求异思维。它是一种重要的创造性思维。也把发散思维称为求异思维。它是一种重要的创造性思维。用用“一题多解”，“一题多变”等方式，发散式地思考问题。等方式，发散式地思考问题。第46页/共114页 数学中数学中“一题多解一题多解”最著名的例子最著名的例子,是几何学中关于是几何学中关于“勾股定理勾股定理”的的证法。证法。勾股定理勾股定理(被誉为被誉为“千古第一定理千古第一定理”):):一个直角三角形的斜边一个直角三角形的斜边c c的平的平方等于另外两边方等于另外两边(a,b)(a,b)的平方和。的平方和。即即 a
28、a2 2+b+b2 2=c=c2 2 这个定理人们用不同的方法这个定理人们用不同的方法,给出了给出了370370多个证明。多个证明。第47页/共114页这个定理的重要性在于：1.它是联系“数”与“形”的第一个重要定理；2.它导致了不可公约量的发现（第一次数学危机）；3.它开始把数学由计算与测量的技术扩大到证明与推理的科学；4.它是最早得出完整解的不定方程，并引导到各式各样的不定方程，包括费马大定理。第48页/共114页1.在欧几里得的中,给出了一种欧几里得的证明:AHKCBDEFGIL因此因此同理同理两式相加即得定理。两式相加即得定理。第49页/共114页2.我国赵爽(约222年)在的注释中给
29、出的证明：ab等于两直角三角形的面积(b-a)2为中心正方形的面积，显然，有2ab+(b-a)2=c2，化简，即可得证。ABCbcaa-b弦图第50页/共114页3.大正方形的面积:(a+b)2=a2+2ab+b2又等于:4ab/2+c2=2ab+c2从而 得证.ababaabcc第51页/共114页美国A.菲尔德总统：SABED=SBCE+SABC+SDCE4.最令人感兴趣的证法之一他他证证明明时时,只只是是一一位位议议员员,是是他他和和其其他他议议员员讨讨论论数数学学问题时想出来的问题时想出来的,发表在发表在新英格兰教育杂志新英格兰教育杂志上上。第52页/共114页5.2000年12月1日
30、山东青岛市即墨一中高二六班李亮同学的证明:思考：思考：他的证明对否？好不好他的证明对否？好不好？AC CB BD Da ab bc cBD+AD=AB=c 第53页/共114页数学王子数学王子高斯高斯 高高斯斯被被誉誉为为：“能能从从九九霄霄云云外外的的高高度度按按某某种种观观点点掌掌握握星星空空和和深深奥奥数数学学的的天天才才”和和“数学王子数学王子”。第54页/共114页 特特别别是是高高斯斯非非常常重重视视培培养养自自己己的的发发散散思思维维，并并且且善善于于运运用用发发散散思思维维。他他非非常常重重视视“一一题题多多解解”、“一一题题多多变变”。例例如如：他他对对代代数数基基本本定定理
31、理，先先 后后给给出出了了4 4种种不不同同的的证证明明；他他对对数数论论中中的的二二次次互互反反律律，先先后后给给出出了了8 8种种不不同同的的证证明明（高高斯斯称称二二次次互互反反律律是是数数论论中中的的一一块块宝宝石石，数数论论的的酵酵母母，是是黄黄金定理）。金定理）。欧拉勒让德欧拉勒让德第55页/共114页第一个证明是用归纳法；第一个证明是用归纳法；第二个证明是用二次型理论；第二个证明是用二次型理论；第三个和第五个证明是用高斯引理；第三个和第五个证明是用高斯引理；第四个证明是用高斯和；第四个证明是用高斯和；第六个和第七个证明是用分圆理论；第六个和第七个证明是用分圆理论；第八个证明是用高
32、次幂剩余理论。第八个证明是用高次幂剩余理论。他他的的每每一一种种证证明明思思路路都都导导致致数数论论的的新新方方向向。其其后后19世世纪纪多多位位数数论论大大家家如如狄狄里里克克雷雷、雅雅可可比比、艾艾森森斯斯坦坦、库库默默、戴戴德德金金、希希尔尔伯伯特特等等人人都都给给出了新的证明并发展了该理论。出了新的证明并发展了该理论。第56页/共114页 有有人人曾曾问问高高斯斯：“你你为为什什么么能能对对数数学学作作出出那那样样多多的的发发现现？”高高斯斯答答道道：“假假如别人和我一样深刻和持久地思考数学真理，他也会作出同样的发现。如别人和我一样深刻和持久地思考数学真理，他也会作出同样的发现。”高高
33、斯斯还还说说：“绝绝对对不不能能以以为为获获得得一一个个证证明明以以后后，研研究究便便告告结结束束，或或把把另另外外的的证明当作多余的奢侈品证明当作多余的奢侈品。”“有有时时候候一一开开始始你你没没有有得得到到最最简简和和最最美美妙妙的的证证明明，但但恰恰恰恰在在寻寻求求这这样样的的证证明明中中才才能能深深入入到到真真理理的的奇奇妙妙联联想想中中去去。这这正正是是吸吸引引我我去去继继续续研研究究的的主主动动力力，并并且且最能使我们有所发现最能使我们有所发现。”高斯这些言行，很值得我们学习和深思。高斯这些言行，很值得我们学习和深思。第57页/共114页 因因此此，我我们们在在高高等等数数学学教教
34、学学中中，应应利利用用一一题题多多解解、一一题题多多变变来来培培养养训训练练发发散思维，下边我们举几个例子：散思维，下边我们举几个例子：第58页/共114页一题多解一题多解：计算：计算第59页/共114页一题多变一题多变：得知它是全微分方程，从而用全微分方程的解法求出其通解；得知它是全微分方程，从而用全微分方程的解法求出其通解；求微分方程求微分方程通解通解变形为：变形为：由于：由于：第60页/共114页一题多变一题多变：求微分方程求微分方程通解通解变形为：变形为：得得知知它它是是齐齐次次微微分分方方程程，从从而而用用齐齐次次微微分方程的解法求出其通解；分方程的解法求出其通解；第61页/共114
35、页一题多变一题多变：求微分方程求微分方程通解通解变形为：变形为：发现它是伯努利方程，从而令发现它是伯努利方程，从而令z=yz=y2 2，化化为线性微分方程，然后用线性微分方程的解为线性微分方程，然后用线性微分方程的解法求出其通解。法求出其通解。高等数学一题多解高等数学一题多解200200例选编例选编 （产品：手表、收音机、电视机等）（产品：手表、收音机、电视机等）第62页/共114页四、逆向思维 一一位位老老太太太太有有两两个个女女儿儿。大大女女儿儿嫁嫁给给雨雨伞伞店店老老板板，小小女女儿儿当当了了洗洗衣衣作作坊坊的的女女主主管管。于于是是，老老太太太太整整天天忧忧心心忡忡忡忡，逢逢上上雨雨天
36、天，她她担担心心洗洗衣衣作作坊坊的的衣衣服服晾晾不不干干；逢逢上上晴晴天天，她她怕伞店的雨伞卖不出去，日子过得很忧郁。怕伞店的雨伞卖不出去，日子过得很忧郁。后后来来有有一一位位聪聪明明的的人人劝劝她她：老老太太太太，你你真真好好福福气气，下下雨雨天天，你你大大女女儿儿家家生生意意兴兴隆隆；大大晴晴天天，你你小小女女儿儿家家顾顾客客盈盈门门，哪哪一一天天你你都都有有好好消消息息啊啊。这这么么一一说说，老老太太太太生生活活的的色色彩竟焕然一新。彩竟焕然一新。一则小一则小故事故事:第63页/共114页 逆逆向向思思维维（又又称称反反向向思思维维）是是相相对对于于习习惯惯性性思思维维的的另另一一种种思
37、思维维形形式式。它它的的基基本本特特点点是是从从已已有有的的思思路路的的反反方方向向去去思思考考问问题题。它它对对解解放放思思想想、开开阔阔思思路路、解决某些难题、开创新的方向，往往能起到积极的作用。解决某些难题、开创新的方向，往往能起到积极的作用。第64页/共114页（1）如如果果遇遇到到某某些些问问题题顺顺推推不不行行，可可以以考考虑虑逆推。逆推。（2）如如果果遇遇到到某某些些问问题题直直接接解解决决困困难难，想想法法间接间接解决。解决。（3）正命题研究过后，研究逆命题。）正命题研究过后，研究逆命题。（4）探探讨讨可可能能性性发发生生困困难难时时，转转而而探探讨讨不不可可能性。能性。下面举
38、几个高等数学中的例子下面举几个高等数学中的例子:第65页/共114页求解微分方程：求解微分方程：若若将将x 视视为为自自变变量量，y 视视为为未未知知函函数数，解解此此方方程程就就比比较较困困难难。因因为为它它既既不不是是可可分分离离变变量量方方程程，也也不不是是齐齐次次方方程程，也也不不是是全全微微分分方方程程，也也不不是是线性方程和伯努里方程。线性方程和伯努里方程。但但是是，如如果果利利用用逆逆向向思思维维，即即反反过过来来将将x视视为为未知函数未知函数,y视为自变量，将方程变为视为自变量，将方程变为第66页/共114页它就是未知函数x 的线性微分方程。很容易求出其通解。)1(21222C
39、eyexyy+-=-第67页/共114页若直接解决困难，若直接解决困难，想法间接解决。想法间接解决。例例1 1：试求试求解法：用间接的方法，即转化为判断级数解法：用间接的方法，即转化为判断级数级数收敛的必要条件是通项趋向于零，于是级数收敛的必要条件是通项趋向于零，于是第68页/共114页解法解法:利用夹逼定理利用夹逼定理第69页/共114页 探讨可能性发生困难时，转而探讨不可能性。探讨可能性发生困难时，转而探讨不可能性。下面我们例举数学史上两个最有名的问题：下面我们例举数学史上两个最有名的问题：第70页/共114页关于非欧几何的发现关于非欧几何的发现 欧几里得欧几里得几何原本几何原本第一卷中给
40、出第一卷中给出了五个公设，其中前四个简单明了，（前了五个公设，其中前四个简单明了，（前三个是作图的规定，第四个是三个是作图的规定，第四个是“凡直角都凡直角都相等相等”），符合亚里士多德公理），符合亚里士多德公理“自明性自明性”的要求，唯独第五公设不仅文字啰嗦，的要求，唯独第五公设不仅文字啰嗦，而且所肯定的事实也不明显。而且所肯定的事实也不明显。而且只有第而且只有第5 5公设涉及到无限公设涉及到无限,这是人们经验之外的东西这是人们经验之外的东西.第71页/共114页 此公设是此公设是“若一直线和两条直若一直线和两条直线相交，所构成的两同旁内角之和线相交，所构成的两同旁内角之和小于两直角，那么把这
41、两直线延长，小于两直角，那么把这两直线延长，它们一定在两内角的一侧相交它们一定在两内角的一侧相交”。第72页/共114页 这公设等价于：这公设等价于：“在平面上，过直线外一点，只能作一条直线与在平面上，过直线外一点，只能作一条直线与这条直线平行这条直线平行”。欧欧第73页/共114页当两条直线相交于非常遥远的地方时，就无法判断这两条直线是否平行，因当两条直线相交于非常遥远的地方时，就无法判断这两条直线是否平行，因此不具有直观的明显性。因此没有得到公认，于是就有人提出来把它作为定理此不具有直观的明显性。因此没有得到公认，于是就有人提出来把它作为定理来证明。但是许多数学家经历了来证明。但是许多数学
42、家经历了2000多年都以失败告终，他们不是证明有错误，多年都以失败告终，他们不是证明有错误，就是用另一条等价的公理代替了第五公设。就是用另一条等价的公理代替了第五公设。达朗贝尔曾把第五公设的证明称为达朗贝尔曾把第五公设的证明称为“几何原理中的几何原理中的家丑家丑”。第74页/共114页直到直到19世纪初，数学家们着手研究它的反问题世纪初，数学家们着手研究它的反问题欧几里得第五公设不可欧几里得第五公设不可证。特别是德国的高斯、匈牙利的鲍耶、俄国的罗巴切夫斯基他们各自总结了前证。特别是德国的高斯、匈牙利的鲍耶、俄国的罗巴切夫斯基他们各自总结了前人和自己试证第五公设的失败教训。人和自己试证第五公设的
43、失败教训。高斯高斯(1799,1813)(1799,1813)罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基 (1826,1829)(1826,1829)鲍耶鲍耶 （18321832）第75页/共114页他们首先肯定了欧几里得第五公设是不能用其它公理作出证明，然后用一他们首先肯定了欧几里得第五公设是不能用其它公理作出证明，然后用一个与它相反的命题来代替它。即个与它相反的命题来代替它。即“在平面上，过直线外一点在平面上，过直线外一点至少可引两条直至少可引两条直线线与已知直线平行。与已知直线平行。”罗罗第76页/共114页 罗巴切夫斯基把欧氏几何的命题按是否依赖于第五公设（平行公设）分为两部分：不依赖于第五公设得到证明
44、的命题（绝对几何）。依赖于第五公设才能证明的命题。“在一个平面上，过直线在一个平面上，过直线AB外一点至少可以作一条直线与外一点至少可以作一条直线与AB不相交不相交”。1.仅可作一条（第五公设）仅可作一条（第五公设）欧氏几何；欧氏几何；2.可作不止一条，若能由此推出与绝对几何定理相矛盾的可作不止一条，若能由此推出与绝对几何定理相矛盾的命题，这就无异于证明了第五公设。命题，这就无异于证明了第五公设。可是他不但没有发现任何矛盾，反而推导出了一连串奇妙可是他不但没有发现任何矛盾，反而推导出了一连串奇妙的结果，构成了逻辑上既无矛盾，又与绝对几何不相冲突，但的结果，构成了逻辑上既无矛盾，又与绝对几何不相
45、冲突，但又和欧氏几何不同的新的几何体系。又和欧氏几何不同的新的几何体系。第77页/共114页 从而建立了一种与欧几里得不同的新的几何体系。从而建立了一种与欧几里得不同的新的几何体系。高斯称之为高斯称之为“反欧几里得几何反欧几里得几何”罗巴切夫斯基称之为罗巴切夫斯基称之为“想象的几何想象的几何”后他又称之为后他又称之为“泛几何泛几何”今天称之为罗巴切夫斯基几何（又称双曲几何）。今天称之为罗巴切夫斯基几何（又称双曲几何）。第78页/共114页 后来德国数学家黎曼用一个既与欧几里德第五公设的命题相反后来德国数学家黎曼用一个既与欧几里德第五公设的命题相反又与罗巴切夫斯基平行公理相反的命题来代替它们，即
46、又与罗巴切夫斯基平行公理相反的命题来代替它们，即“在平面上，过在平面上，过直线外一点直线外一点不可能引一直线不可能引一直线与已知直线平行与已知直线平行”。黎黎第79页/共114页 从而建立了一种与欧几里得几何、罗巴切夫从而建立了一种与欧几里得几何、罗巴切夫斯基几何都不同的新的几何体系，现称为斯基几何都不同的新的几何体系，现称为“黎黎曼几何曼几何”（又称椭圆几何）。（又称椭圆几何）。现现在在人人们们把把“罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基几几何何与与黎黎曼曼几何统称为几何统称为“非欧几里得几何非欧几里得几何”。黎曼黎曼(1854)(1854)第80页/共114页20世纪伟大的数学家希世纪伟大的数学家希尔伯
47、特指出尔伯特指出:“19世纪最富启世纪最富启发性和最值得注意的成就是发性和最值得注意的成就是非欧几里得几何的发现非欧几里得几何的发现”。非非欧欧几几里里得得几几何何的的创创立立是是几几何何学学上上的的革革命命，它它不不仅仅使使数数学学家家大大开开眼眼界界，引引起起一一些些重重要要数数学学分分支支的的产产生生，它它的的重重要要意意义义还还在在于于使使数数学学哲哲学学的的研研究究进进入入一一个个崭崭新新的的历历史史时时期期，它它使使人人们们对对空空间间的的认认识识更更深深刻刻，更更完完全全了了。例例如如，它它对对爱爱因因斯斯坦坦的的相相对对论论提提供供了了最最合合适适的的数数学学工工具具。因因此此
48、许许多多人人采采用用非非欧欧几几何何学学作作为为宇宇宙宙的几何模型。的几何模型。(太平洋太平洋)第81页/共114页 欧几里得：欧几里得：三角形内角和三角形内角和 =两直角两直角 ,2r=c，a2+b2=c2 罗巴切夫斯基：三角形内角和罗巴切夫斯基：三角形内角和 两直角两直角 ,2rc，a2+b2 两直角两直角 ,2rc ，a2+b2c2 后后来来许许多多几几何何理理论论都都建建立立在在改改变变和和推推广广欧欧几几里里得得几几何何概概念念的的基基础础之之上上。例例如如：18441844年年格格拉斯曼建立的拉斯曼建立的n n维仿射空间和度量空间几何。维仿射空间和度量空间几何。18711871年克
49、来因年克来因第82页/共114页关于五次及五次以上代数方程根式求解问题在在16世纪之前，数学家们就成功地找到世纪之前，数学家们就成功地找到了一般的一次、二次、三次、四次以及某些了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊的五次及五次以上代数方程的根式解法。特殊的五次及五次以上代数方程的根式解法。如：如：那么，一般五次及五次以上的代数方程是那么，一般五次及五次以上的代数方程是否也存在根式解法呢？否也存在根式解法呢？第83页/共114页这个问题吸引着众多的数学家，他们相信这个问题吸引着众多的数学家，他们相信这种解法一定存在，包括：卡当这种解法一定存在，包括：卡当（Cardano）、韦达）、韦达(Vi
50、ete)、笛卡儿、牛顿、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、拉格朗日等等，但相继经历了两莱布尼茨、拉格朗日等等，但相继经历了两百多年的努力都未能找到解法。百多年的努力都未能找到解法。韦达韦达拉格朗日拉格朗日第84页/共114页经过无数次的失败之经过无数次的失败之后后,直到直到19世纪初，一些数世纪初，一些数学家产生了逆向思维：首学家产生了逆向思维：首先是鲁非尼（先是鲁非尼（Ruffini）和）和拉格朗日，接着是阿贝尔拉格朗日，接着是阿贝尔(Abel)，把问题的提法倒，把问题的提法倒了过来，去思考它的反问了过来，去思考它的反问题：一般五次及五次以上题：一般五次及五次以上的方程不存在根式求解法。的方程不存在根