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1、会计学1数学与创新数学与创新(chungxn)思维思维PPT课件课件PPT课件课件第一页，共114页。教育部的一个报告指出：教育部的一个报告指出：“实实 施施 素素 质质 教教 育育 重重 点点(zhngdin)是是改改变变教教育育观观念念，尤尤其其是是要要以以培培养养学学生生的的创创新意识和创造精神为主。新意识和创造精神为主。”第2页/共114页第二页，共114页。恩格斯指出：恩格斯指出：“一一个个民民族族要要想想站站在在科科学学的的最最高高峰峰，就就一一刻刻也也不不能没有能没有(mi yu)(mi yu)理论思维。理论思维。”创创创创造造造造性性性性人人人人才才才才的的的的创创创创造造造造
2、活活活活动动动动是是是是在在在在相相相相应应应应的的的的创创创创造造造造性性性性思思思思维维维维的的的的支支支支配配配配下下下下，所所所所进进进进行行行行的的的的一一一一种种种种积积积积极极极极的的的的能能能能动动动动(nngdng)(nngdng)(nngdng)(nngdng)的的的的活活活活动动动动。创创创创造造造造性性性性思思思思维维维维是是是是一一一一切切切切创创创创造造造造活活活活动动动动的的的的核核核核心心心心和和和和灵魂。灵魂。灵魂。灵魂。第3页/共114页第三页，共114页。n nR培根指出：培根指出：n n“数学是打开科学大门的钥匙。数学是打开科学大门的钥匙。”n nHG格
3、拉斯曼说：格拉斯曼说：n n“数数学学除除了了锻锻炼炼敏敏锐锐的的理理解解力力，发发现现(fxin)真真理理外外，它它还还有有另另一一个个训训练练全全面面考考查查科科学学系系统统的的头头脑脑的开发功能。的开发功能。”n nNA考特认为：考特认为：n n“数数学学是是人人类类智智慧慧王王冠冠上上最最灿灿烂烂的明珠。的明珠。”第4页/共114页第四页，共114页。KL米斯拉指出：米斯拉指出：“数数学学是是代代表表人人类类抽抽象象思思维维方方面面的的最高成就最高成就(chngji)和胜利。和胜利。”著名的数学家著名的数学家A赛尔伯格指出：赛尔伯格指出：“数学的内容一定数学的内容一定(ydng)要要重
4、新斟酌。应该增加一些涉及如何重新斟酌。应该增加一些涉及如何发现并令人振奋的内容。发现并令人振奋的内容。”塞尔伯格第5页/共114页第五页，共114页。著名数学家著名数学家JPJP塞尔指出：塞尔指出：“关关于于学学生生，关关键键是是要要让让他他们们明明白白数数学学是是活活生生生生的的，而而不不是是僵僵死死的的，讲讲数数学学的的传传统统方方法法有有个个缺缺陷陷，即即教教师师从从不不提提及及这这类类 问问 题题，这这 很很 可可 惜惜(kx)(kx)。在在数数论论中中有有许许多多这这类类问问题题，十十几几岁岁的的孩孩子子就就能能很很好好地地理理解解它它们们：当当然然包包括括费费马马大大定定理理，还还
5、有有哥哥德德巴巴赫赫猜猜想想，以以及及无无限限个个形形如如n2+1n2+1的的素素数数的的存存在在性性。你你可可以以随随意意讲讲一一些些定定理理而而不不加加证明证明塞塞塞塞 尔尔尔尔第6页/共114页第六页，共114页。因此我认为：数 学 教 学 不 但 应 该(ynggi)传授数学知识，还应该(ynggi)培养学生的创新思维。第7页/共114页第七页，共114页。讲五个问题讲五个问题一、归纳思维一、归纳思维(swi)(swi)二、类比思维二、类比思维(swi)(swi)三、发散思维三、发散思维(swi)(swi)四、逆（反）向思维四、逆（反）向思维(swi)(swi)五、（数学）猜想五、（数
6、学）猜想 我我将将结结合合初初等等数数学学、高高等等数数学学和和数学史上一些著名问题来讲数学史上一些著名问题来讲第8页/共114页第八页，共114页。一、归纳一、归纳(gun)(gun)思维思维 归归纳纳是是人人类类赖赖以以发发现现真真理理的的基基本本的的、重重要要的的思思维维(swi)(swi)方方法。法。著名数学家拉普拉斯指出：著名数学家拉普拉斯指出：“分分析析和和自自然然哲哲学学中中许许多多重重大大的的发发现现，都都归归功功于于归归纳纳方方法法牛牛顿顿二二项项式式定定理理(dngl)(dngl)和和万万有有引引力力原原理理，就就是是归归纳纳方方法法的的成成果果。”“在在数数学学里里，发发
7、现现真理的主要工具和手段是归纳和类比。真理的主要工具和手段是归纳和类比。”著名数学家高斯曾说：著名数学家高斯曾说：“我的许多发现都是靠归纳取得的。我的许多发现都是靠归纳取得的。”第9页/共114页第九页，共114页。著著名名数数学学家家沃沃利利斯斯说说：“我我把把（不不完完全全的的）归归纳纳和和类类比比当当作作一一种种很很好好的的考考察察(koch)(koch)方方法法，因因为为这这种种方方法法的的确确使使我我很很容容易易发发现一般规律现一般规律”第10页/共114页第十页，共114页。归归归归纳纳纳纳是是是是在在在在通通通通过过过过多多多多种种种种手手手手段段段段（观观观观察察察察、实实实实
8、验验验验、分分分分析析析析）对对对对许许许许多多多多个个个个别别别别事事事事物物物物的的的的经经经经验验验验认认认认识识识识的的的的基基基基础础础础上上上上，发发发发现现现现其其其其规规规规律律律律，总总总总结结结结出出出出原原原原理理理理或或或或定定定定理理理理。归归归归纳纳纳纳是是是是从从从从观观观观察察察察到到到到一一一一类类类类事事事事物物物物的的的的部部部部分分分分对对对对象象象象具具具具有有有有(jyu)(jyu)(jyu)(jyu)某某某某一一一一属属属属性性性性，而而而而归归归归纳纳纳纳出出出出该该该该事事事事物物物物都都都都具具具具有有有有(jyu)(jyu)(jyu)(jy
9、u)这这这这一一一一属属属属性性性性的的的的推推推推理理理理方方方方法法法法。或或或或者者者者说说说说，归归归归纳纳纳纳思思思思维维维维就就就就是是是是要要要要从从从从众众众众多多多多的的的的事事事事物物物物和和和和现现现现象中找出共性和本质的东西的抽象化思维。象中找出共性和本质的东西的抽象化思维。象中找出共性和本质的东西的抽象化思维。象中找出共性和本质的东西的抽象化思维。也也也也可可可可以以以以说说说说，归归归归纳纳纳纳是是是是在在在在相相相相似似似似中中中中发发发发现现现现规规规规律律律律，由由由由个个个个别中发现一般。别中发现一般。别中发现一般。别中发现一般。第11页/共114页第十一页
10、，共114页。从从数数学学的的发发展展可可以以看看出出，许许多多新新的的数数学学概概念念、定定理理、法法则则、的的形形式式，都都经经历历过过积积累累经经验验的的过过程程，从从大大量量观观察察、计计算算,然然后后归归纳纳出出其其共共性性和和本本质质(bnzh)(bnzh)的的东东西西，例例如如：哥哥德德巴巴赫猜想，费马猜想，素数定理等。赫猜想，费马猜想，素数定理等。第12页/共114页第十二页，共114页。归纳(gun)的方法哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想:3+7=103+7=10，3+17=203+17=20，13+17=3013+17=3033，7 7，1313，1717都
11、是奇素数都是奇素数都是奇素数都是奇素数*。1010，2020，3030都是偶数。都是偶数。都是偶数。都是偶数。是否是否是否是否(shfu)(shfu)两个奇素数之和都是偶数呢？两个奇素数之和都是偶数呢？两个奇素数之和都是偶数呢？两个奇素数之和都是偶数呢？这是显然的。但是（逆向思维）这是显然的。但是（逆向思维）任任何何一一个个偶偶数数，都都能能分分解解为为两两个个(lin)奇素数之和吗？奇素数之和吗？第13页/共114页第十三页，共114页。6=3+38=3+510=3+712=5+714=3+11=7+716=3+13=5+11这样这样这样这样(zhyng)(zhyng)下去总是对的吗？即下去
12、总是对的吗？即下去总是对的吗？即下去总是对的吗？即任何一个大于任何一个大于任何一个大于任何一个大于4 4的偶数都是两个奇素数之和？的偶数都是两个奇素数之和？的偶数都是两个奇素数之和？的偶数都是两个奇素数之和？大于大于大于大于4 4的偶数的偶数的偶数的偶数=奇素数奇素数奇素数奇素数+奇素数？奇素数？奇素数？奇素数？（哥德巴赫猜想）（哥德巴赫猜想）（哥德巴赫猜想）（哥德巴赫猜想）第14页/共114页第十四页，共114页。60=3+57（57=193，不不是是(bshi)素数）素数）60=5+55（55=115，不不是是(bshi)素数素数)？！？！60=7+53（7和和53都是素数）都是素数）.一
13、一直直(yzh)到到现现在在还还没没有有一一个个人人推推翻翻它它，但也还没有一个人证明它。但也还没有一个人证明它。第15页/共114页第十五页，共114页。哥哥哥哥德德德德巴巴巴巴赫赫赫赫提提提提出出出出这这这这个个个个问问问问题题题题时时时时，欧欧欧欧拉拉拉拉在在在在17421742年年年年6 6月月月月3030日日日日的的的的回回回回信信信信中中中中说说说说：他他他他相相相相信信信信这这这这个个个个猜猜猜猜想想想想，但但但但他他他他不不不不能能能能证证证证明明明明。于于于于是是是是(ysh)(ysh)引引引引起起起起了了了了很很很很多多多多人人人人研研研研究究究究它它它它，但在但在但在但在
14、120120年间，一直没有多大进展。年间，一直没有多大进展。年间，一直没有多大进展。年间，一直没有多大进展。直直直直到到到到2020世世世世纪纪纪纪2020年年年年代代代代，才才才才开开开开始始始始有有有有了了了了眉眉眉眉目目目目，挪挪挪挪威威威威数数数数学学学学家家家家布布布布朗朗朗朗（V.BrunV.Brun）用用用用“筛筛筛筛法法法法”证证证证明明明明了了了了：任任任任何何何何(rnh)(rnh)一个大于一个大于一个大于一个大于4 4的偶数：的偶数：的偶数：的偶数：A=a1a2a9+b1b2b9,(9+9)A=a1a2a9+b1b2b9,(9+9)其其其其中中中中ai,bi(i=1,2,
15、39)ai,bi(i=1,2,39)都都都都是是是是素素素素数数数数，才才才才为为为为这这这这个个个个猜猜猜猜想的证明开辟想的证明开辟想的证明开辟想的证明开辟(kip)(kip)了道路。了道路。了道路。了道路。第16页/共114页第十六页，共114页。1924年年 拉拉德德马马哈哈尔尔 证证明明(zhngmng)了（了（7+7）；）；1932年年 爱爱斯斯尔尔曼曼 证证明明(zhngmng)了（了（6+6）；）；1938年年 布布赫赫斯斯塔塔勃勃 证证明明(zhngmng)了（了（5+5）,1940年年又又证证明明(zhngmng)了（了（4+4）；）；1956年年 维维 诺诺 格格 拉拉 多
16、多 夫夫 证证 明明(zhngmng)了（了（3+3）；）；1956年年王王元元证证明明(zhngmng)了了（3+4）；）；1957年年王王元元证证明明(zhngmng)了了（2+3）；）；1962年年潘潘承承洞洞证证明明(zhngmng)了（了（1+5）；）；同同年年王王、潘潘又又证证明明(zhngmng)了（了（1+4）；）；第17页/共114页第十七页，共114页。1965年年布布赫赫斯斯塔塔勃勃、维维诺诺格格拉拉多多 夫夫、庞庞 比比 利利 证证 明明(zhngmng)了（了（1+3）；）；1966年年陈陈景景润润证证明明(zhngmng)了（了（1+2）；）；(发发 表表 在在 中
17、中 国国 科科 学学(1973.P.111-128)第18页/共114页第十八页，共114页。1.吴吴文文俊俊说说：哥哥德德巴巴赫赫猜猜想想是是一一场攻坚战和接力赛。场攻坚战和接力赛。2.解解放放后后，华华罗罗庚庚、闵闵嗣嗣鹤鹤在在这这一研究上奠定了基础。一研究上奠定了基础。3.王王元元1956年年证证得得：大大偶偶数数(ush)=3+4；1957年年又又得得出出：大大偶偶数数(ush)=2+3。4.潘潘承承洞洞1962年年证证得得：大大偶偶数数(ush)=1+4。5.陈陈景景润润1966年年证证得得：大大偶偶数数(ush)=1+2；1972年年潘潘、王王、丁丁夏夏畦畦简简化化了了陈陈的证明。
18、的证明。第19页/共114页第十九页，共114页。苏步青说：苏步青说：苏步青说：苏步青说：要要要要想想想想取取取取得得得得1+11+1就就就就得得得得把把把把世世世世界界界界(shji)(shji)上上上上八八八八十十十十多多多多种种种种方方方方法法法法融会贯通，博取众长。融会贯通，博取众长。融会贯通，博取众长。融会贯通，博取众长。19981998年年年年利利利利用用用用超超超超级级级级计计计计算算算算机机机机，验验验验证证证证这这这这个个个个猜猜猜猜想想想想对对对对于于于于每每每每一一一一个个个个小小小小于于于于4101441014的的的的偶偶偶偶数数数数都都都都是是是是正正正正确确确确的的
19、的的。但但但但没没没没有有有有一一一一项项项项计计计计算算算算技技技技术术术术可可可可以以以以对对对对直直直直至至至至无无无无穷穷穷穷的的的的每每每每一一一一个个个个偶偶偶偶数数数数确确确确认认认认这这这这个个个个猜猜猜猜想想想想成成成成立立立立。关关关关键键键键是是是是要要要要找找找找出出出出一一一一个个个个抽抽抽抽象象象象严严严严格格格格(yng)(yng)的证明。的证明。的证明。的证明。这是数学向人类智慧的挑战这是数学向人类智慧的挑战这是数学向人类智慧的挑战这是数学向人类智慧的挑战!第20页/共114页第二十页，共114页。这这个个猜猜想想吸吸了了不不少少(bsho)人人,2000年年3
20、月月中中旬旬：英英国国一一家家出出版版社社悬悬赏赏100万万美美元元征征“哥哥德德巴巴赫赫猜猜想想”之之解解，时时限限两两年年,截截止止日日期期定定在在2002年年3月月20日。日。(奖奖金金比比中中国国最最高高科科学学奖奖还还高高、Nobel奖奖)第21页/共114页第二十一页，共114页。第22页/共114页第二十二页，共114页。二项式系数二项式系数(xsh)(u+v)1=u+v(u+v)2=u2+2uv+v2(u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3(u+v)4=u4+4u3v+6u2v2+4uv3+v4(u+v)5=.(u+v)n=第23页/共114页第二十三页，共114页。1 1
21、2 23 34 45 56 67 78 89 92 21 11 11 11 11 11 11 13 31 12 23 34 45 56 64 41 13 36 6101015155 51 14 4101020206 61 15 515157 71 16 68 81 19 9帕斯卡三角形帕斯卡三角形帕斯卡三角形帕斯卡三角形第24页/共114页第二十四页，共114页。1 12 23 34 45 56 67 78 89 92 21 11 11 11 11 11 11 13 31 12 23 34 45 56 64 41 13 36 6101015155 51 14 4101020206 61 15
22、515157 71 16 68 81 19 9帕斯卡三角形帕斯卡三角形帕斯卡三角形帕斯卡三角形第25页/共114页第二十五页，共114页。111121133114641151010511615201561宋宋朝朝数数学学家家杨杨辉辉1261年年写写的的详详解解九九章章算算法法*就就解解释释了了上上述述系系数数(xsh)三三角角形形的的构构造造法法，并说贾宪用此术。并说贾宪用此术。杨辉三角形杨辉三角形第26页/共114页第二十六页，共114页。科科科科尔尔尔尔莫莫莫莫哥哥哥哥洛洛洛洛夫夫夫夫在在在在我我我我是是是是如如如如何何何何成成成成为为为为(chngwi)(chngwi)数数数数学学学学家
23、家家家中中中中说说说说：我我我我在在在在6 6、7 7岁岁岁岁时时时时我我我我已已已已经经经经感感感感受受受受到到到到数数数数学学学学归归归归纳纳纳纳发发发发现现现现的的的的乐乐乐乐趣趣趣趣，例例例例如，我注意到下边的等式：如，我注意到下边的等式：如，我注意到下边的等式：如，我注意到下边的等式：他的这个发现，后来被刊登他的这个发现，后来被刊登(kndng)在春燕杂在春燕杂志上。志上。第27页/共114页第二十七页，共114页。问题问题问题问题(wnt)(wnt)：考察表：考察表：考察表：考察表 按照上述按照上述(shngsh)(shngsh)算例找出它们的一般规律，并用算例找出它们的一般规律，
24、并用适当数学式子表示出来，而且试证明它。适当数学式子表示出来，而且试证明它。问题：下述结论问题：下述结论(jiln)是否成是否成立？立？第28页/共114页第二十八页，共114页。在在在在高高高高等等等等数数数数学学学学中中中中，许许许许多多多多重重重重要要要要(zhngyo)(zhngyo)结结结结果果果果的的的的得出，都用到了归纳思维。例如：得出，都用到了归纳思维。例如：得出，都用到了归纳思维。例如：得出，都用到了归纳思维。例如：求某一函数的求某一函数的求某一函数的求某一函数的nn阶导数，通常的方法阶导数，通常的方法阶导数，通常的方法阶导数，通常的方法(fngf)(fngf)是求出其一阶、
25、二阶（有时还要求出是求出其一阶、二阶（有时还要求出是求出其一阶、二阶（有时还要求出是求出其一阶、二阶（有时还要求出其三阶、四阶）导数，再归纳出其三阶、四阶）导数，再归纳出其三阶、四阶）导数，再归纳出其三阶、四阶）导数，再归纳出nn阶导数的表阶导数的表阶导数的表阶导数的表达式。达式。达式。达式。解解从而归纳出第29页/共114页第二十九页，共114页。解解因为因为因而归纳得到第30页/共114页第三十页，共114页。二、类比二、类比(lib)思维思维 著著著著名名名名日日日日本本本本物物物物理理理理学学学学家家家家、诺诺诺诺贝贝贝贝尔尔尔尔奖奖奖奖获获获获得得得得者者者者汤汤汤汤川川川川秀秀秀秀
26、澍澍澍澍指指指指出出出出：“类类类类比比比比是是是是一一一一种种种种创创创创造造造造性性性性思思思思维维维维的的的的形形形形式式式式(xngsh)(xngsh)(xngsh)(xngsh)。”著著著著名名名名哲哲哲哲学学学学家家家家康康康康德德德德指指指指出出出出：“每每每每当当当当理理理理智智智智缺缺缺缺乏乏乏乏可可可可靠靠靠靠论论论论证证证证的的的的思思思思路路路路时时时时，类类类类比比比比这这这这个个个个方方方方法法法法往往往往往往往往能能能能指指指指引引引引我我我我们们们们前前前前进。进。进。进。”类类类类比比比比是是是是根根根根据据据据两两两两个个个个（或或或或多多多多个个个个）对对
27、对对象象象象内内内内部部部部属属属属性性性性、关关关关系系系系的的的的某某某某些些些些方方方方面面面面相相相相似，而推出它们在其它方面也可能相似的推理。似，而推出它们在其它方面也可能相似的推理。似，而推出它们在其它方面也可能相似的推理。似，而推出它们在其它方面也可能相似的推理。简单地说，类比就是由此去发现彼（或由彼去发现此）。简单地说，类比就是由此去发现彼（或由彼去发现此）。简单地说，类比就是由此去发现彼（或由彼去发现此）。简单地说，类比就是由此去发现彼（或由彼去发现此）。第31页/共114页第三十一页，共114页。类类比比为为人人们们思思维维过过程程提提供供(tgng)(tgng)了了更更广
28、广阔阔的的“自自由由创创造造”的的天天地地，使使它它成成为为科科学学研研究究中中非非常常有有创创造造性性的的思思维维形形式式，从从而而受受到到了了很很多多著著名名科科学学家家的的重视与青睐。例如：重视与青睐。例如：著著名名天天文文学学、数数学学家家开开普普勒勒说说：“我我珍珍视视类类比比(lib)(lib)胜胜于于任任何何别别的的东东西西，它它是是我我最最可可信信赖赖的的老老师师它它能揭示自然的奥秘能揭示自然的奥秘。”著名数学家、教育学家波利亚著名数学家、教育学家波利亚说：说：“类比是一个伟大的引路人，类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面求解立体几何问题往往有赖于平面(png
29、min)(pngmin)几何中的类比问题。几何中的类比问题。”第32页/共114页第三十二页，共114页。在在平平面面解解析析几几何何(ji(ji x x jh)jh)中直线的截距式是：中直线的截距式是：在平面在平面在平面在平面(pngmin)(pngmin)(pngmin)(pngmin)解析几何中解析几何中解析几何中解析几何中,两点的距离是：两点的距离是：两点的距离是：两点的距离是：在在在在空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何(ji(ji(ji(ji x x x x jh)jh)jh)jh)中中中中,两两两两点点点点的距离是：的距离是：的距离是：的距离是：在空间解析几何中平面的
30、截距式是：在空间解析几何中平面的截距式是：在空间解析几何中平面的截距式是：在空间解析几何中平面的截距式是：第33页/共114页第三十三页，共114页。在在平平面面解解析析几几何何中中圆圆的的方方程程(fngchng)是：是：(x-a)2+(y-b)2=R2在在空空间间解解析析几几何何中中球球面面的的方方程程(fngchng)是是:(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2等等。等等。第34页/共114页第三十四页，共114页。莱布尼茨公式莱布尼茨公式将将他他们们比比较较可可以以看看出出:把把中中右右端端K次次幂幂换换成成K阶阶导导数数(零零阶阶导导数数理理解解为为函函数数(hnsh)本本身
31、身),把把中中u+v换换成成uv,n次次幂幂换换成成n阶阶导导数数既既为为.(拉拉格格朗朗日日17岁岁)牛顿二项式展开公式牛顿二项式展开公式第35页/共114页第三十五页，共114页。费马猜想费马猜想(cixing)：X2+Y2=Z2的的解解：X=3,Y=4,Z=5Z=m2+n2,X=m2-n2Y=2mn,m,n是是任任一一整整数数，n2是是否否有有正正整整数解？数解？第36页/共114页第三十六页，共114页。n n ZZ=XX+YY52=32+42Z3=x3+Y3 (X,Y,Z 为正整数)=zxy+公元972年阿拉伯人阿尔科但第（Alkhodjidi)Zn=n+Yn(n2)(Wiles 1
32、994)第37页/共114页第三十七页，共114页。欧拉猜想：下述方程没有欧拉猜想：下述方程没有(mi yu)整数解：整数解：没有人能够证明它是对的，但是在他提出这个猜想(cixing)之后的200年内大家都相信它是正确的.但是(dnsh)在1998年，诺姆艾利克斯的举出一个反例：后来人们又发现了一个更简单的例子：今天我们能容易地用一个简单的程序寻找反例在没有计算机的年代，很难举出这样的反例！第38页/共114页第三十八页，共114页。多元函数多元函数(hnsh)(hnsh)与单元函数与单元函数(hnsh)(hnsh)在学习多元函数在学习多元函数(hnsh)(hnsh)的微的微分学和积分学时，
33、应注意与已经学分学和积分学时，应注意与已经学习过的一元函数习过的一元函数(hnsh)(hnsh)的微积分的微积分相应的概念、理论、方法进行类比。相应的概念、理论、方法进行类比。例如：例如：第39页/共114页第三十九页，共114页。特别应该将牛顿特别应该将牛顿莱布尼茨公式、格林莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、高斯(o s)(o s)公式、斯托克斯公式进行类比。公式、斯托克斯公式进行类比。若将牛顿若将牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 视为，它建立了一元函数视为，它建立了一元函数f(x)f(x)在一个区间的在一个区间的定定积积分分与与其其原原函函数数F(x)F(x)在在区区间间边边界界(binji)
34、(binji)的的值值之间的联系；之间的联系；第40页/共114页第四十页，共114页。通过类比通过类比(lib)，就可将格林公式，就可将格林公式 视为，它建立了二元函数在一个平面区域视为，它建立了二元函数在一个平面区域D D上上的的二二重重积积分分(jfn)(jfn)与与其其“原原函函数数”在在区区域域边边界界L L的曲线积分的曲线积分(jfn)(jfn)之间的联系；之间的联系；第41页/共114页第四十一页，共114页。通过通过(tnggu)类比，就可将高斯公式类比，就可将高斯公式 视视为为，它它建建立立了了三三元元函函数数在在一一个个空空间间区区域域 上上的的三三重重积积分分(jfn)(
35、jfn)与与其其“原原函函数数”在在区区域域边界曲面边界曲面S S上的曲面积分上的曲面积分(jfn)(jfn)之间的联系；之间的联系；第42页/共114页第四十二页，共114页。通过类比通过类比(lib)，就可将斯托克斯公式，就可将斯托克斯公式 视为，它建立了三元视为，它建立了三元(sn yun)(sn yun)函数在一个空间曲面函数在一个空间曲面S S上的曲面积分与其上的曲面积分与其“原函数原函数”在区域边界曲线在区域边界曲线L L上上的曲线积分之间的联系。的曲线积分之间的联系。第43页/共114页第四十三页，共114页。若引入若引入“外微分运算外微分运算”，就可将格林公式、，就可将格林公式
36、、高斯公式和斯托克斯公式都看作牛顿高斯公式和斯托克斯公式都看作牛顿-莱布尼茨莱布尼茨公式的高维推广公式的高维推广.并都可以用一个并都可以用一个(y)(y)简单简单的形式统一表示为的形式统一表示为第44页/共114页第四十四页，共114页。实实践践证证明明：在在学学习习(xux)(xux)过过程程中中，将将新新内内容容与与自自己己已已经经熟熟悉悉的的知知识识。进进行行类类比比，不不但但易易于于接接受受、理理解解、掌掌握握新新知知识识，更更重重要要的的是是：培培养养、锻锻炼炼了了自自己己的的类类比比思思维维，有有利利于于开开发发自自己的创造力。（费马猜想）己的创造力。（费马猜想）第45页/共114
37、页第四十五页，共114页。三、发散三、发散(fsn)思维思维 所所谓谓具具有有(jyu)(jyu)发发散散特特性性的的思思维维是是指指信信息息处处理理的的途途径径灵灵活活多多变变，求求结结果果的的丰丰富富多多样样。它它是是一一种种开开放放性性的的立立体体思思维维，即即围围绕绕某某一一问问题题，沿沿着着不不同同方方向向去去思思考考探探索索，重重组组眼眼前前的的信信息息和和记记忆忆中中的的信信息息，产产生生新新的的信信息息并并获获得得解解决决问问题题的的多多种种方方案案。因因此此，也也把把发发散散思思维维称称为为求求异异思思维维。它它是是一一种种重要的创造性思维。重要的创造性思维。用用“一一题题多
38、多解解”，“一一题题多多变变”等方式，发散式地思考问题。等方式，发散式地思考问题。第46页/共114页第四十六页，共114页。数学中“一题多解”最著名的例子,是几何学中关于“勾股定理”的证法(zhn f)。勾股定理(被誉为“千古第一定理”):一个直角三角形的斜边c的平方等于另外两边(a,b)的平方和。即 a2+b2=c2 这个定理人们用不同的方法,给出了370多个证明。第47页/共114页第四十七页，共114页。这个定理这个定理(dngl)的重要性在于：的重要性在于：1.它是联系“数”与“形”的第一个重要定理；2.它导致了不可公约量的发现（第一次数学(shxu)危机）；3.它开始把数学(shx
39、u)由计算与测量的技术扩大到证明与推理的科学；4.它是最早得出完整解的不定方程，并引导到各式各样的不定方程，包括费马大定理。第48页/共114页第四十八页，共114页。1.1.在欧几里得的在欧几里得的在欧几里得的在欧几里得的 中中中中,给出了一种给出了一种给出了一种给出了一种(y(y zhzh n n)欧几里得的证明欧几里得的证明欧几里得的证明欧几里得的证明:AHKCBDEFGIL因因 此此(ync)同理同理两两 式式 相相 加加 即即 得得 定定 理理(dngl)。第49页/共114页第四十九页，共114页。2.2.我国赵爽我国赵爽我国赵爽我国赵爽(约约约约222222年年年年)在在在在 的
40、的的的注释注释注释注释(zhsh)(zhsh)中给出的证明：中给出的证明：中给出的证明：中给出的证明：ab等于两直角三等于两直角三角形的面积角形的面积(b-a)2为中心为中心(zhngxn)正方正方形的面积，显形的面积，显然，有然，有2ab+(b-a)2=c2，化简，即可得证。化简，即可得证。ABCbcaa-b弦图第50页/共114页第五十页，共114页。3.3.大正方形的面积大正方形的面积大正方形的面积大正方形的面积:(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2=a2+2ab+b2又等于又等于又等于又等于(dngy):(dngy):4ab/2+c2=2ab+c2 4ab/2+c2=2ab+
41、c2从而从而从而从而 得证得证得证得证.ababaabcc第51页/共114页第五十一页，共114页。美美国国(mi u)A.菲菲 尔尔德总统：德总统：SABED=SBCE+SABC+SDCE4.4.最令人最令人最令人最令人(ln(ln rn)rn)感兴趣的证法之一感兴趣的证法之一感兴趣的证法之一感兴趣的证法之一他他证证明明时时,只只是是一一位位议议员员,是是他他和和其其他他议议员员讨讨论论数数学学问问题时想出来的题时想出来的,发表在新英格兰教育发表在新英格兰教育(jioy)杂志上杂志上。第52页/共114页第五十二页，共114页。5.20005.2000年年年年1212月月月月1 1日山东日
42、山东日山东日山东(shn dn(shn dn)青岛市即青岛市即青岛市即青岛市即墨一中高二六班李亮同学的证明墨一中高二六班李亮同学的证明墨一中高二六班李亮同学的证明墨一中高二六班李亮同学的证明:思考思考(sko)：他的证明对否？好不好？他的证明对否？好不好？A AC CB BD Da ab bc cBD+AD=AB=c 第53页/共114页第五十三页，共114页。数学数学(shxu)王子王子高斯高斯 高高斯斯(o(o s)s)被被誉誉为为：“能能从从九九霄霄云云外外的的高高度度按按某某种种观观点点掌掌握握星星空空和和深深奥奥数数学学的的天天才才”和和“数数学学王王子子”。第54页/共114页第五
43、十四页，共114页。特特别别是是高高斯斯非非常常重重视视培培养养自自己己的的发发散散思思维维，并并且且善善于于运运用用发发散散思思维维。他他非非常常重重视视“一一题题多多解解”、“一一题题多多变变”。例例如如(lr)(lr)：他他对对代代数数基基本本定定理理，先先 后后给给出出了了4 4种种不不同同的的证证明明；他他对对数数论论中中的的二二次次互互反反律律，先先后后给给出出了了8 8种种不不同同的的证证明明（高高斯斯称称二二次次互互反反律律是是数数论论中中的的一一块块宝宝石石，数数论论的酵母，是黄金定理）。的酵母，是黄金定理）。欧拉勒让德欧拉勒让德第55页/共114页第五十五页，共114页。第
44、一个证明是用归纳法；第一个证明是用归纳法；第二个证明是用二次型理论；第二个证明是用二次型理论；第三个和第五个证明是用高斯第三个和第五个证明是用高斯(o s)(o s)引理；引理；第四个证明是用高斯第四个证明是用高斯(o s)(o s)和；和；第六个和第七个证明是用分圆理论；第六个和第七个证明是用分圆理论；第八个证明是用高次幂剩余理论。第八个证明是用高次幂剩余理论。他他的的每每一一种种证证明明思思路路都都导导致致(dozh)数数论论的的新新方方向向。其其后后19世世纪纪多多位位数数论论大大家家如如狄狄里里克克雷雷、雅雅可可比比、艾艾森森斯斯坦坦、库库默默、戴戴德德金金、希希尔尔伯伯特特等等人人都
45、都给给出出了了新新的证明并发展了该理论。的证明并发展了该理论。第56页/共114页第五十六页，共114页。有有人人曾曾问问高高斯斯：“你你为为什什么么能能对对数数学学作作出出那那样样多多的的发发现现？”高高斯斯答答道道：“假假如如别别人人和和我我一一样样深深刻刻和和持持久久地地思思考考数数学学真真理理，他他也也会会作作出出同同样样的的发发现现。”高高斯斯还还说说：“绝绝对对不不能能以以为为获获得得一一个个证证明明以以后后，研研究究便便告告结结束束，或或把把另另外外的的证证明明当当作作多多余的奢侈品。余的奢侈品。”“有有时时候候一一开开始始你你没没有有得得到到最最简简和和最最美美妙妙的的证证明明
46、，但但恰恰恰恰在在寻寻求求这这样样的的证证明明中中才才能能深深入入到到真真理理的的奇奇妙妙联联想想中中去去。这这正正是是吸吸引引我我去去继继续续研研究究的的主主动动力力，并并且且最最能能使使我我们们(w(w men)men)有有所所发发现现。”高高斯斯这这些些言言行行，很很值值得我们得我们(w men)(w men)学习和深思。学习和深思。第57页/共114页第五十七页，共114页。因因此此(ync)(ync)，我我们们在在高高等等数数学学教教学学中中，应应利利用用一一题题多多解解、一一题题多多变变来来培培养养训训练练发发散散思思维维，下边我们举几个例子：下边我们举几个例子：第58页/共114
47、页第五十八页，共114页。一题多解：计算一题多解：计算一题多解：计算一题多解：计算(j sun)(j sun)第59页/共114页第五十九页，共114页。一题多变一题多变一题多变一题多变：得得知知它它是是全全微微分分方方程程，从从而而用用全全微微分分方方程程的的解解法法(ji(ji f)f)求求出出其通解；其通解；求微分方程求微分方程求微分方程求微分方程(wi(wi fn fn fn fn chn)chn)通解通解通解通解(tngji(tngji)变形为：变形为：变形为：变形为：由于：由于：由于：由于：第60页/共114页第六十页，共114页。一题多变一题多变一题多变一题多变：求微分方程求微分
48、方程求微分方程求微分方程(wi fn fn(wi fn fn chn)chn)通解通解通解通解(tngji(tngji)变形变形变形变形(bin(bin xng)xng)为：为：为：为：得得知知它它是是齐齐次次微微分分方方程程，从从而而用用齐齐次次微微分方程的解法求出其通解；分方程的解法求出其通解；第61页/共114页第六十一页，共114页。一题多变一题多变一题多变一题多变：求微分方程求微分方程求微分方程求微分方程(wi fn(wi fn fn chn)fn chn)通解通解通解通解(tngji(tngji)变形变形变形变形(bin(bin xng)xng)为：为：为：为：发现它是伯努利方程，
49、从而令发现它是伯努利方程，从而令发现它是伯努利方程，从而令发现它是伯努利方程，从而令z=yz=yz=yz=y2 2 2 2，化为化为线性微分方程，然后用线性微分方程的解法线性微分方程，然后用线性微分方程的解法求出其通解。求出其通解。高等数学一题多解高等数学一题多解200200例选编例选编 （产品：手表、收音机、电视机等）（产品：手表、收音机、电视机等）第62页/共114页第六十二页，共114页。四、逆向四、逆向(n xin)(n xin)思维思维 一一位位老老太太太太有有两两个个女女儿儿。大大女女儿儿嫁嫁给给雨雨伞伞店店老老板板，小小女女儿儿当当了了洗洗衣衣作作坊坊的的女女主主管管。于于是是(
50、ysh)(ysh)，老老太太太太整整天天忧忧心心忡忡忡忡，逢逢上上雨雨天天，她她担担心心洗洗衣衣作作坊坊的的衣衣服服晾晾不不干干；逢逢上上晴晴天天，她她怕怕伞伞店店的的雨雨伞伞卖卖不不出出去去，日日子子过过得得很忧郁。很忧郁。后后来来有有一一位位聪聪明明的的人人劝劝她她：老老太太太太，你你真真好好福福气气，下下雨雨天天，你你大大女女儿儿家家生生意意兴兴隆隆；大大晴晴天天，你你小小女女儿儿家家顾顾客客盈盈门门，哪哪一一天天你你都都有有好好 消消 息息 啊啊。这这 么么 一一 说说，老老 太太 太太 生生 活活(shnghu)(shnghu)的色彩竟焕然一新。的色彩竟焕然一新。一则小一则小故事故事