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1、yj=xj h2+yj-1+yj+1/(2 h2),(j=1,2,9)yj-1+(2 h2)yj yj+1=xj h2 高斯-赛德尔迭代格式:3/18第1页/共17页程序h=0.1;x=0:h:1;y=zeros(size(x);r1=h*h;r=2-r1;er=1;k=0;while e0.0001 er=0;for j=2:10 s=(y(j-1)+y(j+1)+r1*x(j)/r;er=max(er,abs(s-y(j);y(j)=s;end k=k+1end准确解:y(x)=sin x/sin 1-x-y(x)o yj4/18第2页/共17页正方形区域上第一边值问题 准确解:O1x1y
2、5/18第3页/共17页取正整数n,记 对区域做网格剖分:xi=i h (i=0，1，n+1)yj=j h (j=0，1，n+1)在点(xi，yj)处记 uij=u(xi,yj),五点差分格式整理6/18第4页/共17页边界条件:u0,j=0 (j=1,n);un,j=(j=1,n);ui,0=0 (i=1,n);ui,n=0 (i=1,n)结点数n2 102 202 402迭代次数 91 303 978CPU时间(s)0.14 1.843 24.6720误差 0.0028 5.6995e-4 6.6671e-4高斯-赛德尔迭代法实验:7/18第5页/共17页定理4.4 方程组 Ax=b中,若
3、A是实对称正定矩阵,则Gauss-Seidel迭法收敛证明:由 A=D L LT BG-S=(D L)-1LT设为BG-S的任一特征值,x为其特征向量,则(D L)-1LT x=x LT x=(D L)x A正定,故 p=xTDx0,记 xTLTx=a,则有xTLTx=xT(D L)xxTAx=xT(D L LT)x=p a a=p 2a 08/18第6页/共17页所以,迭代矩阵BG-S的谱半径(BG-S)1,从而当方程组 Ax=b的系数矩阵A 是实对称正定矩阵时,Gauss-Seidel迭代法收敛称 R=ln(B)为迭代法的渐近收敛速度9/18第7页/共17页(i=1,2,n;k=1,2,3
4、,)超松驰(SOR)迭代法Gauss-Seidel迭代格式10/18第8页/共17页定理4.8 若A是对称正定矩阵,则当02时SOR迭代法解方程组 Ax=b 是收敛的定理4.9 若A是严格对角占优矩阵,则当00.0005 er=0;k=k+1;for i=1:3 s=0;t=x(i);x(i)=0;for j=1:3 s=s+A(i,j)*x(j);end x(i)=(1-w)*t+w*(b(i)-s)/A(i,i);er=max(abs(x(i)-t),er);endendkk=10 x=1.1999 1.3999 1.5999=1.2,只需k=612/18第10页/共17页块迭代法简介设
5、ARnn,xRn,bRn将方程组A x=b中系数矩阵A分块其中,AiiRnini,AijRninj,xiRni,biRni13/18第11页/共17页将A分解,A=DB LB UB(1)Jacobi块迭代 DB X(k+1)=(LB+UB)X(k)+bi=1,2,r(2)Gauss-Seidel块迭代 DB X(k+1)=LB X(k+1)+UBX(k)+bi=1,2,r14/18第12页/共17页块迭代求解X1=x1 x2 x3TX2=x4 x5 x6Tb1=0 5 0Tb2=6 2 6TDX1 X2=b1X1+DX2=b2DX1(k+1)=b1+X2(k)DX2(k+1)=b2+X1(k)15/18第13页/共17页(i,j=1,n)边值问题:(i,j=1,n;k=1,2,3,）保留三对角块16/18第14页/共17页取正整数n,h=1/(n+1)离散点xi=i h yj=j h zm=m h(i,j,m=0,1,n+1)用七点差分格式计算求解，用slice命令绘四维图17/18第15页/共17页高斯-赛德尔迭代法18/18第16页/共17页感谢您的观看！第17页/共17页