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1、数值分析对称正定矩阵的收敛性第1页，本讲稿共18页例1 常微分方程边值问题 在在x1=0.1,x2=0.2,x9=0.9 处的数值解处的数值解解解:令令 h=0.1,记记 yj=y(xj)(j=1,2,9),将将代入微分方程代入微分方程,整理得整理得 yj-1+(2 h2)yj yj+1=xj h2 (j=1,2,9)2/18第2页，本讲稿共18页yj=xj h2+yj-1+yj+1/(2 h2),(j=1,2,9)yj-1+(2 h2)yj yj+1=xj h2 高斯高斯-赛德尔迭代格式赛德尔迭代格式:3/18第3页，本讲稿共18页程序h=0.1;x=0:h:1;y=zeros(size(x
2、);r1=h*h;r=2-r1;er=1;k=0;while e0.0001 er=0;for j=2:10 s=(y(j-1)+y(j+1)+r1*x(j)/r;er=max(er,abs(s-y(j);y(j)=s;end k=k+1end准确解准确解:y(x)=sin x/sin 1-x-y(x)o yj4/18第4页，本讲稿共18页正方形区域上第一边值问题 准确解:O1x1y5/18第5页，本讲稿共18页取正整数n,记 对区域做网格剖分:xi=i h (i=0，1，n+1)yj=j h (j=0，1，n+1)在点在点(xi，yj)处记处记 uij=u(xi,yj),五点差分格式五点差分
3、格式整理整理6/18第6页，本讲稿共18页边界条件:u0,j=0 (j=1,n);un,j=(j=1,n);ui,0=0 (i=1,n);ui,n=0 (i=1,n)结点数n2 102 202 402迭代次数 91 303 978CPU时间(s)0.14 1.843 24.6720误差 0.0028 5.6995e-4 6.6671e-4高斯高斯-赛德尔迭代法实验赛德尔迭代法实验:7/18第7页，本讲稿共18页定理4.4 方程组 Ax=b中,若A是实对称正定矩阵,则Gauss-Seidel迭法收敛证明证明:由由 A=D L LT BG-S=(D L)-1LT设设为为BG-S的任一特征值的任一特
4、征值,x为其特征向量为其特征向量,则则(D L)-1LT x=x LT x=(D L)x A正定正定,故故 p=xTDx0,记记 xTLTx=a,则有则有xTLTx=xT(D L)xxTAx=xT(D L LT)x=p a a=p 2a 08/18第8页，本讲稿共18页所以所以,迭代矩阵迭代矩阵BG-S的谱半径的谱半径(BG-S)1,从而当从而当方程组方程组 Ax=b的系数矩阵的系数矩阵A 是实对称正定矩阵时是实对称正定矩阵时,Gauss-Seidel迭代法收敛迭代法收敛称称 R=ln(B)为迭代法的渐近收敛速度为迭代法的渐近收敛速度9/18第9页，本讲稿共18页(i=1,2,n;k=1,2,
5、3,)超松驰(SOR)迭代法Gauss-Seidel迭代格式10/18第10页，本讲稿共18页定理定理4.8 若若A是对称正定矩阵是对称正定矩阵,则当则当02时时SOR迭代法解方程组迭代法解方程组 Ax=b 是收敛的是收敛的定理定理4.9 若若A是严格对角占优矩阵是严格对角占优矩阵,则当则当00.0005 er=0;k=k+1;for i=1:3 s=0;t=x(i);x(i)=0;for j=1:3 s=s+A(i,j)*x(j);end x(i)=(1-w)*t+w*(b(i)-s)/A(i,i);er=max(abs(x(i)-t),er);endendkk=10 x=1.1999 1.
6、3999 1.5999=1.2,只需只需k=612/18第12页，本讲稿共18页块迭代法简介块迭代法简介设设 ARnn,xRn,bRn将方程组将方程组A x=b中系数矩阵中系数矩阵A分块分块其中其中,AiiRnini,AijRninj,xiRni,biRni13/18第13页，本讲稿共18页将将A分解分解,A=DB LB UB(1)Jacobi块迭代块迭代 DB X(k+1)=(LB+UB)X(k)+bi=1,2,r(2)Gauss-Seidel块迭代块迭代 DB X(k+1)=LB X(k+1)+UBX(k)+bi=1,2,r14/18第14页，本讲稿共18页块迭代求解X1=x1 x2 x3
7、TX2=x4 x5 x6Tb1=0 5 0Tb2=6 2 6TDX1 X2=b1X1+DX2=b2DX1(k+1)=b1+X2(k)DX2(k+1)=b2+X1(k)15/18第15页，本讲稿共18页(i,j=1,n)边值问题:(i,j=1,n;k=1,2,3,）保留三对角块保留三对角块16/18第16页，本讲稿共18页取正整数取正整数n,h=1/(n+1)离散点离散点xi=i h yj=j h zm=m h(i,j,m=0,1,n+1)用七点差分格式计算求解，用用七点差分格式计算求解，用slice命令绘四维图命令绘四维图17/18第17页，本讲稿共18页高斯高斯-赛德尔迭代法赛德尔迭代法18/18第18页，本讲稿共18页