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1、卡诺图化简法卡诺图化简法一、什么是卡诺图一、什么是卡诺图将将n变量的全部变量的全部最小项最小项各用一个小方块表示，各用一个小方块表示，并使具有并使具有逻辑相邻性逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻的最小项在几何位置上也相邻的排列，所得到的图形称为的排列，所得到的图形称为n变量最小项的变量最小项的卡诺图卡诺图。因为这种表示方法由美国工程师因为这种表示方法由美国工程师卡诺卡诺（M.Karnaugh）首先提出，因此这种）首先提出，因此这种图形称为图形称为卡诺图卡诺图（Karnaugh Map）。）。两个最小项仅有一个变量是不同，其余的相同沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学
2、院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGm3m0m1m2二、卡诺图的画法二、卡诺图的画法1.二变量卡诺图二变量卡诺图每个最小项有每个最小项有2个个最小项与它相邻最小项与它相邻沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING2.2.三变量卡诺图三变量卡诺图三变量卡诺图三变
3、量卡诺图00011110m0m1m2m3m4m5m6m7每个最小项有三个每个最小项有三个最小项与它相邻最小项与它相邻确保几何位置相邻的两个最小项逻辑上相邻沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING3.3.四变量卡诺图四变量卡诺图四变量卡诺图四变量卡诺图BD000001011110m0m1m2m3m4m5m6m71110m12m13m15m14m8m9m11m10每个最小项有每个最小项有4个个最小项与
4、它相邻最小项与它相邻最最左左列列的的最最小小项项与与最最右右列列的的相相应应最最小小项项也也是是相相邻邻的的最最上上面面一一行行的的最最小小项项与与最最下下面面一一行行的的相相应应最最小小项项也也是是相相邻邻的的沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING三、用卡诺图表示逻辑函数三、用卡诺图表示逻辑函数(一一)由逻辑函数画出卡诺图由逻辑函数画出卡诺图 1.根据根据标准与标准与或式或式画卡诺图画卡诺图方
5、法：方法：将逻辑函数化成最小项之和形式；将逻辑函数化成最小项之和形式；在卡诺图上，对应于函数式中最小项的位置在卡诺图上，对应于函数式中最小项的位置填填1，其余位置填，其余位置填0。即任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图即任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填入中填入1的那些最小项之和。的那些最小项之和。逻辑函数最小项表达式中含有的逻辑函数最小项表达式中含有的最小项最小项，在卡，在卡诺图相应小方格中填诺图相应小方格中填“1”，其余则填，其余则填“0”。此。此时的卡诺图就是对应于该函数的卡诺图。时的卡诺图就是对应于该函数的卡诺图。沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工
6、业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING例：画例：画Y=A+BC的卡诺图。的卡诺图。解：最小项之和形式为：解：最小项之和形式为：卡诺图为：卡诺图为：11110100BCBCA A00 01 11 1000 01 11 100 01 10 1 3 2 0 1 3 2 4 5 7 6 4 5 7 6 沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEE
7、RINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING卡诺图为：卡诺图为：卡诺图为：卡诺图为：解：解：最小项之和形式为：最小项之和形式为：BD00000101111001001010111000101111m1m4m6m15m8m9m11m10沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING2.由由一般逻辑式一般逻辑式直接画卡诺图直接画卡诺图例：画例：画例：画例：画Y=ABCY=ABCCD+BD
8、CD+BD的卡诺图。的卡诺图。的卡诺图。的卡诺图。先将函数变换为与或表达式（先将函数变换为与或表达式（不必变换为不必变换为最小项之和的形式最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余，其余的方格内填入的方格内填入0。解：解：这是四变量逻辑函数，画四变量卡诺图。这是四变量逻辑函数，画四变量卡诺图。沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息
9、工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING卡诺图卡诺图卡诺图卡诺图为：（为：（为：（为：（填填填填0 0处可省略处可省略处可省略处可省略）BDBD项少项少项少项少A A、C C，则在则在则在则在B=1B=1，D=1D=1，A A、C=0C=0、1 1处都填处都填处都填处都填1 1。ABCABC项少项少项少项少D D，则在则在则在则在A=0A=0，B=1B=1，C=0C=0，D=0D=0、1 1处都填处都填处都填处都填1 1；CDCD项少项少项少项少A A、B B，则在则在则在则在C=0C=0，D=1D=1，A A、B
10、=0B=0、1 1处都填处都填处都填处都填1 1；CDCDABAB00 01 11 1000 01 11 100000010111111010分项看：分项看：1111111111Y=ABCY=ABCCD+BDCD+BD沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING变变换换为为与与或或表表达达式式公因子为公因子为 公因子为公因子为 说明说明：如果求得了函数的反函数：如果求得了函数的反函数，则对则对 中所包
11、含的各个最小项，在卡诺图相中所包含的各个最小项，在卡诺图相应方格内填入应方格内填入0，其余方格内填入，其余方格内填入1。沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING例例例例：卡诺图为：卡诺图为：卡诺图为：卡诺图为：A ABCBC00000 00101111110100 00 00 01 11 11 10 00 01 1则可写出原函数表达式为：则可写出原函数表达式为：则可写出原函数表达式为：则可写出原函
12、数表达式为：(由由由由1 1组成的项组成的项组成的项组成的项)反函数表达式为：反函数表达式为：反函数表达式为：反函数表达式为：(由由由由0 0组成的项组成的项组成的项组成的项)(二二)由卡诺图写出逻辑函数由卡诺图写出逻辑函数沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING四、用卡诺图化简逻辑函数四、用卡诺图化简逻辑函数、化简的依据化简的依据A+AB=A因为卡诺图上下左右任意相邻的两格因为卡诺图上下左右任意
13、相邻的两格之间，只改变一个变量，因此，当两个相之间，只改变一个变量，因此，当两个相邻项为邻项为“”时，可合并为一项。其依据时，可合并为一项。其依据是是基本公式：基本公式：沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING、化简的方法、化简的方法 圈相邻圈相邻2个个“”，可消去改变值的，可消去改变值的1个个变量；变量；圈相邻圈相邻4个个“”，可消去改变值的，可消去改变值的2个个变量；变量；圈相邻圈相邻8个个“
14、”，可消去改变值的，可消去改变值的3个个变量；变量；圈相邻圈相邻n个个“”，可消去改变值的，可消去改变值的n个个变量；变量；沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING例：圈相邻例：圈相邻2个个“”,可以合并为一项，并消去一可以合并为一项，并消去一个变量（消去个变量（消去互为反变量互为反变量的因子，保留公因子）的因子，保留公因子）。BCBCA A00000101111110101 10 01 1CDC
15、DABAB00 01 11 1000 01 11 100000010111111010CDCDABAB00 01 11 1000 01 11 100000010111111010沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING例：圈相邻例：圈相邻例：圈相邻例：圈相邻4 4个个个个“”。11 1CDCDABAB00 01 11 1000 01 11 1000000101111110101 沈阳航空工业学院电
16、子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGB 沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYI
17、AE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING例：圈相邻例：圈相邻例：圈相邻例：圈相邻8 8个个个个“”。CDCDABAB00 01 11 1000 01 11 100000010111111010CDCDABAB00 01 11 1000 01 11 1000000101111110101111CDCDABAB00 01 11 1000 01 11 100000010111111010沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECT
18、RONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING 小结：小结：相邻最小项的数目必须为相邻最小项的数目必须为偶数偶数个个，才能合并为一项，并消去变量。包含，才能合并为一项，并消去变量。包含的最小项数目越多，即由这些最小项所形的最小项数目越多，即由这些最小项所形成的圈越大，消去的变量也就越多，从而成的圈越大，消去的变量也就越多，从而所得到的逻辑表达式就越简单。这就是利所得到的逻辑表达式就越简单。这就是利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理。用卡诺图化简逻辑函数的基本原理。沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程
19、学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING 先圈大，后圈小，即先圈先圈大，后圈小，即先圈8格，后圈格，后圈4格、格、2格格保证所得乘积项数目最少且每个乘积项包保证所得乘积项数目最少且每个乘积项包含的因子最少；含的因子最少；必须是相邻方格的必须是相邻方格的“1”，才能圈起来；，才能圈起来；允许方格重叠被圈允许方格重叠被圈(A+A=A)，但每个圈内但每个圈内必须有一个以上（含）的必须有一个以上（含）的“1”未被其它圈圈过；未被其它圈圈过；没有相邻项的没有相邻项的“1”，要单独圈出。，要单独圈出
20、。不能漏掉任何一个标不能漏掉任何一个标“1”的方格。的方格。画圈的原则：画圈的原则：沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING3、卡诺图化简举例卡诺图化简举例步骤：步骤：根据逻辑函数式画卡诺图；根据逻辑函数式画卡诺图；合并最小项；合并最小项；化成最简与或表达式；化成最简与或表达式；沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息
21、工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING例例例例1 1 化简函数式化简函数式化简函数式化简函数式CDCDABAB00 01 11 1000 01 11 100000010111111010化简后得：化简后得：化简后得：化简后得：沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING化简后得：化简后得：化简后得：化简后得：1 1 11
22、 1 1 1 11 1CDCDABAB00 01 11 1000 01 11 100000010111111010 1212 3 3 1515 1414 1111 1010 1 1 11 1 1 1 11 1例例例例2 2 化简函数式化简函数式化简函数式化简函数式沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING化简后得：化简后得：化简后得：化简后得：例例例例3 3 化简函数式化简函数式化简函数式化简函数式
23、BCBCA A00000101111110101 11 10 01 11 11 11 11 1或或或或 显然化简结果不是唯一的，显然化简结果不是唯一的，显然化简结果不是唯一的，显然化简结果不是唯一的，圈法不同，其结果也就不同。圈法不同，其结果也就不同。圈法不同，其结果也就不同。圈法不同，其结果也就不同。沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGCDCDABAB00 01 11 1000 01 11
24、100000010111111010得得得得反函数反函数反函数反函数为：为：为：为：则则则则原函数原函数原函数原函数为：为：为：为：沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING求求原函数原函数时圈的是时圈的是“1”，求，求反函数反函数时圈的时圈的是是“0”。其消去变量个数和画圈的规律都相同。其消去变量个数和画圈的规律都相同。化简时，圈化简时，圈“1”还是圈还是圈“0”，根据需要，哪个，根据需要，哪个简
25、简单，采用哪个。（当单，采用哪个。（当0的数目远小于的数目远小于1的数目，或的数目，或要将函数化为最简的与或非式，或要求要将函数化为最简的与或非式，或要求Y的化简结的化简结果）果）沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING两点说明：两点说明：在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最的各个乘积项组成的与或表达式各不相
26、同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。简的，要经过比较、检查才能确定。不是最简不是最简最简最简沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院沈阳航空工业学院电子信息工程学院SYIAE ELECTRONIC ENGINEERINGSYIAE ELECTRONIC ENGINEERING