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1、 1.4.生活中的优化问题举例（1）张家界市第一中学 高二数学组（导数在实际生活中的应用）（导数在实际生活中的应用）一、如何判断函数的单调性？一、如何判断函数的单调性？f(x)为为增函数增函数f(x)为为减函数减函数 设函数设函数y=f(x)在在 某个区间某个区间内可导内可导二、如何求函数的极值与最值？二、如何求函数的极值与最值？求函数极值的一般步骤求函数极值的一般步骤（1）确定定义域）确定定义域（2）求导数）求导数f(x)（3）求）求f(x)=0的根的根（4）列表）列表（5）判断）判断求求f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1)求求f(x)在区间在区间(a,b)内
2、极值；内极值；(2)将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b）比较比较,从而确定函数的最值。从而确定函数的最值。生活中经常遇到求利润最大、用料求利润最大、用料最省、效率最高等问题最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题.新课引入新课引入:导数在实际生活中有着广泛的应导数在实际生活中有着广泛的应用用,利用导数求最值的方法利用导数求最值的方法,可以求出可以求出实际生活中的某些最值问题实际生活中的某些最值问题.生活中的优化问题的本质即为解有关函数的最生活中的优化问题的
3、本质即为解有关函数的最大值最小值的实际问题。大值最小值的实际问题。解有关函数最大值最小值的实际问题，需要分解有关函数最大值最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系式，并确定函数的定义域，所求得的结数关系式，并确定函数的定义域，所求得的结果要符合问题的实际意义。果要符合问题的实际意义。解决优化问题的基本思路：解决优化问题的基本思路：1.1.将优化问题转化为用函数表示的数学问题。将优化问题转化为用函数表示的数学问题。2.2.用导数解决数学问题。用导数解决数学问题。3.3.将用导数解决的问题转化为优化问题作答。将用导数解决的问题转
4、化为优化问题作答。常见的优化问题（最值问题）有：常见的优化问题（最值问题）有：1.1.几何方面的应用几何方面的应用2.2.物理方面的应用物理方面的应用.3.3.经济学方面的应用经济学方面的应用(面积和体积等的最值面积和体积等的最值)(利润方面最值利润方面最值)(功和功率等最值功和功率等最值)例例1 1：海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各，上、下两边各空空2d
5、m，左、右两边各空，左、右两边各空1dm，如何设计海报的，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？尺寸，才能使四周空白面积最小？图图3.4-1 分析：已知版心的面分析：已知版心的面积，你能否设计出版心积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面从而列出海报四周的面积来？积来？题型一：几何问题中的最值题型一：几何问题中的最值 你还有其他解你还有其他解法吗？例如用法吗？例如用基本不等式行基本不等式行不？不？因此，因此，x=16是函数是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为当版心高为16dm，宽为，宽为8dm时，能使
6、四周空白面积最时，能使四周空白面积最小。小。解法二解法二：由解法由解法(一一)得得 2、在实际应用题目中，若函数、在实际应用题目中，若函数 f(x)在定义域内在定义域内只有一个极值点只有一个极值点x0，则不需与端点比较，则不需与端点比较，f(x0)即即是所求的最大值或最小值是所求的最大值或最小值.说明说明1、设出变量找出函数关系式；、设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义。所得结果符合问题的实际意义。练习练习1：将一段长为：将一段长为12cm的铁丝围成一个矩形，的铁丝围成一个矩形，则这
7、个矩形面积的最大值为多少？则这个矩形面积的最大值为多少？解：解：结论结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最大。：周长为定值的矩形中，正方形的面积最大。变式变式:某养鸡场是一面靠墙某养鸡场是一面靠墙,三面用铁丝网围成的矩形三面用铁丝网围成的矩形场地场地.如果铁丝网长如果铁丝网长40 m,问靠墙的一面多长时问靠墙的一面多长时,围围成的场地面积最大成的场地面积最大?y=-x+20 令令y=0得得,x=20当当0 x0,当当20 x40时时,y0;当当x(40,60)时时,V(x)0它表示它表示 f(r)单调递增，单调递增，即半径越大，利润越高；即半径越大，利润越高；当半径当半径r时，时，f(r)0
8、 它表示它表示 f(r)单调递减单调递减，即半径越大，利润越低即半径越大，利润越低1.半径为半径为cm 时，利润最小，这时时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值此时利润是负值半径为半径为cm时，利润最大时，利润最大练习练习1:已知某工厂生产已知某工厂生产x件产品的成本为件产品的成本为c=2 500+200 x+x2(元元).(1)要使平均成本最低要使平均成本最低,应生产多少件产品应生产多少件产品?(2)若产品以每件若产品以每件500元售出元售出,要使利润最大要使利润最大,应生产多少件产品应生产多少件产品?答答:生产生产1
9、00件产品时件产品时,平均成本最低为平均成本最低为250元元.练习练习2.某商品每件成本某商品每件成本9元元,售价售价为为30元元,每星期每星期卖卖出出432件件,如果降低价格如果降低价格,销销售量将会增加售量将会增加,且每星期多且每星期多卖卖出的商品件数与商品出的商品件数与商品单单价的降低价的降低值值x(单单位位:元元,0 x30)的平方成正比的平方成正比,已知商品已知商品单单价降低价降低2元元时时,一星期将多一星期将多卖卖出出24件件.(1)将一个星期的商品将一个星期的商品销销售利售利润润表示成表示成x的函数的函数;(2)如何定价才能使一个星期的商品如何定价才能使一个星期的商品销销售利售利
10、润润最大最大?解解 (1)设设商品降价商品降价x元元,则则多多卖卖出的商品出的商品件数件数为为kx2,若若记记商品一个星期的商品一个星期的获获利利为为f(x),则则依依题题意有意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2).又由已知条件又由已知条件,24=k22,于是有于是有k=6.f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x 0,30.(2)根据根据(1)有有f(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).当当x变变化化时时,f(x),f(x)的的变变化情况如下表化情况如下表:x0,2)2(2,12)12(12,30f(x)-
11、0+0-f(x)极小极小值值 极大极大值值 故故x=12时时,f(x)达到极大达到极大值值,f(0)=9072,f(12)=11664,定价定价为为30-12=18(元元)能使一个星期的商品能使一个星期的商品销销售利售利润润最大最大.练习练习3.某某单单位用位用2160万元万元购购得一得一块块空地空地,计计划在划在该块该块地上建造一地上建造一栋栋至少至少10层层,每每层层2000平方米的楼房平方米的楼房,经测经测算算,如果将楼房建如果将楼房建为为x(x10)层层,则则每平方米的平均建筑每平方米的平均建筑费费用用为为560+48x(单单位位:元元).为为了使楼房每平方米的平了使楼房每平方米的平均
12、均综综合合费费用最少用最少,该该楼房楼房应应建建为为多少多少层层?(注注:平均平均综综合合费费用用=平均建筑平均建筑费费用用+平均平均购购地地费费用用,平均平均购购地地费费用用答答:为为了楼房每平方米的了楼房每平方米的综综合合费费用最少用最少,该该楼房楼房应应建建为为15层层.作作 业：业：课本课本P37 习题习题1.4 A组组 6 B组组 11.4.生活中的优化问题举例（3）张家界市第一中学 高二数学组（导数在实际生活中的应用）（导数在实际生活中的应用）问题问题3、磁盘的最大存储量问题、磁盘的最大存储量问题(1)你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？(2)你知道磁盘的结构吗？(3)如何使一个
13、圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？第三课时第三课时Rr例3：现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r与R 的环行区域。(1)是不是r越小，磁盘的存 储量越大？(2)r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解：存储量解：存储量=磁道数磁道数每磁道的比特数每磁道的比特数 设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n，且最外面的磁道不存储任何信息，所以磁道最多可达 又由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到 所以，磁道总存储量（1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析
14、式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.(2)为求 的最大值，计算令解得因此，当 时，磁道具有最大的存储量，最大存储量为练习练习1:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它如何确定它的高与底半径的高与底半径,使得所用材料最省使得所用材料最省?Rh解解 设圆柱的高为设圆柱的高为h,底面半径为底面半径为R.则表面积为则表面积为 S(R)=2Rh+2R2.又又V=R2h(定值定值),即即h=2R.可以判断可以判断S(R)只有一个极值点只有一个极值点,且是最小值点且是最小值点.答答 罐高与底的直径相等时罐高与底的直径相等时,所用材料最省所用材料最省.xy练习练习2：
15、如图如图,在二次函数在二次函数f(x)=4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个内接围成的图形中有一个内接矩形矩形ABCD,求这求这 个矩形的个矩形的最大面积最大面积.解解:设设B(x,0)(0 x2),则则 A(x,4x-x2).从而从而|AB|=4x-x2,|BC|=4-2x.故矩形故矩形ABCD的面积的面积为为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x2).令令 ,得得所以当所以当 时时,因此当点因此当点B为为 时时,矩形的最大面积是矩形的最大面积是 由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：基本思路是：优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。解决生活中的优化问题的基本步骤解决生活中的优化问题的基本步骤1、建立实际问题的数学模型，写出函数建立实际问题的数学模型，写出函数 关系式关系式 ；2、求函数的导数求函数的导数 ，求出极值点，求出极值点;3、确定最大（小）值；确定最大（小）值；4、作答。作答。作业：课本作业：课本P37 A组组 5 B组组 2