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1、温馨提示：此套题为Word版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word文档返回原板块。课时提升作业( 二十五 ) 生活中的优化问题举例(25 分钟60 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分, 共 25 分) 1. 以长为 10 的线段 AB为直径作半圆, 则它的内接矩形面积的最大值为( ) A.10 B.15 C.25 D.50 【解析】选C.设内接矩形的长为x(0 x0),L =2-. 令 L=0, 得 x=16 或 x=-16( 舍去 ). 因为 L 在(0,+ ) 上只有一个极值点, 所以它必是最小值点. 因为 x=16, 所以=32. 故当堆料场
2、的宽为16m,长为 32m时, 可使砌墙所用的材料最省. 【拓展延伸】求几何体面积或体积的最值问题的关键: 1. 分析几何体的几何特征, 根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数, 2. 再用导数求最值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页3.(2015 宝鸡高二检测) 某产品的销售收入y1( 万元 ) 是产量x( 千台 ) 的函数 :y1=17x2(x0);生产成本y2( 万元 ) 是产量 x( 千台 ) 的函数 :y2=2x3-x2(x0), 为使利润最大, 则应生产( ) A.6 千台B.7 千台C.8 千台
3、D.9 千台【解析】选A.设利润为y( 万元 ), 则 y=y1-y2=17x2-2x3+x2=18x2-2x3(x0), y=36x-6x2, 令 y=0, 则 x=0 或 x=6. 故当 0 x0,函数为增函数, 当 x6 时, 函数为减函数. 故当 x=6 时,y 取最大值 , 故为使利润最大, 则应生产6 千台 . 4.(2015 北京高二检测) 某银行准备新设一种定期存款业务, 经预算 ,存款量与存款利率的平方成正比 , 比例系数为k(k0).已知贷款的利率为0.0486, 且假设银行吸收的存款能全部放贷出去 . 设存款利率为x,x (0,0.0486),若使银行获得最大效益, 则
4、x 的取值为 ( ) A.0.016 2 B.0.032 4 C.0.024 3 D.0.0486 【解题指南】 先求出存款量、 利息以及贷款收益, 得出银行收益, 求导依据函数的单调性即可求出最值 . 【解析】选B.依题意 , 存款量是kx2, 银行支付的利息是kx3, 贷款的收益是0.0486kx2,其中 x(0,0.0486).所以银行的收益是y=0.0486kx2-kx3 (0 x0.0486),则 y=0.0972kx-3kx2. 令 y=0, 得 x=0.0324 或 x=0( 舍去 ). 当 0 x0; 当 0.0324x0.0486时,y 0. 所以当 x=0.0324 时,y
5、 取得最大值 , 即当存款利率为0.0324 时, 银行获得最大收益. 5. 要做一个圆锥形漏斗, 其母线长为20cm,要使其体积最大, 则其高应为( ) A.cm B.100cm C.20cm D.cm 【解析】选A.设高为 xcm, 则底面半径为cm, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页所以圆锥体积V= (400-x2) x =(cm3),V =, 令 V=0, 得 x=或 x=( 舍去 ), 经判断可得x=(cm) 时,V 最大 .二、填空题 ( 每小题 5 分, 共 15 分) 6. 汽车经过启动、加速行驶
6、、匀速行驶、减速行驶之后停车, 若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数 , 其图象可能与下列_相对应 . 【解析】加速过程、路程对时间的导数逐渐变大, 图象下凸 , 减速过程 , 路程对时间的导数逐渐变小 , 图象上凸 , 与相吻合 . 答案 : 7.(2015 长春高二检测) 轮船甲位于轮船乙的正东方向且距轮船乙75 海里处 , 以每小时12海里的速度向西行驶, 而轮船乙则以每小时6 海里的速度向北行驶, 如果两船同时起航, 那么经过 _小时两船相距最近. 【解析】设经过x 小时两船相距y 海里 ,y2=36x2+(75-12x)2, (y2)=72x-24(75-12x),
7、令(y2) =0, 得 x=5, 易知当 x=5 时,y2取得最小值 . 答案 :5 8. 设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时, 底面边长为 _. 【解析】设底面边长为x, 则底面积S=x2, 所以h= =,S表=x3+x2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页2=+x2, S表=x-, 令 S表=0, 则 x=. 因为 S表只有一个极值, 故 x=为最小值点 . 答案 :【误区警示】解答本题易出现如下错误: 一是表面积计算错误( 漏掉某个平面或面积计算出错), 二是求导计算错误.三、解答题 ( 每
8、小题 10 分, 共 20 分 ) 9.(2015 枣庄高二检测) 用总长为14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架, 如果所制的容器的底面的长比宽多0.5m, 那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. 【解析】设容器底面宽为xm,则长为 (x+0.5)m, 高为14.8-x-x-0.5=(3.2-2x)m. 由解得 0 x0, 该函数在 (0,1) 上为增函数 , 当 x(1,1.6)时 ,y 0, 该函数在 (1,1.6)上为减函数 . 所以当 x=1 时,y 取得最大值为 -2 13+2.2 12+1.6 1=1.8(m3). 此时容器的高为3.2-2 1=1.2(m). 答
9、: 容器高为1.2 m 时, 容器的容积最大,最大容积为1.8 m3. 【补偿训练】 (2015 贵阳高二检测) 将一段长为100cm 的铁丝截成两段, 一段弯成正方形,一段弯成圆 , 问如何截可使正方形与圆面积之和最小? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页【解析】设弯成圆的一段长为xcm,另一段长为 (100-x)cm, 记正方形与圆的面积之和为S, 则 S=+(0 x100), 则 S=-(100-x). 令 S=0, 则 x=. 由于在 (0,100)内函数只有一个导数为零的点, 问题中面积之和最小值显然存在
10、, 故当x=时, 面积之和最小. 故当截得弯成圆的一段长为cm时, 两种图形面积之和最小. 10. 有甲、乙两个工厂 , 甲厂位于一直线河岸的岸边A处, 乙厂与甲厂在河的同侧, 乙厂位于离河岸 40km的 B 处, 乙厂到河岸的垂足D 与 A 相距 50km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和 5a 元, 问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省? 【解题指南】设CD的长为 x, 进而求出AC,BC,然后将总费用表示为变量x 的函数 , 转化为求函数的最值问题. 【解析】如图所示,依题意 , 点 C 在直线 AD 上, 设 C 点距 D 点 x
11、km. 因为 BD=40,AD=50,所以AC=50-x. 所以 BC=. 又设总的水管费用为y 元, 则y=3a(50-x)+5a(0 x50). 所以 y =-3a+. 令 y=0, 解得 x1=30,x2=-30( 舍去 ). 当 x30 时,y 30 时,y 0. 所以当 x=30 时 ,取得最小值 , 此时 AC=50-x=20(km), 即供水站 C建在 A,D之间距甲厂20km处,可使水管费用最省. (20 分钟40 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页一、选择题 ( 每小题 5 分, 共 10
12、分) 1. 把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时, 该圆柱底面周长与高的比为( ) A.12 B.1C.2 1 D.2【解析】选C.设圆柱高为x, 底面半径为r, 则 r=, 圆柱体积V=x =(x3-12x2+36x)(0 x0,p(x)递增 ,当 x(300,390) 时,p (x)390 时,p(x)=90090-100 x-2000090090-100 390-20000=310900. 所以 y=x=-x2+20 x(0 x40), y=-x+20, 令 y=0 得 x=20, 当 0 x0. 当 20 x40 时 ,y 0), y=-+, 令 y=0, 得
13、x=5 或 x=-5( 舍去 ). 当 0 x5 时,y 5 时,y 0. 所以当 x=5 时,y 取得极小值 , 也是最小值 . 所以当仓库建在离车站5 千米处时 , 两项费用之和最小. 答案 :5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页三、解答题 ( 每小题 10 分, 共 20 分 ) 5. 某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量y( 单位 : 千克 ) 与销售价格x( 单位 :元/ 千克 ) 满足关系式y=+10(x-6)2. 其中 3x6,a 为常数 . 已知销售价格为5 元/千克时 ,每日可售出该
14、商品11 千克 . (1) 求 a 的值 . (2) 若该商品的成本为3 元/ 千克 , 试确定销售价格x 的值 ,使商场每日销售该商品所获得的利润最大 . 【解析】 (1) 因为 x=5 时,y=11, 所以+10=11,a=2. (2) 由(1) 可知 , 该商品每日的销售量y=+10(x-6)2, 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)=(x-3)=2+10(x-3) (x-6)2,3x6. 从而 ,f (x)=10 =30(x-4)(x-6). 于是 , 当 x 变化时 ,f (x),f(x)的变化情况如下表: x (3,4) 4 (4,6) f (x) + 0 - f(x) 单
15、调递增极大值 42 单调递减由上表可得 ,x=4 是函数 f(x)在区间 (3,6) 内的极大值点, 也是最大值点 . 所以 , 当 x=4 时, 函数 f(x)取得最大值 ,且最大值等于42. 答: 当销售价格为4 元/ 千克时 , 商场每日销售该商品所获得的利润最大. 6.(2015 成都高二检测) 请您设计一个帐篷, 它下部的形状是高为1m的正六棱柱 , 上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥 . 试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时, 帐篷的体积最大 ?最大体积是多少? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10
16、 页【解题指南】帐篷可看做一个正六棱锥与一个正六棱柱的组合体. 【解析】设OO1为 xm,则 1x4. 由题设可得正六棱锥底面边长为=. 于是底面正六边形的面积为6()2=(8+2x-x2). 帐篷的体积为V(x)=(8+2x-x2)=(16+12x-x3). 求导数 , 得 V(x)=(12-3x2). 令 V(x)=0,解得 x=-2( 不合题意 , 舍去 ),x=2. 当 1x0,V(x)为增函数 ; 当 2x4 时,V(x)0).求 : (1) 利润最大时的产量及最大利润( 设生产件数x 与年需求量相等). (2) 需求量对价格的弹性的绝对值为1 时的价格 . 精选学习资料 - - -
17、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页(3) 若企业将价格定为p=, 求此时需求量对价格的弹性, 并说明它的实际意义. 【解析】 (1) 由于生产件数与年需求量x 相等 , 所以 x=a-bp,p=. 由题意可知此时年利润l=h(x)=px-(c+dx)=x-(c+dx).h(x)=-x+-d, 令 h(x)=0,得 x=(a-bd). 当 x0; 当 x(a-bd) 时,h (x)0, 所以 x=(a-bd) 为极大值点 , 即最大值点 . 故 x=(a-bd) 时,l取得最大值(a-bd)2-c. (2)g(p)=a-bp,则需求量对价格的弹性为=-. 令=1, 得 p=. (3) 若 p=, 则需求量对价格的弹性为=-=-=-=-. 它表示价格定为p=时, 价格上升1% 时, 需求量相应会减少33.3%. 关闭 Word 文档返回原板块精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页